Квантовые состояния нейронной сети

Квантовые состояния нейронной сети ( NQS или NNQS ) — это общий класс вариационных квантовых состояний, параметризованных в терминах искусственной нейронной сети . Впервые его представили в 2017 году физики Джузеппе Карлео и Матиас Тройер. аппроксимировать волновые функции систем многих тел квантовых .

Учитывая многочастичное квантовое состояние $|\Psi \rangle$ включающий $N$ степени свободы и выбор связанных с ними квантовых чисел $s_{1}\ldots s_{N}$, то NQS параметризует амплитуды волновой функции

$$\langle s_{1}\ldots s_{N}|\Psi ;W\rangle =F(s_{1}\ldots s_{N};W),$$

где $F(s_{1}\ldots s_{N};W)$ представляет собой искусственную нейронную сеть параметров (весов) $W$, $N$ входные переменные ( $s_{1}\ldots s_{N}$) и один комплексный выходной сигнал, соответствующий амплитуде волновой функции.

Эта вариационная форма используется в сочетании со специфическими подходами стохастического обучения для аппроксимации интересующих квантовых состояний.

Изучение волновой функции основного состояния

Одним из распространенных применений NQS является поиск приближенного представления волновой функции основного состояния данного гамильтониана. ${\hat {H}}$. Процедура обучения в этом случае заключается в поиске наилучших весов нейронной сети, минимизирующих вариационную энергию.

$$E(W)=\langle \Psi ;W|{\hat {H}}|\Psi ;W\rangle .$$

Поскольку для общей искусственной нейронной сети вычисление математического ожидания является экспоненциально дорогостоящей операцией в $N$ стохастические методы, основанные, например, на методе Монте-Карло. для оценки используются $E(W)$, аналогично тому, что делается в Вариационном Монте-Карло , см. например для обзора. Точнее, набор $M$ образцы $S^{(1)},S^{(2)}\ldots S^{(M)}$, с $S^{(i)}=s_{1}^{(i)}\ldots s_{N}^{(i)}$, генерируется так, что они равномерно распределены в соответствии с плотностью вероятности Борна $P(S)\propto |F(s_{1}\ldots s_{N};W)|^{2}$. Тогда можно показать, что выборочное среднее так называемой «локальной энергии» $E_{\mathrm {loc} }(S)=\langle S|{\hat {H}}|\Psi \rangle /\langle S|\Psi \rangle$ это статистическая оценка значения квантового ожидания $E(W)$, то есть

$$E(W)\simeq {\frac {1}{M}}\sum _{i}^{M}E_{\mathrm {loc} }(S^{(i)}).$$

Аналогичным образом можно показать, что градиент энергии по отношению к весам сети $W$ также аппроксимируется выборочным средним

$${\frac {\partial E(W)}{\partial W_{k}}}\simeq {\frac {1}{M}}\sum _{i}^{M}(E_{\mathrm {loc} }(S^{(i)})-E(W))O_{k}^{\star }(S^{(i)}),$$

где $O(S^{(i)})={\frac {\partial \log F(S^{(i)};W)}{\partial W_{k}}}$ и может быть эффективно вычислен в глубоких сетях посредством обратного распространения ошибки .

Затем используется стохастическая аппроксимация градиентов для минимизации энергии $E(W)$ обычно используется метод стохастического градиентного спуска . Когда параметры нейронной сети обновляются на каждом этапе процедуры обучения, создается новый набор образцов. $S^{(i)}$ генерируется в итеративной процедуре, аналогичной тому, что делается при обучении без учителя .

Соединение с тензорными сетями

Нейронные представления квантовых волновых функций имеют некоторое сходство с вариационными квантовыми состояниями, основанными на тензорных сетях . Например, связи с состояниями матричного продукта . установлены Эти исследования показали, что NQS поддерживает масштабирование энтропии запутывания по закону объема . В общем, учитывая NQS с полностью связными весами, в худшем случае это соответствует состоянию матричного продукта с экспоненциально большой размерностью связи в $N$.

См. также

• Дифференцируемое программирование