Геометрия октонионов
«Геометрия октонионов» — это математическая книга об октонионах , системе чисел, обобщающей комплексные числа и кватернионы , представляющая материал на уровне, подходящем для студентов-математиков. Он был написан Тевианом Дрэем и Коринн Маноуг и опубликован в 2015 году издательством World Scientific. Комитет по основным спискам библиотек Американской математической ассоциации предложил включить ее в библиотеки по математике для студентов. [1]
Темы
[ редактировать ]Книга разделена на три части, причем вторая часть является наиболее значимой. [2] Его содержание сочетает в себе как обзор прошлых работ в этой области, так и большую часть собственных исследований авторов. [3]
Первая часть объясняет конструкцию Кэли-Диксона . [1] [3] который конструирует комплексные числа из действительных чисел , кватернионы из комплексных чисел и октонионы из кватернионов. Также обсуждаются родственные алгебры, в том числе седенионы (16-мерная вещественная алгебра, образованная таким же образом, если сделать еще один шаг за пределами октонионов) и расщепленные действительные с единицей алгебры композиции (также называемые алгебрами Гурвица). [2] Особое внимание здесь уделяется геометрической интерпретации операции умножения этих алгебр. [4] Рецензент Данаил Брезов с разочарованием отмечает, что алгебры Клиффорда , хотя и очень актуальны для этого материала, но не рассматриваются. [3]
Во второй части книги октонионы и другие связанные с ним алгебры с делением используются для предоставления конкретных описаний групп Ли геометрических симметрий. К ним относятся группы вращения , спиновые группы , симплектические группы и исключительные группы Ли , которые в книге интерпретируются как октонионные варианты классических групп Ли. [2] [4]
часть применяет октонионы в геометрических конструкциях, включая расслоение Хопфа и его обобщения, плоскость Кэли и E8 Третья решетку . Это также связывает их с проблемами физики, включающими четырехмерное уравнение Дирака , квантовую механику релятивистских фермионов , спиноров и формулировку квантовой механики с использованием йордановых алгебр . [2] [3] [4] Он также включает материалы по октонионной теории чисел . [3] [4] и завершается главой о магическом квадрате Фрейденталя и связанных с ним конструкциях. [2]
Аудитория и прием
[ редактировать ]представлена на уровне бакалавриата, Несмотря на то, что «Геометрия октонионов» она не является учебником: ее материал, вероятно, слишком специализирован для курса бакалавриата, и в ней отсутствуют упражнения или аналогичный материал, который мог бы потребоваться для использования ее в качестве учебника. [1] Читатели должны быть знакомы с линейной алгеброй , а некоторый опыт работы с группами Ли . также иметь [2] Последующие главы, посвященные приложениям в физике, более сложны и требуют знания квантовой механики. [1]
Книга избегает строгого формального стиля математического письма. [2] настолько, что рецензент Данаил Брезов пишет, что в некоторых моментах ему «кажется, не хватает математической строгости». [3]
Связанное чтение
[ редактировать ]Многие рецензенты предполагают, что эта работа станет хорошим введением в октонионы и станет трамплином к более продвинутому материалу, представленному в других работах по той же теме. [2] [3] [4] Их предложения включают следующее:
- Баэз, Джон К. (2002), «Октонионы», Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 39 (2): 145–205, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X , MR 1886087 , S2CID 586512
- Конвей, Джон Х .; Смит, Дерек А. (2003), О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия , Натик, Массачусетс: AK Peters, ISBN 1-56881-134-9 , МР : 1957212
- Кантор, Иллинойс ; Солодовников А.С. (1989), Гиперкомплексные числа: элементарное введение в алгебру , Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-3650-4 , ISBN 0-387-96980-2 , МР 0996029
- Зальцманн, Гельмут; Беттен, Дитер; Грундхёфер, Тео; Хель, Герман; Лёвен, Райнер; Строппель, Маркус (1995), Компактные проективные плоскости: введение в геометрию октонионов , Expositions De Gruyter in Mathematics, vol. 21, Вальтер де Грютер и компания, Берлин, номер номера : 10.1515/9783110876833 , ISBN 3-11-011480-1 , МР 1384300
- Спрингер, Тонни А .; Вельдкамп, Фердинанд Д. (2000), Октонионы, йордановые алгебры и исключительные группы , Монографии Спрингера по математике, Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-12622-6 , ISBN 3-540-66337-1 , МР 1763974
- Уорд, Дж. П. (1997), Кватернионы и числа Кэли: алгебра и приложения , Математика и ее приложения, том. 403, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, номер номера : 10.1007/978-94-011-5768-1 , ISBN. 0-7923-4513-4 , МР 1458894
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с д Хуначек, Марк (июнь 2015 г.), «Обзор геометрии октонионов » , MAA Reviews
- ^ Jump up to: а б с д и ж г час Эльдук, Альберто, «Обзор геометрии октонионов », MathSciNet , MR 3361898
- ^ Jump up to: а б с д и ж г Брезов, Данаил (2015), «Обзор геометрии октонионов » , Журнал «Геометрия и симметрия в физике» , 39 : 99–101, Zbl 1417.00016
- ^ Jump up to: а б с д и Кнарр, Норберт, «Обзор геометрии октонионов », zbMATH , Zbl 1333.17004.