Проблема узкого побега

Чтобы узнать об эпизоде ​​​​Фарго , см. «Проблема узкого побега» .

Проблема узкого побега Это повсеместная проблема в биологии , биофизике и клеточной биологии .

Математическая формулировка следующая: броуновская частица ( ион , молекула или белок ) ограничена ограниченной областью (отделением или клеткой) отражающей границей, за исключением небольшого окна, через которое она может выйти. Проблема узкого ухода заключается в вычислении среднего времени выхода. На этот раз время расходится по мере сжатия окна, что превращает расчет в задачу сингулярного возмущения .

Когда побег становится еще более жестким из-за жестких геометрических ограничений в месте побега, проблема узкого побега становится серьезной проблемой пролива .

Проблема узкого выхода была предложена в контексте биологии и биофизики Д. Хольцманом и З. Шуссом. а затем с А.Зингером и привели к теории узкого спасения в прикладной математике и вычислительной биологии .

Формулировка

Движение частицы описывается пределом Смолуховского уравнения Ланжевена : $$dX_{t}={\sqrt {2D}}\,dB_{t}+{\frac {1}{\gamma }}F(x)\,dt,$$где $D$ - коэффициент диффузии частицы, $\gamma$ - коэффициент трения на единицу массы, $F(x)$ сила на единицу массы и $B_{t}$ является броуновским движением .

Среднее время первого прохождения и уравнение Фоккера-Планка

Общим вопросом является оценка среднего времени пребывания частицы, диффундирующей в ограниченной области. $\Omega$ прежде чем он ускользнет через маленькое поглощающее окно $\partial \Omega _{a}$ в его границе $\partial \Omega$. Время оценивается асимптотически в пределе ${\textstyle \varepsilon ={\frac {|\partial \Omega _{a}|}{|\partial \Omega |}}\ll 1}$

Функция плотности вероятности (pdf) $p_{\varepsilon }(x,t)$ - вероятность найти частицу в позиции $x$ во время $t$.

PDF-файл удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка : $${\frac {\partial }{\partial t}}p_{\varepsilon }(x,t)=D\Delta p_{\varepsilon }(x,t)-{\frac {1}{\gamma }}\nabla (p_{\varepsilon }(x,t)F(x))$$с начальным состоянием $$p_{\varepsilon }(x,0)=\rho _{0}(x)\,$$и смешанные граничные условия Дирихле–Неймана ( $t>0$) $$p_{\varepsilon }(x,t)=0{\text{ for }}x\in \partial \Omega _{a}$$$$D{\frac {\partial }{\partial n}}p_{\varepsilon }(x,t)-{\frac {p_{\varepsilon }(x,t)}{\gamma }}F(x)\cdot n(x)=0{\text{ for }}x\in \partial \Omega -\partial \Omega _{a}$$

Функция $$u_{\varepsilon }(y)=\int _{\Omega }\int _{0}^{\infty }p_{\varepsilon }(x,ty)\,dt\,dx$$представляет собой среднее время пребывания частицы, зависящее от начального положения $y$. Это решение краевой задачи

$$D\Delta u_{\varepsilon }(y)+{\frac {1}{\gamma }}F(y)\cdot \nabla u_{\varepsilon }(y)=-1$$$$u_{\varepsilon }(y)=0{\text{ for }}y\in \partial \Omega _{a}$$$${\frac {\partial u_{\varepsilon }(y)}{\partial n}}=0{\text{ for }}y\in \partial \Omega _{r}$$

Решение зависит от размерности домена. Для частицы, диффундирующей на двумерном диске $$u_{\varepsilon }(y)={\frac {A}{\pi D}}\ln {\frac {1}{\varepsilon }}+O(1),$$где $A$ – поверхность домена. Функция $u_{\epsilon }(y)$ не зависит от исходного положения $y$, за исключением небольшого пограничного слоя вблизи поглощающей границы из-за асимптотики.

Член первого порядка имеет значение в размерности 2: для кругового диска радиуса $R$, среднее время ухода частицы, начинающейся из центра, равно $$E(\tau |x(0)=0)={\frac {R^{2}}{D}}\left(\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)+\log 2+{\frac {1}{4}}+O(\varepsilon )\right).$$

Время выхода, усредненное относительно равномерного начального распределения частицы, определяется выражением $$E(\tau )={\frac {R^{2}}{D}}\left(\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)+\log 2+{\frac {1}{8}}+O(\varepsilon )\right).$$

Геометрия небольшого отверстия может повлиять на время выхода: если поглощающее окно расположено под углом $\alpha$, затем:

$$E\tau ={\frac {|\Omega |}{\alpha D}}\left[\log {\frac {1}{\varepsilon }}+O(1)\right].$$

Еще более удивительно то, что вблизи точки возврата в двумерной области время ухода $E\tau$ растет алгебраически, а не логарифмически: в области, ограниченной двумя касательными окружностями, время выхода равно: $$E\tau ={\frac {|\Omega |}{(d-1)D}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}+O(1)\right),$$где d > 1 — отношение радиусов. Наконец, когда область представляет собой кольцо, время выхода к небольшому отверстию, расположенному на внутренней окружности, включает второй параметр, который равен $\beta ={\frac {R_{1}}{R_{2}}}<1,$ отношение внутреннего радиуса к внешнему, время ухода, усредненное по равномерному начальному распределению, равно: $$E\tau ={\frac {(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})}{D}}\left[\log {\frac {1}{\varepsilon }}+\log 2+2\beta ^{2}\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {R_{2}^{2}}{1-\beta ^{2}}}\log {\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{4}}R_{2}^{2}+O(\varepsilon ,\beta ^{4})R_{2}^{2}.$$

Это уравнение содержит два члена асимптотического разложения $E\tau$ и $2\epsilon$ – угол поглощающей границы. Дело $\beta$ близкое к 1, остается открытой, а для общих областей асимптотическое разложение времени ухода остается открытой проблемой. То же самое касается и проблемы вычисления времени ухода вблизи точки возврата в трехмерных областях. Для броуновского движения в силовом поле $$F(x)\neq 0$$ разрыв в спектре не обязательно мал между первым и вторым собственными значениями, в зависимости от относительного размера маленькой дырки и силовых барьеров, которые частица должна преодолеть, чтобы убежать. Выходной поток не обязательно является пуассоновским .

Аналитические результаты

Теорема, которая связывает проблему ухода броуновского движения с (детерминированной) задачей уравнения в частных производных, заключается в следующем.

Теорема — Пусть $\Omega$ быть ограниченной областью с гладкой границей $\partial \Omega$ и $\Gamma$ быть закрытым подмножеством $\partial \Omega$. Для каждого $x\in \Omega$, позволять $\tau _{x}$ быть первым случаем столкновения частицы $\Gamma$, предполагая, что частица начинается с $x$, подчиняется броуновскому движению в $\Omega$и отражается от $\partial \Omega$. Тогда среднее время первого прохода $T(x):=\mathbb {E} [\tau _{x}]$и его дисперсия, $v(x):=\mathbb {E} [(\tau _{x}-T(x))^{2}]$, являются решениями следующих краевых задач: $$-\Delta T=2{\text{ in }}\Omega ,~T=0{\text{ on }}\Gamma ,~\partial _{n}T=0{\text{ on }}\partial \Omega \setminus \Gamma$$$$-\Delta v=2\vert \nabla T\vert ^{2}{\text{ in }}\Omega ,~v=0{\text{ on }}\Gamma ,~\partial _{n}v=0{\text{ on }}\partial \Omega \setminus \Gamma$$

Здесь $\partial _{n}:=n\cdot \nabla$ является производной в направлении $n$, внешний вид нормальный $\partial \Omega .$ При этом среднее значение дисперсии можно рассчитать по формуле $${\bar {v}}:={\frac {1}{\vert \Omega \vert }}\int _{\Omega }v(x)dx={\frac {1}{\vert \Omega \vert }}\int _{\Omega }T^{2}(x)dx=:T^{2}$$

Первая часть теоремы представляет собой классический результат, а средняя дисперсия была доказана в 2011 году Кэри Кагиналпом и Синьфу Ченом.

Время ухода было предметом ряда исследований с использованием малого затвора в качестве асимптотически малого параметра. Следующий результат закрытой формы дает точное решение, подтверждающее эти асимптотические формулы и распространяющее их на элементы, которые не обязательно малы.

Теорема (замкнутая формула Кэри Кагиналпа и Синьфу Чена). В двумерном пространстве, с точками, идентифицируемыми комплексными числами, пусть $$\Omega :=\left\{re^{i\theta }\vert 0\leq r<1,{\text{ }}-\varepsilon \leq \theta \leq 2\pi -\varepsilon \right\},~\Gamma :=\left\{e^{i\theta }\vert \vert \theta \vert \leq \varepsilon \right\}$$

Тогда среднее время первого прохождения $T(z)$, для $z\in {\bar {\Omega }}$, определяется $$T(z)={\frac {1-\vert z\vert ^{2}}{2}}+2\log {\left|{\frac {1-z+{\sqrt {(1-ze^{-i\varepsilon })(1-ze^{i\varepsilon })}}}{2\sin {\frac {\varepsilon }{2}}}}\right|}$$

Другой набор результатов касается плотности вероятности местоположения выхода.

Теорема (Плотность вероятности Кэри Кагиналпа и Синьфу Чена) . Плотность вероятности местоположения частицы в момент ее выхода определяется выражением $${\bar {j}}(e^{i\theta }):=-{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial r}}T(e^{i\theta })={\begin{cases}0,&{\text{if }}\varepsilon <\theta <2\pi -\varepsilon \\{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\varepsilon }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}},&{\text{if }}\vert \theta \vert <\varepsilon \end{cases}}$$

То есть для любого ( множества Бореля ) $\gamma \subset \partial \Omega$, вероятность того, что частица, начинающаяся либо в начале координат, либо равномерно распределенная в $\Omega$, демонстрируя броуновское движение в $\Omega$, размышляя, когда он попадает $\partial \Omega \setminus \Gamma$, и убегая, как только он попадет $\Gamma$, в конечном итоге убегает из $\gamma$ является $$P(\gamma )=\int _{\gamma }{\bar {j}}(y)dS_{y}$$где $dS_{y}$ является поверхностным элементом $\partial \Omega$ в $y\in \partial \Omega$.

Моделирование выхода из броуновского движения

При моделировании возникает случайная ошибка из-за процесса статистической выборки. Эту ошибку можно ограничить, обратившись к центральной предельной теореме и используя большое количество выборок. Существует также ошибка дискретизации из-за аппроксимации конечного размера шага при аппроксимации броуновского движения. Затем можно получить эмпирические результаты, поскольку размер шага и размер ворот различаются. Используя точный результат, приведенный выше для частного случая круга, можно провести тщательное сравнение точного решения с численным решением. Это проливает свет на различие между конечными шагами и непрерывной диффузией. Распределение мест выхода также было получено посредством моделирования этой проблемы.

Биологические применения

Стохастические химические реакции в микродоменах

Прямая скорость химических реакций обратна времени узкого ухода, что обобщает классическую формулу Смолуховского для броуновских частиц, находящихся в бесконечной среде. Марковское описание можно использовать для оценки привязки и отвязки к небольшому числу сайтов.

Внешние ссылки

• Прикладная математика и вычислительная биология в Ecole Normale Superieure, Париж
• Публикации и лекции Кэри Кэджинальпа http://www.pitt.edu/~careycag/
• Документ с отчетами http://www.pitt.edu/~careycag/paper1.pdf
• Документ ARMA http://www.pitt.edu/~careycag/paper2.pdf