Ковариационная функция

В теории вероятностей и статистике функция ковариации описывает, насколько две случайные величины изменяются вместе (их ковариация ) при изменении пространственного или временного разделения. Для случайного поля или случайного процесса Z ( x ) в области D функция ковариации C ( x , y ) дает ковариацию значений случайного поля в двух местах x и y :

$$C(x,y):=\operatorname {cov} (Z(x),Z(y))=\mathbb {E} {\Big [}{\big (}Z(x)-\mathbb {E} [Z(x)]{\big )}{\big (}Z(y)-\mathbb {E} [Z(y)]{\big )}{\Big ]}.\,$$

Одна и та же функция C ( x , y ) называется автоковариационной функцией в двух случаях: во временных рядах (для обозначения точно такой же концепции, за исключением того, что x и y относятся к местоположениям во времени, а не в пространстве) и в многомерных случайных полях (для обозначения местоположения во времени, а не в пространстве). относятся к ковариации переменной самой себе, в отличие от перекрестной ковариации между двумя разными переменными в разных местах, Cov( Z ( x ₁ ), Y ( x ₂ ))).

Приемлемость

Для местоположений x ₁ , x ₂ , ..., x _N ∈ D дисперсия каждой линейной комбинации

$X=\sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})$

может быть вычислено как

$\operatorname {var} (X)=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{i}C(x_{i},x_{j})w_{j}.$

Функция является допустимой ковариационной функцией тогда и только тогда, когда эта дисперсия неотрицательна для всех возможных вариантов N и весов w ₁ , ..., w _N . Функция, обладающая этим свойством, называется положительно-полуопределенной .

Упрощения со стационарностью

В случае слабостационарного случайного поля , где

$C(x_{i},x_{j})=C(x_{i}+h,x_{j}+h)\,$

для любого лага h функция ковариации может быть представлена ​​однопараметрической функцией

$C_{s}(h)=C(0,h)=C(x,x+h)\,$

которая называется ковариограммой , а также функцией ковариации . Неявно C ( x _i , x _j ) можно вычислить из C _s ( h ) следующим образом:

$C(x,y)=C_{s}(y-x).\,$

Положительную определенность этой одноаргументной версии ковариационной функции можно проверить с помощью теоремы Бохнера .

Параметрические семейства ковариационных функций

Для заданной дисперсии $\sigma ^{2}$, простая стационарная параметрическая ковариационная функция - это «экспоненциальная ковариационная функция».

$C(d)=\sigma ^{2}\exp(-d/V)$

где V — параметр масштабирования (длина корреляции), а d = d ( x , y ) — расстояние между двумя точками. Выборочные пути гауссовского процесса с экспоненциальной ковариационной функцией не являются гладкими. «Квадратная экспоненциальная» (или « гауссова ») ковариационная функция:

$C(d)=\sigma ^{2}\exp(-(d/V)^{2})$

представляет собой стационарную ковариационную функцию с гладкими траекториями выборки.

и Ковариационная функция Матерна рациональная квадратичная ковариационная функция представляют собой два параметрических семейства стационарных ковариационных функций. Семейство Матерна включает экспоненциальную и квадратичную экспоненциальную ковариационные функции в качестве особых случаев.

См. также

• Автокорреляционная функция
• Корреляционная функция
• Ковариационная матрица
• Ковариационный оператор - Оператор в теории вероятностей
• Кригинг
• Положительно определенное ядро
• Случайное поле
• Случайный процесс
• Вариограмма