Подпространство коммутатора

В математике подпространство-переключатель двустороннего идеала ограниченных линейных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве — это линейное подпространство, натянутое на коммутаторы операторов в идеале с ограниченными операторами.Современная характеристика подпространства коммутатора осуществляется через соответствие Калкина и включает в себя инвариантность пространства последовательностей Калкина операторного идеала к средствам Чезаро . Эта явная спектральная характеристика сводит проблемы и вопросы о коммутаторах и следах на двусторонних идеалах к (более разрешимым) проблемам и условиям в пространствах последовательностей.

История

Коммутаторы линейных операторов в гильбертовых пространствах приобрели известность в 1930-х годах, когда они фигурировали в матричной механике , или Гейзенберговой формулировке квантовой механики. Однако до 1970-х годов подпространствам коммутаторов уделялось мало внимания. Американский математик Пол Халмос в 1954 году показал, что каждый ограниченный оператор в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве является суммой двух коммутаторов ограниченных операторов. В 1971 году Карл Пирси и Дэвид Топпинг вновь вернулись к этой теме и изучили коммутаторные подпространства для идеалов Шаттена . Будучи студентом, американский математик Гэри Вайс начал исследовать спектральные условия для коммутаторов операторов Гильберта – Шмидта . Британский математик Найджел Калтон , заметив спектральное состояние Вейсса, охарактеризовал все коммутаторы следового класса. Результат Калтона составляет основу современной характеристики коммутаторного подпространства.В 2004 году Кен Дикема, Тадеуш Фигель , Гэри Вайс и Мариуш Водзицкий опубликовали спектральную характеристику нормальных операторов в коммутаторном подпространстве для каждого двустороннего идеала компактных операторов.

Определение

Коммутант двустороннего идеала J ограниченных линейных операторов B ( H ) в сепарабельном гильбертовом пространстве H — это линейная оболочка операторов в J вида [ A , B ] = AB − BA для всех операторов A из J и B из B ( H ).

Коммутантное подпространство J — это линейное подпространство J , обозначаемое Com( J ) или [ B ( H ), J ].

Спектральная

Соответствие Калкина утверждает, что компактный оператор A принадлежит двустороннему идеалу J тогда и только тогда, когда сингулярные значения µ( A ) оператора A принадлежат пространству последовательностей Калкина j ассоциированному с J. , Нормальные операторы , принадлежащие подпространству коммутатора Com( J ), могут быть охарактеризованы как операторы A такие, что µ( A ) принадлежит j , а последовательности среднее Чезаро µ( A ) принадлежит j . Следующая теорема представляет собой небольшое расширение разностей нормальных операторов. (установка B = 0 в дальнейшем дает утверждение предыдущего предложения).

Теорема. Предположим, что ,B — компактные нормальные операторы, принадлежащие двустороннему идеалу J. A Тогда A − B принадлежит коммутаторному подпространству Com( J ) тогда и только тогда, когда

$\left\{{\frac {1}{1+n}}\sum _{k=0}^{n}\left(\mu (k,A)-\mu (k,B)\right)\right\}_{n=0}^{\infty }\in j$

где j — пространство последовательностей Калкина, соответствующее J , а µ ( A ), µ ( B ) — сингулярные значения A и B соответственно.

При условии, что последовательности собственных значений всех операторов из J принадлежат пространству последовательностей Калкина j, существует спектральная характеризация для произвольных (ненормальных) операторов. Оно справедливо не для всякого двустороннего идеала, но известны необходимые и достаточные условия. Найджел Калтон и американский математик Кен Дайкема первыми ввели условие для счетно порожденных идеалов. Узбекские и австралийские математики Федор Сукочев и Дмитрий Занин завершили характеристику собственных значений.

Теорема. Предположим, J — двусторонний идеал такой, что ограниченный оператор A принадлежит J существует ограниченный оператор B всякий раз, когда в J такой, что

$\prod _{k=0}^{n}\mu (k,A)\leq \prod _{k=0}^{n}\mu (k,B),\quad n=0,1,2,\ldots .$ ( 1 )

Если ограниченные операторы A и B принадлежат J , то A − B принадлежит подпространству коммутатора Com( J ) тогда и только тогда, когда

$\left\{{\frac {1}{1+n}}\sum _{k=0}^{n}\left(\lambda (k,A)-\lambda (k,B)\right)\right\}_{n=0}^{\infty }\in j$

где j — пространство последовательностей Калкина, соответствующее J , а λ ( A ), λ ( B ) — последовательность собственных значений операторов A и B соответственно, переставленная так, что абсолютное значение собственных значений уменьшается.

Большинство двусторонних идеалов удовлетворяют условию теоремы, включая все банаховы идеалы и квазибанаховые идеалы.

Последствия характеристики

• Каждый оператор в J является суммой коммутаторов тогда и только тогда, когда соответствующее пространство последовательностей Калкина j инвариантно относительно средних значений Чезаро . В символах Com( J ) = J эквивалентно C( j ) = j , где C обозначает оператор Чезаро на последовательностях.
• В любом двустороннем идеале разница между положительным оператором и его диагонализацией представляет собой сумму коммутаторов. То есть A − Diag( µ ( A )) принадлежит Com( J ) для каждого положительного оператора A в J , где Diag ( µ ( A )) является диагонализацией A в произвольном ортонормированном базисе сепарабельного гильбертова пространства H .
• В любом двустороннем идеале, удовлетворяющем ( 1 ), разность между произвольным оператором и его диагонализацией представляет собой сумму коммутаторов. То есть A − Diag( λ ( A )) принадлежит Com( J ) для каждого оператора A в J , где Diag( λ ( A )) — это диагонализация A в произвольном ортонормированном базисе сепарабельного гильбертова пространства H и λ ( A ) является последовательностью собственных значений.
• Каждый квазинильпотентный оператор в двустороннем идеале, удовлетворяющий ( 1 ), является суммой коммутаторов.

Применение к следам

Основная статья: Сингулярный след

След φ на двустороннем идеале J группы B ( H) — это линейный функционал φ: J → $\mathbb {C}$ которое исчезает на Com( J ). Последствия выше подразумевают

• Двусторонний идеал J имеет ненулевой след тогда и только тогда, когда C( j ) ≠ j .
• φ ( A ) = φ ∘diag( µ ( A )) для каждого положительного оператора A в J , где diag( µ ( A )) — диагонализация A в произвольном ортонормированном базисе сепарабельного гильбертова пространства H . То есть следы на J находятся в прямом соответствии с симметричными функционалами на j .
• В любом двустороннем идеале, удовлетворяющем ( 1 ), φ ( A ) = φ ∘diag( λ ( A )) для каждого оператора A в J , где diag( λ ( A )) — диагонализация A в произвольном ортонормированном базисе сепарабельное гильбертово пространство H и λ ( A ) является последовательностью собственных значений.
• В любом двустороннем идеале, удовлетворяющем ( ) , φ ( Q ) = 0 для каждого квазинильпотентного оператора Q из J и каждого следа φ на J. 1

Примеры

Предположим, что H — сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство.

• Компактные операторы. Компактные линейные операторы K ( H ) соответствуют пространству сходящихся к нулю c0 _{последовательностей} . Для сходящейся к нулю последовательности средства Чезаро сходятся к нулю. Следовательно, C( c0 ₎ ) = c0 _K и Com( K ( H ) = ( H ) .
• Операторы конечного ранга. Операторы конечного ранга F ( H ) соответствуют пространству последовательностей с конечными ненулевыми членами c ₀₀ . Состояние

$\left\{{\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }\in c_{00}$

происходит тогда и только тогда, когда

$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}=0$

для последовательности ( a ₁ , a ₂ , ... , a _N , 0, 0 , ...) в c ₀₀ . Ядро оператора следа Tr на F ( H ) и коммутаторное подпространство операторов конечного ранга равны: ker Tr = Com( F ( H )) ⊊ F ( H ).

• Операторы класса трассировки. ядерного класса L1 _. соответствуют суммируемым последовательностям Операторы Состояние

$\left\{{\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }\in \ell _{1}$

сильнее, чем условие a ₁ + a ₂ ... = 0. Примером может служить последовательность с

$a_{n}={\frac {1}{n\log ^{2}(n)}},\quad n\geq 2.$

и

$a_{1}=-\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}.$

который имеет нулевую сумму, но не имеет суммируемой последовательности средних Чезаро. Следовательно, Com( L ₁ ) ⊊ ker Tr ⊊ L ₁ .

• Слабые операторы класса трассировки . Слабые ядерные операторы L _1,∞ соответствуют слабого l ₁ пространству последовательностей . Из условия

$\left\{{\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }\in \ell _{1,\infty }$

или эквивалентно

$\left\{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }=O(1)$

непосредственно Com( L _{1 ,∞} ) ₊ = ( L ₁ ) ₊ . Коммутаторное подпространство слабых ядерных операторов содержит ядерные операторы. Гармоническая последовательность 1,1/2,1/3,...,1/ n ,... принадлежит l _1,∞ и имеет расходящийся ряд, поэтомуСредние Чезаро гармонической последовательности не принадлежат l _1,∞ .Таким образом, L ₁ ⊊ Com( L _1,∞ ) ⊊ L _1,∞ .

Ссылки

• К. Дикема; Т. Фигель; Г. Вайс; М. Водзицкий (2004). «Коммутаторная структура операторных идеалов» (PDF) . Достижения в математике . 185 : 1–79. дои : 10.1016/s0001-8708(03)00141-5 .

• Г. Вайс (2005), « B ( H )-коммутаторы: исторический обзор», у Думитру Гашпара; Дэн Тимотин; Ласло Жидо; Исраэль Гохберг; Флориан-Хориа Василеску (ред.), Последние достижения в теории операторов, операторные алгебры и их приложения , Теория операторов: достижения и приложения, том. 153, Берлин: Birkhäuser Basel, стр. 307–320, ISBN.  978-3-7643-7127-2

• Т. Фигель; Н. Калтон (2002), «Симметрические линейные функционалы в функциональных пространствах», М. Цвикель; М. Энглис; А. Куфнер; Л.-Э. Перссон; Г. Спарр (ред.), Функциональные пространства, теория интерполяции и смежные темы: материалы международной конференции в честь Яака Пеэтре, посвященной его 65-летию: Лунд, Швеция, 17–22 августа 2000 г. , Де Грюйтер: Труды по математике , Берлин: Де Грюйтер, стр. 311–332, ISBN.  978-3-11-019805-8

• С. Лорд, Ф.А. Сукочев. Д. Занин (2012). Сингулярные следы: теория и приложения . Берлин: Де Грюйтер. дои : 10.1515/9783110262551 . ISBN  978-3-11-026255-1 .