Теорема Бабушки – Лакса – Милгрэма

В математике теорема Бабушки –Лакса–Милгрэма является обобщением знаменитой теоремы Лакса–Милгрэма , которая дает условия, при которых билинейная форма может быть «обращёна», чтобы показать существование и единственность слабого решения заданной краевой задачи. . Результат назван в честь математиков Иво Бабушки , Питера Лакса и Артура Милгрэма .

Фон

В современном функционально-аналитическом подходе к изучению уравнений в частных производных не пытаются решить заданное уравнение в частных производных напрямую, а используют структуру векторного пространства возможных решений, например пространства Соболева W ^{к , п}. Абстрактно, рассмотрим два вещественных нормированных пространства U и V с непрерывными двойственными к ним пространствами U ^∗ и В. ^∗ соответственно. Во многих приложениях U — это пространство возможных решений; для некоторого оператора в частных производных Λ : U → V ^∗ и заданный элемент f ∈ V ^∗, цель состоит в том, чтобы найти u ∈ U такой, что

\Lambda u=f.

Однако в слабой формулировке это уравнение должно выполняться только при «проверке» на все другие возможные V. элементы Это «тестирование» осуществляется с помощью билинейной функции B : U × V → R , которая кодирует дифференциальный оператор Λ; слабым решением проблемы является нахождение u ∈ U такого, что

B(u,v)=\langle f,v\rangle {\mbox{ for all }}v\in V.

Достижением Лакса и Милгрэма в их результате 1954 года было указание достаточных условий для того, чтобы эта слабая формулировка имела единственное решение, которое непрерывно зависит от заданных данных f ∈ V. ^∗: достаточно, чтобы U = V было гильбертовым пространством , что B было непрерывным и что B было сильно коэрцитивным , т.е.

|B(u,u)|\geq c\|u\|^{2}

для некоторой константы c > 0 и всех u ∈ U .

Например, при решении уравнения Пуассона в ограниченной области открытой Ω ⊂ R ^н,

{\begin{cases}-\Delta u(x)=f(x),&x\in \Omega ;\\u(x)=0,&x\in \partial \Omega ;\end{cases}}

пространство U можно считать пространством Соболева H ₀¹(Ω) с двойственным H ⁻¹(Ом); первое является подпространством L ^п пространство V = L ²(Ом); билинейная форма B, связанная с −Δ, представляет собой L ²(Ω) внутренний продукт производных:

B(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,\mathrm {d} x.

Следовательно, слабая формулировка уравнения Пуассона при f ∈ L ²(Ω), состоит в том, чтобы найти u _f такой, что

\int _{\Omega }\nabla u_{f}(x)\cdot \nabla v(x)\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f(x)v(x)\,\mathrm {d} x{\mbox{ for all }}v\in H_{0}^{1}(\Omega ).

Формулировка теоремы

В 1971 году Бабушка предоставил следующее обобщение более раннего результата Лакса и Милгрэма, которое начинается с отказа от требования, чтобы U и V были одним и тем же пространством. Пусть U и V — два вещественных гильбертовых пространства, и пусть B : U × V → R — непрерывный билинейный функционал. Предположим также, что B слабо коэрцитивна: для некоторой константы c > 0 и всех u ∈ U ,