Решетчатый газовый автомат

Решетчатые газовые автоматы ( LGCA ), или клеточные автоматы с решетчатым газом , представляют собой тип клеточных автоматов, используемых для моделирования потоков жидкости, впервые изобретенных Харди-Помо-де Пацци и Фришем - Хасслахером - Помо . Они были предшественниками решеточных методов Больцмана . Из автоматов решеточного газа можно вывести макроскопические уравнения Навье – Стокса . ^[1] Интерес к автоматным методам решеточного газа снизился в начале 1990-х годов, когда начал расти интерес к решеточному газу Больцмана. ^[2] Однако вариант LGCA, называемый BIO-LGCA , до сих пор широко используется. ^[3] моделировать коллективную миграцию в биологии.

Основные принципы

В качестве клеточного автомата эти модели представляют собой решетку, узлы которой могут принимать определенное количество различных состояний. В решеточном газе различные состояния представляют собой частицы с определенными скоростями. Эволюция моделирования осуществляется дискретными шагами по времени. После каждого временного шага состояние данного сайта может определяться состоянием самого сайта и соседних сайтов до этого временного шага.

Состояние на каждом сайте является чисто логическим . В данном месте либо есть , либо нет частица, движущаяся в каждом направлении.

На каждом временном шаге происходят два процесса: распространение и столкновение. ^[4]

На этапе распространения каждая частица будет перемещаться в соседний участок, определяемый скоростью, которую имела частица. За исключением каких-либо столкновений, частица с восходящей скоростью после определенного временного шага сохранит эту скорость, но переместится в соседний участок над исходным. Так называемый принцип исключения не позволяет двум или более частицам перемещаться по одному и тому же звену в одном направлении.

На этапе столкновения правила столкновений используются для определения того, что произойдет, если несколько частиц достигнут одного и того же места. Эти правила столкновений необходимы для поддержания сохранения массы и общего импульса ; блочная модель клеточного автомата может быть использована для достижения этих законов сохранения. ^[5] Обратите внимание, что принцип исключения не запрещает двум частицам двигаться по одному и тому же звену в противоположных направлениях; когда это происходит, две частицы проходят друг мимо друга, не сталкиваясь.

Ранние попытки с квадратной решеткой

В статьях, опубликованных в 1973 и 1976 годах, Жан Харди, Ив Помо и Оливье де Пацци представили первую решеточную модель Больцмана, названную моделью HPP в честь авторов . Модель HPP представляет собой двумерную модель взаимодействия частиц жидкости. В этой модели решетка квадратная, и частицы движутся независимо с единичной скоростью в дискретное время. Частицы могут перемещаться в любой из четырех узлов, ячейки которых имеют общее ребро. Частицы не могут двигаться по диагонали.

Если две частицы сталкиваются лоб в лоб, например, частица, движущаяся влево, встречает частицу, движущуюся вправо, в результате две частицы покинут это место под прямым углом к направлению, в котором они пришли. ^[6]

Модель HPP не имела вращательной инвариантности , что делало ее очень анизотропной . Это означает, например, что вихри, создаваемые моделью HPP, имеют квадратную форму. ^[7]

Шестиугольные сетки

Модель гексагональной сетки была впервые представлена в 1986 году в статье Уриэля Фриша , Бросла Хасслахера и Помо, и в честь ее изобретателей она стала известна как модель FHP. Модель имеет шесть или семь скоростей, в зависимости от того, какая вариация используется. В любом случае шесть скоростей представляют движение к каждому из соседних участков. В некоторых моделях (называемых FHP-II и FHP-III) вводится седьмая скорость, представляющая частицы «в покое». «Покоящиеся» частицы не распространяются на соседние узлы, но способны сталкиваться с другими частицами. Модель FHP-III допускает все возможные столкновения, сохраняющие плотность и импульс. ^[8] Увеличение количества столкновений увеличивает число Рейнольдса , поэтому модели FHP-II и FHP-III могут моделировать менее вязкие потоки, чем шестиступенчатая модель FHP-I. ^[9]

Простое правило обновления модели FHP выполняется в два этапа, выбранных для сохранения числа и импульса частиц. Во-первых, это обработка столкновений. Правила коллизий в модели FHP не являются детерминированными , некоторые входные ситуации дают два возможных результата, и когда это происходит, один из них выбирается случайным образом. Поскольку генерация случайных чисел невозможна полностью вычислительными средствами, псевдослучайный процесс. обычно выбирается ^[10]

После этапа столкновения считается, что частица на ссылке покидает сайт. Если на площадке есть две частицы, сближающиеся в лоб, они рассеиваются. Производится случайный выбор между двумя возможными исходящими направлениями, которые сохраняют импульс.

Шестиугольная сетка не страдает от таких больших проблем с анизотропией, как те, которые преследуют модель квадратной сетки HPP, и это удачный факт, который не совсем очевиден, и это побудило Фриша заметить, что «боги симметрии доброжелательны». ^[11]

Три измерения

Для трехмерной сетки единственным правильным многогранником , заполняющим все пространство, является куб , а единственными правильными многогранниками с достаточно большой группой симметрии являются додекаэдр и икосаэдр (без второго ограничения модель будет иметь те же недостатки, что и модель Модель ГЭС). Поэтому для создания модели, учитывающей три измерения, требуется увеличение количества измерений, как, например, в модели 1986 года Д'Юмьера, Лаллемана и Фриша, в которой использовалась модель гранецентрированного гиперкуба . ^[12]

Получение макроскопических величин

Плотность в узле можно найти, подсчитав количество частиц в каждом узле. Если перед суммированием частиц умножить на единичную скорость, можно получить импульс в данном месте. ^[13]

Однако вычисление плотности, импульса и скорости для отдельных участков сопряжено с большим количеством шума, и на практике для получения более разумных результатов следует усреднять данные по более крупному региону. Усреднение по ансамблю часто используется для дальнейшего уменьшения статистического шума. ^[14]

Преимущества и недостатки

Основные преимущества модели решеточного газа заключаются в том, что логические состояния означают, что будут точные вычисления без каких-либо ошибок округления из-за точности с плавающей запятой, и что система клеточных автоматов позволяет запускать моделирование автоматов решетчатого газа параллельно . вычисления . ^[15]

К недостаткам метода решеточного газа относятся отсутствие галилеевой инвариантности и статистический шум . ^[16] Другая проблема заключается в сложности расширения модели для решения трехмерных задач, что требует использования большего количества измерений для поддержания достаточно симметричной сетки для решения таких проблем. ^[12]

Как модель в биологии

Клеточные автоматы с решеточным газом были адаптированы и до сих пор широко используются для моделирования коллективной миграции в биологии. Благодаря активной природе биологических агентов, а также вязкой среде, в которой живут клетки, сохранение импульса не требуется. Более того, агенты могут умирать или размножаться, поэтому сохранение массы также может отсутствовать. На этапе столкновения частицы стохастически переориентируются в соответствии с распределением Больцмана, моделируя локальное взаимодействие между людьми.

Примечания

^ Суччи, раздел 2.3 описывает процесс.
^ Суччи, раздел 2.6
^ Дойч, Андреас; Нава-Седеньо, Хосуэ Маник; Сига, Саймон; Хадзикиро, Харалампос (15 июня 2021 г.). «BIO-LGCA: класс моделирования клеточных автоматов для анализа коллективной миграции клеток» . PLOS Вычислительная биология . 17 (6): e1009066. Бибкод : 2021PLSCB..17E9066D . дои : 10.1371/journal.pcbi.1009066 . ПМЦ 8232544 . ПМИД 34129639 .
^ Бьюик, раздел 3.4
^ Вольфрам, Стивен (2002), Новый вид науки , Wolfram Media, стр. 459–464 , ISBN 1-57955-008-8 .
^ Бьюик, раздел 3.2.1
^ Суччи, сноска, стр. 22
^ Бьюик, раздел 3.2.2
^ Вольф-Гладроу 3.2.6, рисунок 3.2.3
^ Вольф-Гладроу 3.2.1
^ Суччи, сноска, стр. 23
^ Jump up to: ^а ^б Вольф-Гладроу, разделы 3.4 – 3.5
^ Бьюик, раздел 3.5.1
^ Бьюик, раздел 3.8
^ Суччи, раздел 2.4
^ Суччи, раздел 2.5

Ссылки

Сауро Суччи (2001). Решеточное уравнение Больцмана для гидродинамики и не только . Оксфордские научные публикации. ISBN 0-19-850398-9 . (Глава 2 посвящена клеточным автоматам с решеточным газом)
Джеймс Максвелл Бьюик (1997). Решеточные методы Больцмана в моделировании межфазных волн. Докторская диссертация, Эдинбургский университет. (Глава 3 посвящена модели решеточного газа.) ( archive.org ) 13 ноября 2008 г.
Дитер А. Вольф-Гладроу (2000). Решеточные газовые клеточные автоматы и решеточные модели Больцмана . Спрингер. ISBN 3-540-66973-6 .

Внешние ссылки

(на французском языке) Магистерская диссертация (2000 г.) - Подробности о программировании и оптимизации моделирования FHP LGA.
(на польском и английском языках) Магистерская диссертация (2010 г.) - Реализация модели FHP в технологии Nvidia CUDA.

[1] Суччи, раздел 2.3 описывает процесс.

[2] Суччи, раздел 2.6

[3] Дойч, Андреас; Нава-Седеньо, Хосуэ Маник; Сига, Саймон; Хадзикиро, Харалампос (15 июня 2021 г.). «BIO-LGCA: класс моделирования клеточных автоматов для анализа коллективной миграции клеток» . PLOS Вычислительная биология . 17 (6): e1009066. Бибкод : 2021PLSCB..17E9066D . дои : 10.1371/journal.pcbi.1009066 . ПМЦ 8232544 . ПМИД 34129639 .

[4] Бьюик, раздел 3.4

[5] Вольфрам, Стивен (2002), Новый вид науки , Wolfram Media, стр. 459–464 , ISBN 1-57955-008-8 .

[6] Бьюик, раздел 3.2.1

[7] Суччи, сноска, стр. 22

[8] Бьюик, раздел 3.2.2

[9] Вольф-Гладроу 3.2.6, рисунок 3.2.3

[10] Вольф-Гладроу 3.2.1

[11] Суччи, сноска, стр. 23

[WG_3D-12] Jump up to: ^а ^б Вольф-Гладроу, разделы 3.4 – 3.5

[13] Бьюик, раздел 3.5.1

[14] Бьюик, раздел 3.8

[15] Суччи, раздел 2.4

[16] Суччи, раздел 2.5

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]