Типовое матричное кольцо

В алгебре кольцо матриц общего положения является разновидностью универсального кольца матриц .

Определение

Обозначим через $F_{n}$ общее матричное кольцо размера n с переменными $X_{1},\dots X_{m}$. Он характеризуется универсальным свойством: дано коммутативное кольцо R и n -x -n матриц $A_{1},\dots ,A_{m}$ над R любое отображение $X_{i}\mapsto A_{i}$ распространяется на кольцевой гомоморфизм (называемый оценкой) $F_{n}\to M_{n}(R)$.

Явно, для данного поля k это подалгебра $F_{n}$ матричного кольца $M_{n}(k[(X_{l})_{ij}\mid 1\leq l\leq m,\ 1\leq i,j\leq n])$ сгенерированный n - n матрицами $X_{1},\dots ,X_{m}$, где $(X_{l})_{ij}$ являются элементами матрицы и коммутируют по определению. Например, если m = 1, то $F_{1}$ является кольцом многочленов от одной переменной.

Например, центральный многочлен является элементом кольца $F_{n}$ это будет соответствовать центральному элементу оценки. (Фактически оно находится в инвариантном кольце $k[(X_{l})_{ij}]^{\operatorname {GL} _{n}(k)}$ поскольку оно центрально и инвариантно. )

По определению, $F_{n}$ является фактором свободного кольца $k\langle t_{1},\dots ,t_{m}\rangle$ с $t_{i}\mapsto X_{i}$ идеалом, состоящим из всех p , которые тождественно равны нулю на всех n матрицах размера на n над k .

Геометрическая перспектива

Универсальное свойство означает, что любой гомоморфизм колец из $k\langle t_{1},\dots ,t_{m}\rangle$ к множителям матричного кольца через $F_{n}$. Это имеет следующий геометрический смысл. В алгебраической геометрии кольцо многочленов $k[t,\dots ,t_{m}]$ — координатное кольцо аффинного пространства $k^{m}$, и дать точку $k^{m}$ состоит в том, чтобы дать кольцевой гомоморфизм (оценка) $k[t,\dots ,t_{m}]\to k$ (либо с помощью Nullstellensatz Гильберта , либо с помощью теории схем ). Бесплатное кольцо $k\langle t_{1},\dots ,t_{m}\rangle$ играет роль координатного кольца аффинного пространства в некоммутативной алгебраической геометрии (т. е. мы не требуем, чтобы свободные переменные коммутировали), и, таким образом, кольцо матриц общего положения размера n является координатным кольцом некоммутативного аффинного многообразия, точки которого спецификации матричных колец размера n (более конкретное обсуждение см. ниже).

Максимальный спектр матричного кольца общего положения

Для простоты предположим, k что алгебраически замкнуто . Пусть A — алгебра над k и пусть $\operatorname {Spec} _{n}(A)$ обозначим множество всех максимальных идеалов ${\mathfrak {m}}$ в А такой, что $A/{\mathfrak {m}}\approx M_{n}(k)$. Если А коммутативно, то $\operatorname {Spec} _{1}(A)$ — спектр A и максимальный $\operatorname {Spec} _{n}(A)$ пусто для любого $n>1$.

Ссылки

• Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF) .
• Кон, Пол М. (2003). Дальнейшая алгебра и приложения (Пересмотренное издание «Алгебры», 2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag . ISBN  1-85233-667-6 . Збл   1006.00001 .