Вероятность поездок на работу

В математике и, точнее, в теории групп , вероятность коммутации (также называемая степенью коммутативности или степенью коммутативности ) конечной группы — это вероятность того, что два случайно выбранных элемента коммутируют . ^[1]^[2] Его можно использовать для измерения того, насколько близка к абелевой конечная группа. Его можно обобщить на бесконечные группы , снабженные подходящей вероятностной мерой : ^[3] а также может быть обобщено на другие алгебраические структуры, такие как кольца . ^[4]

Определение [ править ]

Позволять $G$ быть конечной группой . Мы определяем $p(G)$ как среднее число пар элементов $G$ которые ездят:

p(G):={\frac {1}{\#G^{2}}}\#\!\left\{(x,y)\in G^{2}\mid xy=yx\right\}

где $\#X$ обозначает мощность конечного множества $X$ .

Если рассматривать равномерное распределение на $G^{2}$ , $p(G)$ вероятность того, что два случайно выбранных элемента $G$ добираться. Поэтому $p(G)$ называется коммутации вероятностью $G$ .

Результаты [ править ]

Конечная группа $G$ абелева тогда и только тогда, когда $p(G)=1$ .
У одного есть

p(G)={\frac {k(G)}{\#G}}

где

k(G)

— число сопряженности классов

G

.

Если $G$ тогда не абелева $p(G)\leq 5/8$ (этот результат иногда называют теоремой 5/8 ^[5]) и эта верхняя оценка точна: существует бесконечно много конечных групп $G$ такой, что $p(G)=5/8$ , наименьшая из которых представляет собой группу диэдра порядка 8 .
Единой нижней границы не существует. $p(G)$ . В самом деле, для каждого положительного целого числа $n$ существует конечная группа $G$ такой, что $p(G)=1/n$ .
Если $G$ не абелева, а простая , то $p(G)\leq 1/12$ (эта верхняя граница достигается ${\mathfrak {A}}_{5}$ , знакопеременная группа степени 5).
Множество коммутирующих вероятностей конечных групп обратно-упорядочено, и известно, что обратным типу его порядка является либо $\omega ^{\omega }$ или $\omega ^{\omega ^{2}}$ . ^[6]

Обобщения [ править ]

Вероятность коммутации может быть определена для других алгебраических структур, таких как конечные кольца . ^[4]
Вероятность коммутации может быть определена для бесконечных компактных групп ; тогда вероятностная мера после перенормировки будет мерой Хаара . ^[3]

Ссылки [ править ]

^ Густафсон, WH (1973). «Какова вероятность того, что два элемента группы коммутируют?». Американский математический ежемесячник . 80 (9): 1031–1034. дои : 10.1080/00029890.1973.11993437 .
^ Дас, АК; Нат, РК; Пурнаки, MR (2013). «Обзор по оценке коммутативности в конечных группах». Математический бюллетень Юго-Восточной Азии . 37 (2): 161–180.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хофманн, Карл Х.; Руссо, Франческо Г. (2012). «Вероятность того, что x и y коммутируют в компактной группе». Математические труды Кембриджского философского общества . 153 (3): 557–571. arXiv : 1001.4856 . Бибкод : 2012MPCPS.153..557H . дои : 10.1017/S0305004112000308 . S2CID 115180549 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мачале, Десмонд (1976). «Коммутативность в конечных кольцах». Американский математический ежемесячник . 83 : 30–32. дои : 10.1080/00029890.1976.11994032 .
^ Баэз, Джон К. (16 сентября 2018 г.). «Теорема 5/8» . Азимут .
^ Эберхард, Шон (2015). «Коммутирующие вероятности конечных групп». Бюллетень Лондонского математического общества . 47 (5): 796–808. arXiv : 1411.0848 . дои : 10.1112/blms/bdv050 . S2CID 119636430 .

[1] Густафсон, WH (1973). «Какова вероятность того, что два элемента группы коммутируют?». Американский математический ежемесячник . 80 (9): 1031–1034. дои : 10.1080/00029890.1973.11993437 .

[2] Дас, АК; Нат, РК; Пурнаки, MR (2013). «Обзор по оценке коммутативности в конечных группах». Математический бюллетень Юго-Восточной Азии . 37 (2): 161–180.

[:0-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хофманн, Карл Х.; Руссо, Франческо Г. (2012). «Вероятность того, что x и y коммутируют в компактной группе». Математические труды Кембриджского философского общества . 153 (3): 557–571. arXiv : 1001.4856 . Бибкод : 2012MPCPS.153..557H . дои : 10.1017/S0305004112000308 . S2CID 115180549 .

[:1-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мачале, Десмонд (1976). «Коммутативность в конечных кольцах». Американский математический ежемесячник . 83 : 30–32. дои : 10.1080/00029890.1976.11994032 .

[5] Баэз, Джон К. (16 сентября 2018 г.). «Теорема 5/8» . Азимут .

[6] Эберхард, Шон (2015). «Коммутирующие вероятности конечных групп». Бюллетень Лондонского математического общества . 47 (5): 796–808. arXiv : 1411.0848 . дои : 10.1112/blms/bdv050 . S2CID 119636430 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]