Характеристическая карта Фробениуса

В математике , особенно в представлений и комбинаторике , характеристическое отображение Фробениуса — изометрический изоморфизм между кольцом характеров теории симметрических групп и кольцом симметрических функций . Он строит мост между теорией представлений симметричных групп и алгебраической комбинаторикой . Это отображение позволяет изучать задачи представления с помощью симметричных функций и наоборот. Эта карта названа в честь немецкого математика Фердинанда Георга Фробениуса .

Определение

Кольцо персонажей

Источник:

Позволять $R^{n}$ быть $\mathbb {Z}$- модуль, порожденный всеми несократимыми персонажами $S_{n}$ над $\mathbb {C}$. В частности $S_{0}=\{1\}$ и поэтому $R^{0}=\mathbb {Z}$. Кольцо символов определяется как прямая сумма $$R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R^{n}$$со следующим умножением, чтобы сделать $R$ градуированное коммутативное . кольцо Данный $f\in R^{n}$ и $g\in R^{m}$, продукт определяется как $$f\cdot g=\operatorname {ind} _{S_{m}\times S_{n}}^{S_{m+n}}(f\times g)$$с пониманием того, что $S_{m}\times S_{n}$ встроен в $S_{m+n}$ и $\operatorname {ind}$ обозначает индуцированный характер .

Характеристическая карта Фробениуса

Для $f\in R^{n}$, значение характеристического отображения Фробениуса $\operatorname {ch}$ в $f$, который также называют Фробениуса образом $f$, определяется как многочлен

$$\operatorname {ch} (f)={\frac {1}{n!}}\sum _{w\in S_{n}}f(w)p_{\rho (w)}=\sum _{\mu \vdash n}z_{\mu }^{-1}f(\mu )p_{\mu }.$$

Примечания

Здесь, $\rho (w)$ целочисленный раздел, определяемый $w$. Например, когда $n=3$ и $w=(12)(3)$, $\rho (w)=(2,1)$ соответствует разделу $3=2+1$. И наоборот, раздел $\mu$ из $n$ (написано как $\mu \vdash n$) определяет класс сопряженности $K_{\mu }$ в $S_{n}$. Например, учитывая $\mu =(2,1)\vdash 3$, $K_{\mu }=\{(12)(3),(13)(2),(23)(1)\}$ является классом сопряженности. Следовательно, из-за злоупотребления обозначениями $f(\mu )$ может использоваться для обозначения значения $f$ от класса сопряженности, определяемого $\mu$. Обратите внимание, что это всегда имеет смысл, потому что $f$ это функция класса .

Позволять $\mu$ быть частью $n$, затем $p_{\mu }$ является произведением симметричных полиномов суммы степеней, определяемых формулой $\mu$ из $n$ переменные. Например, учитывая $\mu =(3,2)$, раздел $5$,

${\begin{aligned}p_{\mu }(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})&=p_{3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})p_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})\\&=(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}+x_{5}^{3})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2})\end{aligned}}$

Окончательно, $z_{\lambda }$ определяется как ${\frac {n!}{k_{\lambda }}}$, где $k_{\lambda }$ — мощность класса сопряженности $K_{\lambda }$. Например, когда $\lambda =(2,1)\vdash 3$, $z_{\lambda }={\frac {3!}{3}}=2$. Второе определение $\operatorname {ch} (f)$ поэтому может быть оправдано непосредственно: $${\frac {1}{n!}}\sum _{w\in S_{n}}f(w)p_{\rho (w)}=\sum _{\mu \vdash n}{\frac {k_{\mu }}{n!}}f(\mu )p_{\mu }=\sum _{\mu \vdash n}z_{\mu }^{-1}f(\mu )p_{\mu }$$

Характеристики

Внутренний продукт и изометрия

Внутренний продукт зала

Источник:

Внутренний продукт на кольце симметричных функций — это внутренний продукт Холла. Требуется, чтобы ${\textstyle \langle h_{\mu },m_{\lambda }\rangle =\delta _{\mu \lambda }}$ . Здесь, $m_{\lambda }$ является мономиальной симметричной функцией и $h_{\mu }$ является произведением вполне однородных симметричных функций . Если быть точным, пусть $\mu =(\mu _{1},\mu _{2},\cdots )$ быть разбиением целого числа, тогда $$h_{\mu }=h_{\mu _{1}}h_{\mu _{2}}\cdots .$$В частности, что касается этого внутреннего продукта, $\{p_{\lambda }\}$ образуют ортогональный базис : ${\textstyle \langle p_{\lambda },p_{\mu }\rangle =\delta _{\lambda \mu }z_{\lambda }}$и полиномы Шура $\{s_{\lambda }\}$ образуют ортонормированный базис : ${\textstyle \langle s_{\lambda },s_{\mu }\rangle =\delta _{\lambda \mu }}$, где $\delta _{\lambda \mu }$ это дельта Кронекера .

Внутренний продукт персонажей

Позволять $f,g\in R^{n}$, их внутренний продукт определяется как

$$\langle f,g\rangle _{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{w\in S_{n}}f(w)g(w)=\sum _{\mu \vdash n}z_{\mu }^{-1}f(\mu )g(\mu )$$Если $f=\sum _{n}f_{n},g=\sum _{n}g_{n}$, затем

$$\langle f,g\rangle =\sum _{n}\langle f_{n},g_{n}\rangle _{n}$$

Карта характеристик Фробениуса как изометрия

Путем явного вычисления можно доказать, что характеристическое отображение Фробениуса является изометрией . Чтобы показать это, достаточно предположить, что $f,g\in R^{n}$: $${\begin{aligned}\langle \operatorname {ch} (f),\operatorname {ch} (g)\rangle &=\left\langle \sum _{\mu \vdash n}z_{\mu }^{-1}f(\mu )p_{\mu },\sum _{\lambda \vdash n}z_{\lambda }^{-1}g(\lambda )p_{\lambda }\right\rangle \\&=\sum _{\mu ,\lambda \vdash n}z_{\mu }^{-1}z_{\lambda }^{-1}f(\mu )g(\mu )\langle p_{\mu },p_{\lambda }\rangle \\&=\sum _{\mu ,\lambda \vdash n}z_{\mu }^{-1}z_{\lambda }^{-1}f(\mu )g(\mu )z_{\mu }\delta _{\mu \lambda }\\&=\sum _{\mu \vdash n}z_{\mu }^{-1}f(\mu )g(\mu )\\&=\langle f,g\rangle \end{aligned}}$$

Кольцевой изоморфизм

Карта $\operatorname {ch}$ является изоморфизмом между $R$ и $\mathbb {Z}$-кольцо $\Lambda$. Тот факт, что это отображение является кольцевым гомоморфизмом, можно показать с помощью взаимности Фробениуса . Для $f\in R^{n}$ и $g\in R^{m}$, $${\begin{aligned}\operatorname {ch} (f\cdot g)&=\langle \operatorname {ind} _{S_{n}\times S_{m}}^{S_{m+n}}(f\times g),\psi \rangle _{m+n}\\&=\langle f\times g,\operatorname {res} _{S_{n}\times S_{m}}^{S_{m+n}}\psi \rangle \\&={\frac {1}{n!m!}}\sum _{\pi \sigma \in S_{n}\times S_{m}}(f\times g)(\pi \sigma )p_{\rho (\pi \sigma )}\\&={\frac {1}{n!m!}}\sum _{\pi \in S_{n},\sigma \in S_{m}}f(\pi )g(\sigma )p_{\rho (\pi )}p_{\rho (\sigma )}\\&=\left[{\frac {1}{n!}}\sum _{\pi \in S_{n}}f(\pi )p_{\rho (\pi )}\right]\left[{\frac {1}{m!}}\sum _{\sigma \in S_{m}}g(\sigma )p_{\rho (\sigma )}\right]\\&=\operatorname {ch} (f)\operatorname {ch} (g)\end{aligned}}$$

Определение $\psi :S_{n}\to \Lambda ^{n}$ к $\psi (w)=p_{\rho (w)}$, характеристическую карту Фробениуса можно записать в более короткой форме:

$$\operatorname {ch} (f)=\langle f,\psi \rangle _{n},\quad f\in R^{n}.$$

В частности, если $f$ является неприводимым представлением, то $\operatorname {ch} (f)$ является полиномом Шура $n$ переменные. Отсюда следует, что $\operatorname {ch}$ отображает ортонормированный базис $R$ к ортонормированному базису $\Lambda$. Следовательно, это изоморфизм.

Пример

Вычисление изображения Фробениуса

Позволять $f$ быть альтернативным представлением $S_{3}$, который определяется $f(\sigma )v=\operatorname {sgn}(\sigma )v$, где $\operatorname {sgn}(\sigma )$ это знак перестановки $\sigma$. Существует три класса сопряженности . $S_{3}$, который может быть представлен $e$ (тождество или произведение трех 1-циклов), $(12)$(транспозиции или продукты одного 2-цикла и одного 1-цикла) и $(123)$ (3-цикла). Таким образом, эти три класса сопряженности соответствуют трем разбиениям $3$ данный $(1,1,1)$, $(2,1)$, $(3)$. Значения $f$ на этих трёх занятиях $1,-1,1$ соответственно. Поэтому: $${\begin{aligned}\operatorname {ch} (f)&=z_{(1,1,1)}^{-1}f((1,1,1))p_{(1,1,1)}+z_{(2,1)}f((2,1))p_{(2,1)}+z_{(3)}^{-1}f((3))p_{(3)}\\&={\frac {1}{6}}(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{3}-{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})(x_{1}+x_{2}+x_{3})+{\frac {1}{3}}(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3})\\&=x_{1}x_{2}x_{3}\end{aligned}}$$С $f$ является неприводимым представлением (которое можно показать, вычислив его символы ), приведенное выше вычисление дает полином Шура трех переменных, соответствующий разбиению $3=1+1+1$.