Гладкий шаг

График функций Smoothstep( x ) и Smootherstep( x ) с использованием 0 в качестве левого края и 1 в качестве правого края.

Smoothstep — это семейство сигмовидных функций интерполяции и ограничения , обычно используемых в компьютерной графике . движки видеоигр , и машинное обучение .

Функция зависит от трех параметров: входного x , «левого края» и «правого края», при этом левый край предполагается меньшим, чем правый край. Функция получает действительное число x в качестве аргумента и возвращает 0, если x меньше или равно левому краю, 1, если x больше или равно правому краю, и плавно интерполирует, используя полином Эрмита , между 0 и 1 иначе. Градиент функции Smoothstep равен нулю на обоих краях. Это удобно для создания последовательности переходов с использованием Smoothstep для интерполяции каждого сегмента в качестве альтернативы использованию более сложных или дорогостоящих методов интерполяции.

В HLSL и GLSL Smoothstep ​ реализует $\operatorname {S} _{1}(x)$, кубическая интерполяция Эрмита после зажима :

$\operatorname {smoothstep} (x)=S_{1}(x)={\begin{cases}0,&x\leq 0\\3x^{2}-2x^{3},&0\leq x\leq 1\\1,&1\leq x\\\end{cases}}$

Предполагая, что левое ребро равно 0, правое ребро равно 1, при этом переход между ребрами происходит при 0 ≤ x ≤ 1.

Модифицированный пример реализации C/C++, предоставленный AMD. следует.

float smoothstep (float edge0, float edge1, float x) {
   // Scale, and clamp x to 0..1 range
   x = clamp((x - edge0) / (edge1 - edge0));

   return x * x * (3.0f - 2.0f * x);
}

float clamp(float x, float lowerlimit = 0.0f, float upperlimit = 1.0f) {
  if (x < lowerlimit) return lowerlimit;
  if (x > upperlimit) return upperlimit;
  return x;
}

Общая форма Smoothstep , опять же предполагая, что левый край равен 0, а правый край равен 1, выглядит следующим образом:

$\operatorname {S} _{n}(x)={\begin{cases}0,&{\text{if }}x\leq 0\\x^{n+1}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+k}{k}}{\binom {2n+1}{n-k}}(-x)^{k},&{\text{if }}0\leq x\leq 1\\1,&{\text{if }}1\leq x\\\end{cases}}$

$\operatorname {S} _{0}(x)$ идентична функции зажима :

$\operatorname {S} _{0}(x)={\begin{cases}0,&{\text{if }}x\leq 0\\x,&{\text{if }}0\leq x\leq 1\\1,&{\text{if }}1\leq x\\\end{cases}}$

Характерная S-образная сигмовидная кривая получается при $\operatorname {S} _{n}(x)$ только для целых чисел n ≥ 1. Порядок многочлена x в общем плавном шаге равен 2 n + 1. При n = 1 наклоны или первые производные гладкого шага равны нулю на левом и правом краях ( = 0 и x = 1), где кривая присоединяется к постоянному или насыщенному уровню. При более высоком целом n вторая и старшие производные равны нулю по краям, что делает полиномиальные функции максимально плоскими, а соединение с предельными значениями 0 или 1 более плавным.

Вариации

Кен Перлин предложил улучшенная версия широко используемой функции плавного шага первого порядка, эквивалентной второму порядку ее общей формы. 1-го и 2-го порядка Он имеет нулевые производные при x = 0 и x = 1:

$\operatorname {smootherstep} (x)=S_{2}(x)={\begin{cases}0,&x\leq 0\\6x^{5}-15x^{4}+10x^{3},&0\leq x\leq 1\\1,&1\leq x\\\end{cases}}$

Эталонная реализация C/C++:

float smootherstep(float edge0, float edge1, float x) {
  // Scale, and clamp x to 0..1 range
  x = clamp((x - edge0) / (edge1 - edge0));

  return x * x * x * (x * (6.0f * x - 15.0f) + 10.0f);
}

float clamp(float x, float lowerlimit = 0.0f, float upperlimit = 1.0f) {
  if (x < lowerlimit) return lowerlimit;
  if (x > upperlimit) return upperlimit;
  return x;
}

Источник

уравнение 3-го порядка

Начнем с общей полиномиальной функции третьего порядка и ее первой производной :

${\begin{alignedat}{9}\operatorname {S} _{1}(x)&&\;=\;&&a_{3}x^{3}&&\;+\;&&a_{2}x^{2}&&\;+\;&&a_{1}x&&\;+\;&&a_{0},&\\\operatorname {S} _{1}'(x)&&\;=\;&&3a_{3}x^{2}&&\;+\;&&2a_{2}x&&\;+\;&&a_{1}.&\end{alignedat}}$

Применение желаемых значений функции в обеих конечных точках:

${\begin{alignedat}{13}\operatorname {S} _{1}(0)&&\;=\;&&0\quad &&\Rightarrow &&\quad 0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;a_{0}&&\;=\;&&0,&\\\operatorname {S} _{1}(1)&&\;=\;&&1\quad &&\Rightarrow &&\quad a_{3}\;&&+&&\;a_{2}\;&&+&&\;a_{1}\;&&+&&\;a_{0}&&\;=\;&&1.&\end{alignedat}}$

Применение желаемых значений для первой производной функции в обеих конечных точках:

${\begin{alignedat}{11}\operatorname {S} _{1}'(0)&&\;=\;&&0\quad &&\Rightarrow &&\quad 0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;a_{1}\;&&=\;&&0,&\\\operatorname {S} _{1}'(1)&&\;=\;&&0\quad &&\Rightarrow &&\quad 3a_{3}\;&&+&&\;2a_{2}\;&&+&&\;a_{1}\;&&=\;&&0.&\end{alignedat}}$

Решение системы 4 неизвестных, образованной последними 4 уравнениями, приводит к значениям коэффициентов полинома:

$a_{0}=0,\quad a_{1}=0,\quad a_{2}=3,\quad a_{3}=-2.$

третьего порядка В результате получается функция «плавного шага» :

$\operatorname {S} _{1}(x)=-2x^{3}+3x^{2}.$

уравнение 5-го порядка

Начнем с общей полиномиальной функции пятого порядка, ее первой производной и второй производной:

${\begin{alignedat}{13}\operatorname {S} _{2}(x)&&\;=\;&&a_{5}x^{5}&&\;+\;&&a_{4}x^{4}&&\;+\;&&a_{3}x^{3}&&\;+\;&&a_{2}x^{2}&&\;+\;&&a_{1}x&&\;+\;&&a_{0},&\\\operatorname {S} _{2}'(x)&&\;=\;&&5a_{5}x^{4}&&\;+\;&&4a_{4}x^{3}&&\;+\;&&3a_{3}x^{2}&&\;+\;&&2a_{2}x&&\;+\;&&a_{1},&\\\operatorname {S} _{2}''(x)&&\;=\;&&20a_{5}x^{3}&&\;+\;&&12a_{4}x^{2}&&\;+\;&&6a_{3}x&&\;+\;&&2a_{2}.&\end{alignedat}}$

Применение желаемых значений функции в обеих конечных точках:

${\begin{alignedat}{17}\operatorname {S} _{2}(0)&&\;=\;&&0\;\;\;\;\;&&\Rightarrow &&\;\;\;\;\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;a_{0}&&\;=\;&&0,&\\\operatorname {S} _{2}(1)&&\;=\;&&1\;\;\;\;\;&&\Rightarrow &&\;\;\;\;\;a_{5}\;&&+&&\;a_{4}\;&&+&&\;a_{3}\;&&+&&\;a_{2}\;&&+&&\;a_{1}\;&&+&&\;a_{0}&&\;=\;&&1.&\end{alignedat}}$

Применение желаемых значений для первой производной функции в обеих конечных точках:

${\begin{alignedat}{15}\operatorname {S} _{2}'(0)&&\;=\;&&0\;\;\;\;&&\Rightarrow &&\;\;\;\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;a_{1}\;&&=\;&&0,&\\\operatorname {S} _{2}'(1)&&\;=\;&&0\;\;\;\;&&\Rightarrow &&\;\;\;\;5a_{5}\;&&+&&\;4a_{4}\;&&+&&\;3a_{3}\;&&+&&\;2a_{2}\;&&+&&\;a_{1}\;&&=\;&&0.&\end{alignedat}}$

Применение желаемых значений для второй производной функции в обеих конечных точках:

${\begin{alignedat}{15}\operatorname {S} _{2}''(0)&&\;=\;&&0\;\;\;\;&&\Rightarrow &&\;\;\;\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;2a_{2}\;&&=\;&&0,&\\\operatorname {S} _{2}''(1)&&\;=\;&&0\;\;\;\;&&\Rightarrow &&\;\;\;\;20a_{5}\;&&+&&\;12a_{4}\;&&+&&\;6a_{3}\;&&+&&\;2a_{2}\;&&=\;&&0.&\end{alignedat}}$

Решение системы из 6 неизвестных, образованной последними 6 уравнениями, приводит к значениям коэффициентов полинома:

$a_{0}=0,\quad a_{1}=0,\quad a_{2}=0,\quad a_{3}=10,\quad a_{4}=-15,\quad a_{5}=6.$

пятого порядка В результате получается функция «плавного шага» :

$\operatorname {S} _{2}(x)=6x^{5}-15x^{4}+10x^{3}.$

уравнение 7-го порядка

Применяя аналогичные методы, уравнение 7-го порядка имеет вид:

$\operatorname {S} _{3}(x)=-20x^{7}+70x^{6}-84x^{5}+35x^{4}.$

Обобщение на уравнения более высокого порядка

Полиномы плавного шага являются обобщенными, при этом 0 ≤ x ≤ 1 как

${\begin{aligned}\operatorname {S} _{N}(x)&=x^{N+1}\sum _{n=0}^{N}{\binom {N+n}{n}}{\binom {2N+1}{N-n}}(-x)^{n}\qquad N\in \mathbb {N} \\&=\sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}{\binom {N+n}{n}}{\binom {2N+1}{N-n}}x^{N+n+1}\\&=\sum _{n=0}^{N}{\binom {-N-1}{n}}{\binom {2N+1}{N-n}}x^{N+n+1},\\\end{aligned}}$

где N определяет порядок результирующей полиномиальной функции, который равен 2 N + 1. Первые семь полиномов плавного шага с 0 ≤ x ≤ 1 равны

${\begin{aligned}\operatorname {S} _{0}(x)&=x,\\\operatorname {S} _{1}(x)&=-2x^{3}+3x^{2},\\\operatorname {S} _{2}(x)&=6x^{5}-15x^{4}+10x^{3},\\\operatorname {S} _{3}(x)&=-20x^{7}+70x^{6}-84x^{5}+35x^{4},\\\operatorname {S} _{4}(x)&=70x^{9}-315x^{8}+540x^{7}-420x^{6}+126x^{5},\\\operatorname {S} _{5}(x)&=-252x^{11}+1386x^{10}-3080x^{9}+3465x^{8}-1980x^{7}+462x^{6},\\\operatorname {S} _{6}(x)&=924x^{13}-6006x^{12}+16380x^{11}-24024x^{10}+20020x^{9}-9009x^{8}+1716x^{7}.\\\end{aligned}}$

Дифференциал $\operatorname {S} _{N}(x)$ является

${\begin{aligned}\operatorname {d \over dx} {S}_{N}(x)&=(2N+1){\binom {2N}{N}}(x-x^{2})^{N}.\\\end{aligned}}$

Можно показать, что полиномы плавного шага $\operatorname {S} _{N}(x)$ этот переход от 0 к 1 при переходе x от 0 к 1 можно просто отобразить в нечетной симметрии. полиномы

$\operatorname {R} _{N}(x)=\left(\int _{0}^{1}{\big (}1-u^{2}{\big )}^{N}\,du\right)^{-1}\int _{0}^{x}{\big (}1-u^{2}{\big )}^{N}\,du,$

где

$\operatorname {S} _{N}(x)={\tfrac {1}{2}}\operatorname {R} _{N}(2x-1)+{\tfrac {1}{2}}$

и

$\operatorname {R} _{N}(-x)=-\operatorname {R} _{N}(x).$

Аргумент RN ₍ x ) равен −1 ≤ x ≤ 1 и добавляется к константе −1 слева и +1 справа.

Реализация $\operatorname {S} _{N}(x)$ в Javascript:

// Generalized smoothstep
function generalSmoothStep(N, x) {
  x = clamp(x, 0, 1); // x must be equal to or between 0 and 1
  var result = 0;
  for (var n = 0; n <= N; ++n)
    result += pascalTriangle(-N - 1, n) *
              pascalTriangle(2 * N + 1, N - n) *
              Math.pow(x, N + n + 1);
  return result;
}

// Returns binomial coefficient without explicit use of factorials,
// which can't be used with negative integers
function pascalTriangle(a, b) {
  var result = 1; 
  for (var i = 0; i < b; ++i)
    result *= (a - i) / (i + 1);
  return result;
}

function clamp(x, lowerlimit, upperlimit) {
  if (x < lowerlimit)
    x = lowerlimit;
  if (x > upperlimit)
    x = upperlimit;
  return x;
}

Обратный плавный шаг

Обратный метод Smoothstep() может быть полезен при выполнении определенных операций в компьютерной графике, когда его эффект необходимо обратить вспять или компенсировать. В случае уравнения 3-го порядка существует аналитическое решение обратного, которое имеет вид:

$\operatorname {InvS} _{1}(x)=1/2-\sin(\operatorname {asin} (1-2x)/3)$

Это возникает как обратное $\operatorname {f} (x)=1/2-\sin(3\operatorname {asin} (0.5-x))/2$, ряд Маклорена которого заканчивается на $3x^{2}-2x^{3}=S_{1}(x)$, значение $\operatorname {f}$ и $\operatorname {S} _{1}$ выразить ту же функцию. С другой стороны, разложение обратного ряда в ряд не заканчивается.

В ГЛСЛ:

float inverse_smoothstep(float x) {
  return 0.5 - sin(asin(1.0 - 2.0 * x) / 3.0);
}

Внешние ссылки

• Использование Smoothstep (на языке шейдеров RenderMan ) профессора Малкольма Кессона.
• Уловки интерполяции от Яри Комппы
• Swift Interpolation Playground демонстрирует SmoothStep() , SmootherStep() и SmoothestStep() на игровой площадке Swift от Саймона Гладмана.
• Обратный плавный шаг от Иниго Килеза