Контурный набор

В математике контурные множества обобщают и формализуют повседневные представления о

все превосходящее что-либо
все превосходящее или эквивалентное чему-либо
все чем-то хуже
все, что ниже или эквивалентно чему-то.

Формальные определения

Учитывая отношение к элементов множества парам $X$

\succcurlyeq ~\subseteq ~X^{2}

и элемент $x$ из $X$

x\in X

Верхний контурный набор $x$ это совокупность всех $y$ которые связаны с $x$ :

\left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}

Нижний контурный набор $x$ это совокупность всех $y$ такой, что $x$ с ними связано:

\left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}

Строгий верхний контурный комплект $x$ это совокупность всех $y$ которые связаны с $x$ без $x$ будучи таким образом связанным с любым из них:

\left\{y~\backepsilon ~(y\succcurlyeq x)\land \lnot (x\succcurlyeq y)\right\}

Строгий нижний контурный комплект $x$ это совокупность всех $y$ такой, что $x$ связано с ними, но ни один из них не связан таким образом с $x$ :

\left\{y~\backepsilon ~(x\succcurlyeq y)\land \lnot (y\succcurlyeq x)\right\}

Формальные выражения последних двух можно упростить, если мы определили

\succ ~=~\left\{\left(a,b\right)~\backepsilon ~\left(a\succcurlyeq b\right)\land \lnot (b\succcurlyeq a)\right\}

так что $a$ связано с $b$ но $b$ имеет не отношения к $a$ , и в этом случае строгое верхнее контурное множество $x$ является

\left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}

и строгий нижний контурный набор $x$ является

\left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}

Контурные множества функции

В случае функции $f()$ рассматривается с точки зрения отношения $\triangleright$ , ссылка на наборы контуров функции неявно относится к наборам контуров подразумеваемого отношения

(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\triangleright f(b)]

Примеры

Арифметика

Рассмотрим действительное число $x$ , и отношение $\geq$ . Затем

верхний контурный набор $x$ будет набор чисел, которые больше или равны $x$ ,
строгий верхний контурный набор $x$ будет набор чисел, которые больше , чем $x$ ,
нижний контурный набор $x$ будет набор чисел, которые меньше или равны $x$ , и
строгий нижний контурный набор $x$ будет набор чисел, меньше которые $x$ .

Рассмотрим в более общем плане отношение

(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]

Затем

верхний контурный набор $x$ будет набор всех $y$ такой, что $f(y)\geq f(x)$ ,
строгий верхний контурный набор $x$ будет набор всех $y$ такой, что $f(y)>f(x)$ ,
нижний контурный набор $x$ будет набор всех $y$ такой, что $f(x)\geq f(y)$ , и
строгий нижний контурный набор $x$ будет набор всех $y$ такой, что $f(x)>f(y)$ .

можно было бы Технически определить множества контуров в терминах соотношения

(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\leq f(b)]

хотя такие определения могут сбить с толку уже существующее понимание.

В случае действительной функции $f()$ (чьи аргументы могут быть или не быть действительными числами), ссылка на контурные множества функции неявно относится к контурным множествам отношения

(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]

Обратите внимание, что аргументы $f()$ могут быть векторами , и вместо этого используемые обозначения могут быть

[(a_{1},a_{2},\ldots )\succcurlyeq (b_{1},b_{2},\ldots )]~\Leftarrow ~[f(a_{1},a_{2},\ldots )\geq f(b_{1},b_{2},\ldots )]

Экономика

В экономике множество $X$ можно интерпретировать как набор товаров и услуг или возможных результатов , отношение $\succ$ как строгое предпочтение , так и отношение $\succcurlyeq$ как слабое предпочтение . Затем

верхний контур установлен, а лучше набор , ^[1] из $x$ будет набор всех товаров, услуг или результатов, которые были бы, по крайней мере, столь же желаемыми , как $x$ ,
строгий верхний контурный набор $x$ будет набор всех товаров, услуг или результатов, которые были бы более желанными, чем $x$ ,
нижний контурный набор, или еще хуже набор , ^[1] из $x$ будет набором всех товаров, услуг или результатов, которые были бы не более желанными, чем $x$ , и
строгий нижний контурный набор $x$ будет набор всех товаров, услуг или результатов, которые были менее желательны, чем $x$ .

Такие предпочтения могут быть отражены полезности . функцией $u()$ , в этом случае

верхний контурный набор $x$ будет набор всех $y$ такой, что $u(y)\geq u(x)$ ,
строгий верхний контурный набор $x$ будет набор всех $y$ такой, что $u(y)>u(x)$ ,
нижний контурный набор $x$ будет набор всех $y$ такой, что $u(x)\geq u(y)$ , и
строгий нижний контурный набор $x$ будет набор всех $y$ такой, что $u(x)>u(y)$ .

Дополнительность

В предположении, что $\succcurlyeq$ это тотальный заказ $X$ , дополнением верхнего множества контуров является строгое нижнее множество контуров.

X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}=\left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}

X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}=\left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}

а дополнением к строгому набору верхних контуров является набор нижних контуров.

X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}=\left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}

X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}=\left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Роберт П. Жиль (1996). Экономический обмен и социальная организация: Эджвортовские основы теории общего равновесия . Спрингер. п. 35. ISBN 9780792342007 .

Библиография

Андреу Мас-Колелл , Майкл Д. Уинстон и Джерри Р. Грин, Микроэкономическая теория ( LCC HB172.M6247 1995 ), стр. 43. ISBN 0-19-507340-1 (ткань) ISBN 0-19-510268-1 (бумажный)

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Роберт П. Жиль (1996). Экономический обмен и социальная организация: Эджвортовские основы теории общего равновесия . Спрингер. п. 35. ISBN 9780792342007 .

[1]