БИО-LGCA

В вычислительной и математической биологии биологический клеточный автомат решеточного газа (BIO-LGCA) представляет собой дискретную модель перемещения и взаимодействия биологических агентов, ^[1] разновидность клеточного автомата . BIO-LGCA основан на модели клеточного автомата решеточного газа (LGCA), используемой в гидродинамике. Модель BIO-LGCA описывает клетки и другие подвижные биологические агенты как точечные частицы, движущиеся по дискретной решетке, тем самым взаимодействуя с близлежащими частицами. В отличие от классических моделей клеточных автоматов, частицы в BIO-LGCA определяются их положением и скоростью. Это позволяет моделировать и анализировать активные флюиды и коллективную миграцию, опосредованную в первую очередь изменениями импульса, а не плотности. Приложения BIO-LGCA включают инвазию рака. ^[2] и прогрессирование рака . ^[3]

Определение модели

Как и все модели клеточных автоматов, модель BIO-LGCA определяется решеткой. ${\mathcal {L}}$ , пространство состояний ${\mathcal {E}}$ , район ${\mathcal {N}}$ и правило ${\mathcal {R}}$ . ^[4]

Решетка ( ${\mathcal {L}}$ ) определяет набор всех возможных положений частиц. Частицам запрещено занимать только определенные позиции, что обычно является результатом регулярной и периодической мозаики пространства. Математически, ${\mathcal {L}}\subset \mathbb {R} ^{d}$ представляет собой дискретное подмножество $d$ -мерное пространство.
Государственное пространство ( ${\mathcal {E}}$ ) описывает возможные состояния частиц внутри каждого узла решетки $\mathbf {r} \in {\mathcal {L}}$ . В BIO-LGCA несколько частиц с разными скоростями могут занимать один узел решетки, в отличие от классических моделей клеточных автоматов, где обычно только одна клетка может одновременно находиться в каждом узле решетки. Это делает пространство состояний немного более сложным, чем в классических моделях клеточных автоматов (см. ниже).
Район ( ${\mathcal {N}}$ ) указывает на подмножество узлов решетки, которое определяет динамику данного узла решетки. Частицы взаимодействуют только с другими частицами в пределах своего окружения. Краевые условия необходимо выбирать для окрестностей узлов на границе конечных решеток. Окрестности и граничные условия определяются так же, как и для обычных клеточных автоматов (см. Клеточный автомат ).
Правило ( ${\mathcal {R}}$ ) определяет, как частицы движутся, размножаются или умирают со временем. Как и любой клеточный автомат, BIO-LGCA развивается дискретными шагами во времени. Чтобы смоделировать динамику системы , правило применяется синхронно к каждому узлу решетки на каждом временном шаге. Применение правила изменяет исходное состояние узла решетки на новое состояние. Правило зависит от состояний узлов решетки в окрестности взаимодействия обновляемого узла решетки. В BIO-LGCA правило разделено на два этапа: этап вероятностного взаимодействия, за которым следует этап детерминированного транспорта. Шаг взаимодействия моделирует процессы переориентации, рождения и смерти и определяется специально для моделируемого процесса. На этапе транспорта частицы перемещаются в соседние узлы решетки в направлении их скоростей. Подробности см. ниже.

Государственное пространство

Подструктура узла решетки BIO-LGCA с шестью скоростными каналами (соответствующими двумерной гексагональной решетке) и одним каналом покоя. В этом случае $b=6$ , $a=1$ , а грузоподъемность $K=7$ . Каналы 2, 3, 6 и 7 заняты, поэтому конфигурация решетки следующая: $\mathbf {s} =(0,1,1,0,0,1,1)$ , а число частиц $n\left(\mathbf {s} \right)=\sum _{i=1}^{K}s_{i}=4$ .

Для явного моделирования скоростей частиц предполагается, что узлы решетки имеют определенную субструктуру. Каждый узел решетки $\mathbf {r} \in {\mathcal {L}}$ связан с соседними узлами решетки через векторы, называемые «каналами скорости», $\mathbf {c} _{i}$ , $i\in \{1,2,\ldots ,b\}$ , где количество каналов скорости $b$ равен числу ближайших соседей и, следовательно, зависит от геометрии решетки ( $b=2$ для одномерной решетки $b=6$ для двумерной гексагональной решетки и т. д.). В двух измерениях каналы скорости определяются как $\mathbf {c} _{i}=\left(\cos {\frac {2\pi i}{b}},\sin {\frac {2\pi i}{b}}\right)$ . Кроме того, произвольное число $a$ можно определить так называемые «каналы покоя», такие, что $\mathbf {c} _{i}=(0,0)$ , $i\in \{b+1,b+2,\ldots ,b+a\}$ . Канал называется занятым, если в узле решетки находится частица со скоростью, равной скорости канала. Оккупация канала $\mathbf {c} _{i}$ обозначается номером профессии $s_{i}$ . Обычно предполагается, что частицы подчиняются принципу исключения , согласно которому не более одной частицы могут одновременно занимать один канал скорости в узле решетки. В этом случае числа занятий являются логическими переменными, т.е. $s_{i}\in {\mathcal {S}}=\{0,1\}$ , и, таким образом, каждая площадка имеет максимальную пропускную способность $K=a+b$ . Поскольку совокупность всех чисел заполнения каналов определяет количество частиц и их скорости в каждом узле решетки, вектор $\mathbf {s} =\left(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{K}\right)$ описывает состояние узла решетки, а пространство состояний определяется выражением ${\mathcal {E}}={\mathcal {S}}^{K}$ .

Динамика правил и моделей

Состояния каждого узла в решетке обновляются синхронно с дискретными временными интервалами для моделирования динамики модели. Правило разделено на два этапа. Шаг вероятностного взаимодействия моделирует взаимодействие частиц, а этап детерминированного переноса моделирует движение частиц.

Шаг взаимодействия

В зависимости от конкретного приложения этап взаимодействия может состоять из операторов реакции и/или переориентации.

Оператор реакции ${\mathcal {A}}$ заменяет состояние узла $\mathbf {s}$ с новым государством $\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}$ после вероятности перехода $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ , которое зависит от состояния соседних узлов решетки $\mathbf {s} _{\mathcal {N}}$ моделировать влияние соседних частиц на реактивный процесс. Оператор реакции не сохраняет количество частиц, что позволяет моделировать рождение и смерть особей. Вероятность перехода оператора реакции обычно определяется ad hoc на основе феноменологических наблюдений.

Оператор переориентации ${\mathcal {O}}$ также заменяет состояние $\mathbf {s}$ с новым государством $\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}$ с вероятностью $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ . Однако этот оператор сохраняет количество частиц и, следовательно, моделирует изменения скорости частиц только за счет перераспределения частиц по каналам скорости. Вероятность перехода для этого оператора может быть определена из статистических наблюдений (с использованием принципа максимального калибра ) или из известной одночастичной динамики (с использованием дискретизированного стационарного углового распределения вероятностей, заданного уравнением Фоккера-Планка , связанным с уравнением Ланжевена описывающую динамику переориентации), ^[5]^[6] и обычно принимает форму $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}e^{-\beta H\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$ где $Z$ — константа нормализации (также известная как статистическая сумма ), $H\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ - это энергетическая функция, которую частицы, вероятно, будут минимизировать при изменении направления своего движения. $\beta$ — свободный параметр, обратно пропорциональный случайности переориентации частиц (аналог обратной температуры в термодинамике), и $\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$ представляет собой дельту Кронекера , которая гарантирует, что количество частиц до $n\left(\mathbf {s} \right)$ и после переориентации $n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)$ неизменен.

Результирующая форма состояния с применением реакции и оператора переориентации $\mathbf {s} ^{{\mathcal {O}}\circ {\mathcal {A}}}$ известна как конфигурация после взаимодействия и обозначается $\mathbf {s} ^{\mathcal {I}}:=\mathbf {s} ^{{\mathcal {O}}\circ {\mathcal {A}}}$ .

Динамика модели BIO-LGCA. На каждом временном шаге числа заполнения стохастически изменяются операторами реакции и/или переориентации во всех узлах решетки одновременно на этапе взаимодействия. Впоследствии частицы детерминированно перемещаются в тот же канал скорости на соседнем узле в направлении их канала скорости на этапе транспортировки. Цвета в эскизе используются для отслеживания динамики частиц отдельных узлов. В этом наброске предполагается правило сохранения частиц (отсутствие оператора реакции).

Транспортный этап

После этапа взаимодействия этап детерминированного транспорта применяется синхронно ко всем узлам решетки. Этап транспортировки имитирует движение агентов в зависимости от их скорости за счет самодвижения живых организмов.

На этом этапе числа заполнения состояний после взаимодействия будут определяться как новые состояния заполнения того же канала соседнего узла решетки в направлении канала скорости, т.е. $s_{i}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{i})=s_{i}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} )$ .

Новый временной шаг начинается, когда произошли шаги взаимодействия и транспорта. Таким образом, динамику БИО-ЛГКА можно резюмировать как стохастическое конечно-разностное микродинамическое уравнение. $s_{i}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{i},k+1)=s_{i}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} ,k)$

Пример динамики взаимодействия

Шестиугольная модель полярного роения BIO-LGCA. В этой модели клетки предпочтительно меняют свою скорость так, чтобы она была параллельна импульсу окрестности. Участки решетки окрашены в соответствии с их ориентацией в соответствии с цветовым кругом . Пустые места белые. Использовались периодические граничные условия.

Вероятность перехода для оператора реакции и/или переориентации должна быть определена для надлежащего моделирования моделируемой системы. Ниже перечислены некоторые элементарные взаимодействия и соответствующие вероятности перехода.

Случайное блуждание

В отсутствие каких-либо внешних или внутренних стимулов клетки могут двигаться хаотично, без какого-либо предпочтения в направлении. В этом случае оператор переориентации можно определить через вероятность перехода $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {\delta _{n(\mathbf {s} ),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}{Z}}$

Шестиугольная модель возбудимых сред BIO-LGCA. В этой модели оператор реакции способствует быстрому воспроизводству частиц в каналах скорости и медленной смерти частиц в каналах покоя. Частицы в каналах покоя тормозят воспроизведение частиц в каналах скорости. Оператор переориентации — это оператор случайного блуждания по тексту. Участки решетки окрашиваются тем ярче, чем больше подвижных частиц. Покоящиеся частицы не показаны. Использовались периодические граничные условия.

где $Z=\sum _{\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$ . Такая вероятность перехода допускает любую конфигурацию после переориентации. $\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}$ с тем же количеством частиц, что и в конфигурации до переориентации $\mathbf {s}$ , чтобы быть выбранным равномерно .

Простой процесс рождения и смерти

Если организмы размножаются и умирают независимо от других особей (за исключением конечной ёмкости), то можно смоделировать простой процесс рождения/смерти. ^[3] с вероятностью перехода, определяемой выражением $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)=\left[r_{b}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right)+1}+r_{d}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right)-1}\right]\Theta \left[n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right)\right]\Theta \left[n\left(K-\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right)\right]$ где $r_{b},r_{d}\in [0,1]$ , $r_{b}+r_{d}\leq 1$ — постоянные вероятности рождения и смерти соответственно, $\delta _{i,j}$ - это дельта Кронекера, которая гарантирует, что на каждом временном шаге происходит только одно событие рождения/смерти, и $\Theta (x)$ — это функция Хевисайда , которая гарантирует, что число частиц положительно и ограничено несущей способностью. $K$ .

Квадратная модель BIO-LGCA клеток, адгезионно взаимодействующих. Клетки движутся преимущественно в направлении градиента плотности клеток. Участки решетки окрашиваются во все более темный синий цвет по мере увеличения плотности клеток. Пустые узлы окрашены в белый цвет. Используются периодические граничные условия.

Адгезивные взаимодействия

Клетки могут прилипать друг к другу за счет молекул кадгерина на поверхности клетки. Взаимодействия кадгеринов позволяют клеткам образовывать агрегаты. Формирование клеточных агрегатов посредством адгезивных биомолекул можно смоделировать. ^[7] оператором переориентации с вероятностями перехода, определяемыми как $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}\exp \left[\beta \mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)\cdot \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)\right]$

Квадратная модель BIO-LGCA клеток, опосредованно взаимодействующих хемотаксически . В этой модели клетки производят диффундирующий хемоаттрактант с определенным периодом полураспада . Клетки преимущественно движутся в направлении градиента хемоаттрактанта. Участки решетки аддитивно окрашиваются в более темный синий оттенок при увеличении плотности клеток и в более темный желтый оттенок при увеличении концентрации хемоаттрактанта. Пустые узлы решетки окрашены в белый цвет. Использовались периодические граничные условия.

где $\mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ представляет собой вектор, указывающий в направлении максимальной плотности клеток, определяемый как $\mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)=\sum _{\mathbf {r} '\in {\mathcal {N}}}\left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} \right)n\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}\right)$ , где $\mathbf {s} _{\mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}$ — конфигурация узла решетки $\mathbf {r} '$ в пределах района ${\mathcal {N}}$ , и $\mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)$ - импульс постпереориентационной конфигурации, определяемый как $\mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)=\sum _{j=1}^{b}s_{j}^{\mathcal {O}}\mathbf {c} _{j}$ . Эта вероятность перехода благоприятствует конфигурациям после переориентации, когда клетки движутся в направлении градиента плотности клеток.

Математический анализ

Поскольку точная обработка стохастической агентной модели быстро становится невозможной из-за корреляций высокого порядка между всеми агентами, ^[8] Общий метод анализа модели BIO-LGCA состоит в том, чтобы преобразовать ее в приближенное детерминированное конечно-разностное уравнение (FDE), описывающее среднюю динамику популяции, затем выполнить математический анализ этой приближенной модели и сравнить результаты с исходными. Модель БИО-LGCA.

Во-первых, ожидаемое значение микродинамического уравнения $s_{m}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1)=s_{m}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} ,k)$ получается $f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)=\left\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle$ где $\langle \cdot \rangle$ обозначает ожидаемое значение и $f_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right):=\left\langle s_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle$ ожидаемое значение $m$ -й номер заполнения узла решетки в $\mathbf {r}$ на временном шаге $k$ . Однако термин справа, $\left\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle$ сильно нелинейно относительно чисел заполнения обоих узлов решетки $\mathbf {r}$ и узлы решетки внутри окрестности взаимодействия ${\mathcal {N}}$ , из-за вида вероятности перехода $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {I}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ и статистика размещения частиц внутри скоростных каналов (например, возникающая из-за принципа исключения, налагаемого на заселенность каналов). Эта нелинейность приведет к корреляциям и моментам высокого порядка среди всех задействованных каналов. Вместо этого обычно предполагается приближение среднего поля, в котором все корреляции и моменты высоких порядков пренебрегаются, так что прямые взаимодействия между частицами заменяются взаимодействиями с соответствующими ожидаемыми значениями. Другими словами, если $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ являются случайными величинами, а $F:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R}$ является функцией, то $\left\langle F\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)\right\rangle \approx F\left(\left\langle X_{1}\right\rangle ,\left\langle X_{2}\right\rangle ,\ldots ,\left\langle X_{n}\right\rangle \right)$ в этом приближении. Таким образом, мы можем упростить уравнение до $f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)={\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right),\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)$ где ${\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right),\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)$ является нелинейной функцией ожидаемой конфигурации узлов решетки. $\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right)$ и ожидаемая конфигурация окрестности $\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)$ зависит от вероятностей перехода и статистики частиц в узле.

Из этого нелинейного FDE можно идентифицировать несколько однородных устойчивых состояний или констант. ${\bar {f}}_{m}$ независимо от $\mathbf {r}$ и $k$ которые являются решениями FDE. Чтобы изучить условия устойчивости этих устойчивых состояний и потенциал формирования структуры модели, линейный анализ устойчивости можно выполнить . Для этого нелинейное FDE линеаризуется как $f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)=\sum _{j=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)+\sum _{j=1}^{K}\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)$ где $\mathrm {ss}$ обозначает однородное устойчивое состояние $f_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)={\bar {f}}_{m},m\in \{1,\ldots ,K\}$ , и окрестность фон Неймана предполагалась . Чтобы преобразовать его в более знакомое конечно-разностное уравнение только с временными приращениями, дискретное преобразование Фурье к обеим частям уравнения можно применить . После применения теоремы о сдвиге и выделения члена с временным приращением слева можно получить уравнение решетки-Больцмана ^[4] ${\hat {f}}_{m}\left(\mathbf {q} ,k+1\right)=e^{-{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{m}}\left\{\sum _{j=1}^{K}\left[\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }+\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\right]{\hat {f}}_{j}\left(\mathbf {q} ,k\right)\right\}$ где $i={\sqrt {-1}}$ это мнимая единица , $L$ - размер решетки по одному измерению, $\mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}$ Фурье — волновое число , а ${\hat {\cdot }}={\mathcal {F}}\{\cdot \}$ обозначает дискретное преобразование Фурье. В матричной записи это уравнение упрощается до ${\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} ,k+1\right)=\Gamma {\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} ,k\right)$ , где матрица $\Gamma$ называется пропагатором Больцмана и определяется как $\Gamma _{m,j}=e^{-{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{m}}\left[\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }+\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\right].$ Собственные значения $\lambda \left(\mathbf {q} \right)$ пропагатора Больцмана диктуют свойства устойчивости установившегося состояния: ^[4]

Если $\left|\lambda \left(\mathbf {q} \right)\right|>1$ , где $|\cdot |$ обозначает модуль , то возмущения с волновым числом $\mathbf {q}$ расти со временем. Если $\left|\lambda \left(\mathbf {q} _{\mathrm {max} }\right)\right|>1$ , и $\left|\lambda \left(\mathbf {q} _{\mathrm {max} }\right)\right|\geq \left|\lambda \left(\mathbf {q} \right)\right|\forall \mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}$ , то возмущения с волновым числом $\mathbf {q} _{\mathrm {max} }$ закономерности с четкой длиной волны будет доминировать, и будут наблюдаться . В противном случае стационарное состояние устойчиво и любые возмущения будут затухать.
Если $\mathrm {arg} \left[\lambda \left(q\right)\right]\neq 0$ , где $\mathrm {arg} (\cdot )$ обозначает аргумент , то возмущения передаются и наблюдается нестационарное поведение популяции. В противном случае популяция будет казаться статичной на макроскопическом уровне.

Приложения

Построение BIO-LGCA для изучения биологических явлений в основном включает в себя определение соответствующих вероятностей перехода для оператора взаимодействия, а также точное определение пространства состояний ( для рассмотрения нескольких клеточных фенотипов например, ), граничных условий (для моделирования явлений в ограниченных условиях) , соседство (для количественного соответствия экспериментальным диапазонам взаимодействия) и пропускная способность (для моделирования эффектов скученности для заданных размеров ячеек) могут быть важны для конкретных приложений. Хотя распределение оператора переориентации можно получить с помощью вышеупомянутых статистических и биофизических методов, распределение операторов реакции можно оценить in vitro . , например, на основе статистики экспериментов ^[9]

Модели BIO-LGCA использовались для изучения нескольких клеточных, биофизических и медицинских явлений. Вот некоторые примеры:

Ангиогенез : ^[10] Эксперимент in vitro с эндотелиальными клетками и наблюдаемые результаты моделирования BIO-LGCA сравнивались для определения процессов, участвующих во время ангиогенеза, и их веса. Они обнаружили, что адгезия, выравнивание, контактное наведение и ремоделирование ЕСМ участвуют в ангиогенезе, в то время как долгосрочные взаимодействия не имеют жизненно важного значения для этого процесса.
Активные жидкости : ^[11] макроскопические физические свойства популяции частиц, взаимодействующих посредством взаимодействий полярного выравнивания, были исследованы с использованием модели BIO-LGCA. Было обнаружено, что увеличение начальной плотности частиц и силы взаимодействия приводит к фазовому переходу второго рода из однородного неупорядоченного состояния в упорядоченное структурированное движущееся состояние.
Эпидемиология : ^[12] пространственная модель SIR BIO-LGCA использовалась для изучения влияния различных стратегий вакцинации, а также эффекта аппроксимации пространственной эпидемии непространственной моделью. Они обнаружили, что стратегии вакцинации барьерного типа гораздо более эффективны, чем стратегии пространственно однородной вакцинации. Более того, они обнаружили, что непространственные модели сильно переоценивают уровень заражения.
сотовой связи Заклинивание : ^[13] Модели in vitro и Bio-LGCA использовались для изучения метастатического поведения при раке молочной железы. Модель BIO-LGCA показала, что метастазы могут проявлять различное поведение, такое как случайное газообразное, заклиненное твердое и коррелированное жидкостное состояние, в зависимости от уровня адгезии между клетками, плотности ЕСМ и взаимодействия клеток с ЕСМ.

Ссылки

^ Дойч, Андреас; Нава-Седеньо, Хосуэ Маник; Сига, Саймон; Хадзикиро, Харалампос (15 июня 2021 г.). «BIO-LGCA: класс моделирования клеточных автоматов для анализа коллективной миграции клеток» . PLOS Вычислительная биология . 17 (6): e1009066. Бибкод : 2021PLSCB..17E9066D . дои : 10.1371/journal.pcbi.1009066 . ISSN 1553-7358 . ПМЦ 8232544 . ПМИД 34129639 .
^ Реер, Дэвид; Клинк, Барбара; Дойч, Андреас; Восс-Бёме, Аня (11 августа 2017 г.). «Неоднородность клеточной адгезии усиливает распространение опухолевых клеток: новые выводы из математической модели» . Биология Директ . 12 (1): 18. дои : 10.1186/s13062-017-0188-z . ISSN 1745-6150 . ПМЦ 5553611 . ПМИД 28800767 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Беттгер, Катрин; Хацикиро, Хараламбос; Восс-Бёме, Аня; Кавальканти-Адам, Элизабетта Ада; Эрреро, Мигель А.; Дойч, Андреас (3 сентября 2015 г.). Альбер, Марк С. (ред.). «Новый эффект Аллеи имеет решающее значение для возникновения и устойчивости опухоли» . PLOS Вычислительная биология . 11 (9): e1004366. Бибкод : 2015PLSCB..11E4366B . дои : 10.1371/journal.pcbi.1004366 . ISSN 1553-7358 . ПМЦ 4559422 . ПМИД 26335202 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с «Математическое моделирование формирования биологических паттернов» , клеточно-автоматное моделирование формирования биологических паттернов , моделирование и моделирование в науке, технике и технологиях, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 45–56, 2005, doi : 10.1007/0-8176- 4415-6_3 , ISBN 978-0-8176-4281-5 , получено 25 мая 2021 г.
^ Нава-Седеньо, Ж.М.; Хадзикиро, Х.; Перуани, Ф.; Дойч, А. (27 февраля 2017 г.). «Извлечение правил клеточного автомата из физических моделей уравнений Ланжевена для миграции одиночных и коллективных клеток» . Журнал математической биологии . 75 (5): 1075–1100. дои : 10.1007/s00285-017-1106-9 . ISSN 0303-6812 . ПМИД 28243720 . S2CID 32456636 .
^ Нава-Седеньо, Ж.М.; Хадзикиро, Х.; Клагес, Р.; Дойч, А. (05 декабря 2017 г.). «Модели клеточных автоматов для коррелированных по времени случайных блужданий: вывод и анализ» . Научные отчеты . 7 (1): 16952. arXiv : 1802.04201 . Бибкод : 2017НатСР...716952Н . дои : 10.1038/s41598-017-17317-x . ISSN 2045-2322 . ПМК 5717221 . ПМИД 29209065 .
^ Буссемакер, Хармен Дж. (1 февраля 1996 г.). «Анализ автомата с решеточным газом, образующего узор: теория среднего поля и не только» . Физический обзор E . 53 (2): 1644–1661. Бибкод : 1996PhRvE..53.1644B . дои : 10.1103/physreve.53.1644 . ISSN 1063-651X . ПМИД 9964425 .
^ Оваскайнен, Отсо; Сомервуо, Пану; Финкельштейн, Дмитрий (28 октября 2020 г.). «Общий математический метод прогнозирования пространственно-временных корреляций, возникающих на основе агентных моделей» . Журнал интерфейса Королевского общества . 17 (171): 20200655. doi : 10.1098/rsif.2020.0655 . ПМЦ 7653394 . ПМИД 33109018 .
^ Дирксе, Энн; Голебевская, Анна; Будер, Томас; Назаров Петр Владимирович; Мюллер, Арно; Пуватингал, Суреш; Бронс, Николаас ХК; Лейте, Соня; Соважо, Николя; Саркисян, Джемма; Сейфрид, Матье (16 апреля 2019 г.). «Гетерогенность, связанная со стволовыми клетками при глиобластоме, является результатом внутренней пластичности опухоли, формируемой микроокружением» . Природные коммуникации . 10 (1): 1787. Бибкод : 2019NatCo..10.1787D . дои : 10.1038/s41467-019-09853-z . ISSN 2041-1723 . ПМК 6467886 . ПМИД 30992437 .
^ Менте, Карстен; Праде, Ина; Бруш, Лутц; Брейер, Георг; Дойч, Андреас (01 октября 2010 г.). «Оценка параметров с помощью нового метода оптимизации на основе градиента для моделей клеточных автоматов биологического решеточного газа» . Журнал математической биологии . 63 (1): 173–200. дои : 10.1007/s00285-010-0366-4 . ISSN 0303-6812 . ПМИД 20886214 . S2CID 12404555 .
^ Буссемейкер, Хармен Дж.; Дойч, Андреас; Гейгант, Эдит (30 июня 1997 г.). «Анализ среднего поля динамического фазового перехода в модели клеточного автомата для коллективного движения» . Письма о физических отзывах . 78 (26): 5018–5021. arXiv : физика/9706008 . Бибкод : 1997PhRvL..78.5018B . doi : 10.1103/PhysRevLett.78.5018 . ISSN 0031-9007 . S2CID 45979152 .
^ Фукс, Хенрик; Лавничак, Анна Т. (2001). «Индивидуальная решетчатая модель пространственного распространения эпидемий» . Дискретная динамика в природе и обществе . 6 (3): 191–200. дои : 10.1155/s1026022601000206 . hdl : 1807/82157 .
^ Ильина, Ольга; Гриценко Павел Георгиевич; Сига, Саймон; Липпольдт, Юрген; Ла Порта, Катерина AM; Чепижко, Александр; Гроссер, Штеффен; Вуллингс, Манон; Баккер, Герт-Ян; Старрус, Йорн; Балт, Питер (24 августа 2020 г.). «Клеточно-клеточная адгезия и ограничение трехмерной матрицы определяют застревание переходов при инвазии рака молочной железы» . Природная клеточная биология . 22 (9): 1103–1115. дои : 10.1038/s41556-020-0552-6 . ISSN 1476-4679 . ПМЦ 7502685 . ПМИД 32839548 .

Внешние ссылки

Bio-LGCA Simulator — онлайн-симулятор с элементарным взаимодействием и персонализированными значениями параметров.
Пакет Python BIO-LGCA — пакет Python с открытым исходным кодом для реализации моделирования модели BIO-LGCA.

[1] Дойч, Андреас; Нава-Седеньо, Хосуэ Маник; Сига, Саймон; Хадзикиро, Харалампос (15 июня 2021 г.). «BIO-LGCA: класс моделирования клеточных автоматов для анализа коллективной миграции клеток» . PLOS Вычислительная биология . 17 (6): e1009066. Бибкод : 2021PLSCB..17E9066D . дои : 10.1371/journal.pcbi.1009066 . ISSN 1553-7358 . ПМЦ 8232544 . ПМИД 34129639 .

[2] Реер, Дэвид; Клинк, Барбара; Дойч, Андреас; Восс-Бёме, Аня (11 августа 2017 г.). «Неоднородность клеточной адгезии усиливает распространение опухолевых клеток: новые выводы из математической модели» . Биология Директ . 12 (1): 18. дои : 10.1186/s13062-017-0188-z . ISSN 1745-6150 . ПМЦ 5553611 . ПМИД 28800767 .

[:0-3] Перейти обратно: ^а ^б Беттгер, Катрин; Хацикиро, Хараламбос; Восс-Бёме, Аня; Кавальканти-Адам, Элизабетта Ада; Эрреро, Мигель А.; Дойч, Андреас (3 сентября 2015 г.). Альбер, Марк С. (ред.). «Новый эффект Аллеи имеет решающее значение для возникновения и устойчивости опухоли» . PLOS Вычислительная биология . 11 (9): e1004366. Бибкод : 2015PLSCB..11E4366B . дои : 10.1371/journal.pcbi.1004366 . ISSN 1553-7358 . ПМЦ 4559422 . ПМИД 26335202 .

[:1-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с «Математическое моделирование формирования биологических паттернов» , клеточно-автоматное моделирование формирования биологических паттернов , моделирование и моделирование в науке, технике и технологиях, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 45–56, 2005, doi : 10.1007/0-8176- 4415-6_3 , ISBN 978-0-8176-4281-5 , получено 25 мая 2021 г.

[5] Нава-Седеньо, Ж.М.; Хадзикиро, Х.; Перуани, Ф.; Дойч, А. (27 февраля 2017 г.). «Извлечение правил клеточного автомата из физических моделей уравнений Ланжевена для миграции одиночных и коллективных клеток» . Журнал математической биологии . 75 (5): 1075–1100. дои : 10.1007/s00285-017-1106-9 . ISSN 0303-6812 . ПМИД 28243720 . S2CID 32456636 .

[6] Нава-Седеньо, Ж.М.; Хадзикиро, Х.; Клагес, Р.; Дойч, А. (05 декабря 2017 г.). «Модели клеточных автоматов для коррелированных по времени случайных блужданий: вывод и анализ» . Научные отчеты . 7 (1): 16952. arXiv : 1802.04201 . Бибкод : 2017НатСР...716952Н . дои : 10.1038/s41598-017-17317-x . ISSN 2045-2322 . ПМК 5717221 . ПМИД 29209065 .

[7] Буссемакер, Хармен Дж. (1 февраля 1996 г.). «Анализ автомата с решеточным газом, образующего узор: теория среднего поля и не только» . Физический обзор E . 53 (2): 1644–1661. Бибкод : 1996PhRvE..53.1644B . дои : 10.1103/physreve.53.1644 . ISSN 1063-651X . ПМИД 9964425 .

[8] Оваскайнен, Отсо; Сомервуо, Пану; Финкельштейн, Дмитрий (28 октября 2020 г.). «Общий математический метод прогнозирования пространственно-временных корреляций, возникающих на основе агентных моделей» . Журнал интерфейса Королевского общества . 17 (171): 20200655. doi : 10.1098/rsif.2020.0655 . ПМЦ 7653394 . ПМИД 33109018 .

[9] Дирксе, Энн; Голебевская, Анна; Будер, Томас; Назаров Петр Владимирович; Мюллер, Арно; Пуватингал, Суреш; Бронс, Николаас ХК; Лейте, Соня; Соважо, Николя; Саркисян, Джемма; Сейфрид, Матье (16 апреля 2019 г.). «Гетерогенность, связанная со стволовыми клетками при глиобластоме, является результатом внутренней пластичности опухоли, формируемой микроокружением» . Природные коммуникации . 10 (1): 1787. Бибкод : 2019NatCo..10.1787D . дои : 10.1038/s41467-019-09853-z . ISSN 2041-1723 . ПМК 6467886 . ПМИД 30992437 .

[10] Менте, Карстен; Праде, Ина; Бруш, Лутц; Брейер, Георг; Дойч, Андреас (01 октября 2010 г.). «Оценка параметров с помощью нового метода оптимизации на основе градиента для моделей клеточных автоматов биологического решеточного газа» . Журнал математической биологии . 63 (1): 173–200. дои : 10.1007/s00285-010-0366-4 . ISSN 0303-6812 . ПМИД 20886214 . S2CID 12404555 .

[11] Буссемейкер, Хармен Дж.; Дойч, Андреас; Гейгант, Эдит (30 июня 1997 г.). «Анализ среднего поля динамического фазового перехода в модели клеточного автомата для коллективного движения» . Письма о физических отзывах . 78 (26): 5018–5021. arXiv : физика/9706008 . Бибкод : 1997PhRvL..78.5018B . doi : 10.1103/PhysRevLett.78.5018 . ISSN 0031-9007 . S2CID 45979152 .

[:2-12] Фукс, Хенрик; Лавничак, Анна Т. (2001). «Индивидуальная решетчатая модель пространственного распространения эпидемий» . Дискретная динамика в природе и обществе . 6 (3): 191–200. дои : 10.1155/s1026022601000206 . hdl : 1807/82157 .

[13] Ильина, Ольга; Гриценко Павел Георгиевич; Сига, Саймон; Липпольдт, Юрген; Ла Порта, Катерина AM; Чепижко, Александр; Гроссер, Штеффен; Вуллингс, Манон; Баккер, Герт-Ян; Старрус, Йорн; Балт, Питер (24 августа 2020 г.). «Клеточно-клеточная адгезия и ограничение трехмерной матрицы определяют застревание переходов при инвазии рака молочной железы» . Природная клеточная биология . 22 (9): 1103–1115. дои : 10.1038/s41556-020-0552-6 . ISSN 1476-4679 . ПМЦ 7502685 . ПМИД 32839548 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]