Компартментальные модели в эпидемиологии

Компартментные модели — это очень общий метод моделирования. Их часто применяют для математического моделирования инфекционных заболеваний . Население распределяется по отсекам с метками, например, S , I или R ( Восприимчивый , Инфекционный или Выздоровевший ). Люди могут перемещаться между отсеками. Порядок меток обычно показывает структуру потока между отсеками; например, SEIS означает «восприимчивый», «разоблаченный», «заразный», а затем снова «восприимчивый».

Происхождение таких моделей относится к началу 20 века, причем важными работами являются работы Росса. в 1916 году, Росс и Хадсон в 1917 году, Кермак и Маккендрик в 1927 году. и Кендалл в 1956 году. Модель Рида-Фроста также была важной и широко игнорируемой предшественницей современных подходов к эпидемиологическому моделированию.

В моделях чаще всего используются обыкновенные дифференциальные уравнения (которые являются детерминистическими), но их также можно использовать со стохастической (случайной) структурой, которая более реалистична, но гораздо сложнее анализируется.

Эти модели используются для анализа динамики заболевания и оценки общего числа инфицированных, общего числа выздоровевших, а также для оценки эпидемиологических параметров, таких как базовое репродуктивное число или эффективное репродуктивное число . Такие модели могут показать, как различные меры общественного здравоохранения могут повлиять на исход эпидемии.

Модель СИР

Модель СИР — одна из простейших секционных моделей, и многие модели являются производными от этой базовой формы. Модель состоит из трех отделений:

S : Число восприимчивых особей. Когда восприимчивый и заразный человек вступают в «инфекционный контакт», восприимчивый человек заражается болезнью и переходит в инфекционный отсек.

I : Число заразных лиц. Это лица, которые были инфицированы и способны заразить восприимчивых лиц.

R — количество удаленных (и получивших иммунитет) или умерших особей. Это лица, которые были инфицированы и либо выздоровели от болезни и попали в удаленный отсек, либо умерли. Предполагается, что число смертей незначительно по отношению к общей численности населения. Этот отсек также можно назвать « восстановленным » или « устойчивым ».

Эта модель является достаточно прогнозирующей для инфекционных заболеваний, которые передаются от человека к человеку и при которых выздоровление обеспечивает устойчивую устойчивость, таких как корь , эпидемический паротит и краснуха .

Моделирование пространственной модели SIR. Каждая клетка может заразить восемь своих непосредственных соседей.

Эти переменные ( S , I и R ) представляют количество людей в каждом отсеке в определенный момент времени. Чтобы представить, что количество восприимчивых, заразных и удаленных особей может меняться со временем (даже если общий размер популяции остается постоянным), мы делаем точные цифры функцией t (времени): S ( t ), I ( t ). и Р ( т ). Для конкретного заболевания в конкретной популяции эти функции могут быть разработаны с целью прогнозирования возможных вспышек и взятия их под контроль. Обратите внимание, что в модели SIR $R(0)$ и $R_{0}$ Это разные величины: первая описывает количество выздоровевших при t = 0, тогда как вторая описывает отношение частоты контактов к частоте выздоровлений.

Как следует из переменной функции t , модель является динамической, поскольку числа в каждом отсеке могут меняться с течением времени. Важность этого динамического аспекта наиболее очевидна при эндемическом заболевании с коротким инфекционным периодом, таком как корь в Великобритании до введения вакцины в 1968 году. Такие заболевания имеют тенденцию возникать циклами вспышек из-за изменения количества уязвимостей (S( t )) с течением времени. Во время эпидемии число восприимчивых людей быстро падает, поскольку все больше из них инфицированы и, таким образом, попадают в инфекционные и удаленные отсеки. Болезнь не может вспыхнуть снова до тех пор, пока число восприимчивых людей не восстановится, например, в результате рождения потомства в восприимчивом компартменте.

Желтый = восприимчивый, темно-бордовый = заразный, бирюзовый = выздоровевший

Каждый член населения обычно переходит от восприимчивого к заразному состоянию к выздоровевшему. Это можно отобразить в виде блок-схемы, на которой прямоугольники обозначают различные отсеки, а стрелки — переходы между отсеками (см. диаграмму).

Блок-схема состояний в модели эпидемии SIR и скорости перехода между ними

Ставки перехода

Для полной спецификации модели стрелками должны быть указаны скорости перехода между отсеками. между S и I скорость перехода равна Предполагается, что $d(S/N)/dt=-\beta SI/N^{2}$, где $N$ это общая численность населения, $\beta$ - среднее количество контактов на человека за время, умноженное на вероятность передачи заболевания при контакте между восприимчивым и инфекционным субъектом, и $SI/N^{2}$ представляет собой долю тех контактов между заразным и восприимчивым человеком, в результате которых восприимчивый человек заражается. (Математически это похоже на закон действия масс в химии, согласно которому случайные столкновения между молекулами приводят к химической реакции, а относительная скорость пропорциональна концентрации двух реагентов. )

Предполагается, что между I и R скорость перехода пропорциональна числу заразных лиц, которое $\gamma I$. Если человек заразен в течение среднего периода времени $D$, затем $\gamma =1/D$. Это также эквивалентно предположению, что продолжительность времени пребывания человека в заразном состоянии является случайной величиной с экспоненциальным распределением . «Классическую» модель SIR можно модифицировать, используя более сложные и реалистичные распределения скорости IR-перехода (например, распределение Эрланга ).

В особом случае, когда удаление из инфекционного отсека не предусмотрено ( $\gamma =0$), модель SIR сводится к очень простой модели SI, имеющей логистическое решение, при котором каждый человек в конечном итоге заражается.

Модель SIR без рождения и смерти

Единичная реализация эпидемии SIR, полученная с помощью реализации алгоритма Гиллеспи и численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (пунктир)

Динамика эпидемии, например гриппа , часто намного быстрее динамики рождаемости и смертности, поэтому в простых компартментальных моделях рождаемость и смертность часто опускаются. Система СИД без описанной выше так называемой динамики жизнедеятельности (рождения и смерти, иногда называемой демографией) может быть выражена следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений :

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-\beta IS,\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}=\beta IS-\gamma I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\end{aligned}}\right.$

Модель СИР

где $S$ это численность восприимчивого населения, $I$ это запас зараженных, $R$ - численность удаленного населения (в результате смерти или выздоровления), и $N$ является суммой этих трех.

Эта модель была впервые предложена Уильямом Огилви Кермаком и Андерсоном Греем Маккендриком как частный случай того, что мы теперь называем теорией Кермака-Маккендрика , и последовала за работой, которую Маккендрик проделал с Рональдом Россом .

Эта система нелинейна , однако ее аналитическое решение можно получить в неявном виде. Во-первых, обратите внимание, что из:

${\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}+{\frac {dR}{dt}}=0,$

отсюда следует, что:

$S(t)+I(t)+R(t)={\text{constant}}=N,$

выражая в математических терминах постоянство численности населения $N$. Обратите внимание, что приведенное выше соотношение подразумевает, что нужно изучить уравнение только для двух из трех переменных.

Во-вторых, отметим, что динамика инфекционного класса зависит от следующего соотношения:

$R_{0}={\frac {\beta }{\gamma }},$

так называемый базовый коэффициент воспроизводства (также называемый базовым коэффициентом воспроизводства). Это соотношение рассчитывается как ожидаемое количество новых инфекций (эти новые инфекции иногда называют вторичными инфекциями) от одной инфекции в популяции, где все субъекты восприимчивы. Эту идею, вероятно, можно будет лучше понять, если мы скажем, что типичное время между контактами составляет $T_{c}=\beta ^{-1}$и типичное время до удаления $T_{r}=\gamma ^{-1}$. Отсюда следует, что в среднем количество контактов заразного человека с окружающими до удаления инфекционного составляет: $T_{r}/T_{c}.$

Разделив первое дифференциальное уравнение на третье, разделив переменные и проинтегрировав, получим

$S(t)=S(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/N},$

где $S(0)$ и $R(0)$ — начальное количество соответственно восприимчивых и удаленных субъектов. Письмо $s_{0}=S(0)/N$ для первоначальной доли восприимчивых лиц, и $s_{\infty }=S(\infty )/N$ и $r_{\infty }=R(\infty )/N$ для доли восприимчивых и удаленных особей соответственнов пределе $t\to \infty ,$ у одного есть

$s_{\infty }=1-r_{\infty }=s_{0}e^{-R_{0}(r_{\infty }-r_{0})}$

(обратите внимание, что в этом пределе инфекционный отсек опорожняется).Это трансцендентное уравнение имеет решение в терминах Ламберта W функции : а именно

$s_{\infty }=1-r_{\infty }=-R_{0}^{-1}\,W(-s_{0}R_{0}e^{-R_{0}(1-r_{0})}).$

Это показывает, что в конце эпидемии, которая соответствует простым предположениям модели SIR, если только $s_{0}=0$, не все особи популяции были удалены, поэтому некоторые должны оставаться восприимчивыми. Движущей силой, ведущей к прекращению эпидемии, является снижение числа заразных лиц. Эпидемия обычно не заканчивается из-за полного отсутствия восприимчивых людей.

Роль как основного репродуктивного числа, так и начальной восприимчивости чрезвычайно важна. Фактически, если переписать уравнение для заразных лиц следующим образом:

${\frac {dI}{dt}}=\left(R_{0}{\frac {S}{N}}-1\right)\gamma I,$

получается, что если:

$R_{0}\cdot S(0)>N,$

затем:

${\frac {dI}{dt}}(0)>0,$

т. е. произойдет собственно эпидемическая вспышка с увеличением числа заразных (которые могут охватить значительную часть населения). Напротив, если

$R_{0}\cdot S(0)<N,$

затем

${\frac {dI}{dt}}(0)<0,$

т.е. независимо от первоначальной численности восприимчивого населения болезнь никогда не может вызвать настоящую эпидемическую вспышку. Как следствие, ясно, что как базовое число воспроизводства, так и начальная восприимчивость чрезвычайно важны.

Сила заражения

Обратите внимание, что в приведенной выше модели функция:

$F=\beta I,$

моделирует скорость перехода из отсека восприимчивых людей в отсек заразных особей, так что это называется силой заражения . Однако для больших классов инфекционных болезней более реалистично считать силу заражения, зависящую не от абсолютного числа заразных лиц, а от их доли (по отношению к общей постоянной численности населения). $N$):

$F=\beta {\frac {I}{N}}.$

Капассо а впоследствии другие авторы предложили нелинейные силы заражения для более реалистичного моделирования процесса заражения.

Точные аналитические решения модели SIR.

В 2014 году Харко и соавторы получили точное так называемое аналитическое решение (включающее интеграл, который можно вычислить только численно) для модели SIR. В случае без настройки жизненной динамики, для ${\mathcal {S}}(u)=S(t)$и т. д., это соответствует следующей временной параметризации

${\mathcal {S}}(u)=S(0)u$

${\mathcal {I}}(u)=N-{\mathcal {R}}(u)-{\mathcal {S}}(u)$

${\mathcal {R}}(u)=R(0)-\rho \ln(u)$

для

$t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {I}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }},$

с начальными условиями

$({\mathcal {S}}(1),{\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0)),\quad u_{T}<u<1,$

где $u_{T}$ удовлетворяет ${\mathcal {I}}(u_{T})=0$. По трансцендентному уравнению для $R_{\infty }$ выше, отсюда следует, что $u_{T}=e^{-(R_{\infty }-R(0))/\rho }(=S_{\infty }/S(0)$, если $S(0)\neq 0)$ и $I_{\infty }=0$.

Эквивалентное так называемое аналитическое решение (включающее интеграл, который можно вычислить только численно), найденное Миллером. урожайность

${\begin{aligned}S(t)&=S(0)e^{-\xi (t)}\\[8pt]I(t)&=N-S(t)-R(t)\\[8pt]R(t)&=R(0)+\rho \xi (t)\\[8pt]\xi (t)&={\frac {\beta }{N}}\int _{0}^{t}I(t^{*})\,dt^{*}\end{aligned}}$

Здесь $\xi (t)$ можно интерпретировать как ожидаемое количество передач, полученных человеком за определенное время. $t$. Эти два решения связаны соотношением $e^{-\xi (t)}=u$.

Фактически тот же результат можно найти в оригинальной работе Кермака и Маккендрика.

Эти решения можно легко понять, заметив, что все члены в правых частях исходных дифференциальных уравнений пропорциональны $I$. Таким образом, уравнения можно разделить на $I$, а время масштабируется так, что дифференциальный оператор в левой части становится просто $d/d\tau$, где $d\tau =Idt$, то есть $\tau =\int Idt$. Дифференциальные уравнения теперь все линейные, а третье уравнение имеет вид $dR/d\tau =$ константа, показывает, что $\tau$ и $R$ (и $\xi$ выше) просто линейно связаны.

Высокоточная аналитическая аппроксимация модели SIR, а также точные аналитические выражения для конечных значений. $S_{\infty }$, $I_{\infty }$, и $R_{\infty }$ были предоставлены Крегером и Шликайзером, так что нет необходимости выполнять численное интегрирование для решения модели SIR (упрощенный пример COVID-19 численного моделирования с использованием Microsoft Excel можно найти здесь). ), чтобы получить его параметры из существующих данных или спрогнозировать будущую динамику эпидемии, смоделированную моделью SIR. Аппроксимант включает в себя Ламберта W функцию , которая является частью всех базовых программ визуализации данных, таких как Microsoft Excel, MATLAB и Mathematica .

В то время как Кендалл рассматривалась так называемая модель SIR всех времен, в которой начальные условия $S(0)$, $I(0)$, и $R(0)$ связаны вышеуказанными отношениями, Кермак и Маккендрик предложил изучить более общий полувременной случай, для которого $S(0)$ и $I(0)$ оба произвольны. Эта последняя версия, обозначенная как полувременная модель SIR, делает прогнозы только на будущее $t>0$. Аналитическая аппроксимация и точные выражения для конечных значений также доступны для полувременной модели SIR.

Численные решения модели SIR с аппроксимациями

Численные решения модели SIR можно найти в литературе. Примером может служить использование модели для анализа данных о распространении COVID-19 . Из данных, проанализированных с помощью числовой аппроксимации, можно получить три числа воспроизводства:

основной номер воспроизводства :

$R_{0}={\frac {\beta _{0}}{\gamma _{0}}}$

номер воспроизведения в реальном времени:

$R_{t}={\frac {\beta _{t}}{\gamma _{t}}}$

и эффективное число воспроизводства в реальном времени:

$R_{e}={\frac {\beta _{t}S}{\gamma _{t}N}}$

$R_{0}$ представляет скорость воспроизводства в начале распространения, когда все популяции считаются восприимчивыми, например, если $\beta _{0}=0.4day^{-1}$ и $\gamma _{0}=0.2day^{-1}$ это означает, что один заразный человек в среднем заражает 0,4 восприимчивых людей в день и выздоравливает за 1/0,2=5 дней. Таким образом, когда этот человек выздоровел, осталось еще два человека, заразившихся непосредственно от этого человека, и $R_{0}=2$, т.е. число заразных людей удвоилось за один цикл в 5 дней. Данные, смоделированные моделью с $R_{0}=2$ или установленные реальные данные приведут к удвоению числа заразных людей быстрее, чем за 5 дней, потому что два инфицированных человека заражают людей. Из модели SIR мы можем сказать, что $\beta$ определяется характером заболевания, а также функцией частоты взаимодействия между инфекционным человеком $I$ с восприимчивыми людьми $S$ а также интенсивность/продолжительность взаимодействия, например, насколько близко они взаимодействуют, как долго и носят ли они оба маски, таким образом, оно меняется со временем, когда меняется среднее поведение носителей и восприимчивых людей. Использование модели $SI$ для представления этих факторов, но на самом деле это относится к начальному этапу, когда не предпринимаются никакие действия для предотвращения распространения и все население восприимчиво, таким образом, все изменения поглощаются изменением $\beta$.

$\gamma$ обычно более стабилен с течением времени, если предположить, что когда у заразного человека появятся симптомы, он/она обратится за медицинской помощью или будет самоизолирован. Итак, если мы найдем $R_{t}$ Изменения, скорее всего, поведение людей в сообществе изменилось по сравнению с их обычным поведением до вспышки, или болезнь мутировала в новую форму. Затратное массовое обнаружение и изоляция уязвимых лиц, находящихся в тесном контакте, способствуют сокращению $1/\gamma$ но чья эффективность обсуждается. Эти дебаты в основном ведутся вокруг неопределенности количества дней, прошедших после заражения или обнаружения, в зависимости от того, что наступит раньше, до появления симптомов у инфицированного восприимчивого человека. Если человек заразен после появления симптомов или выявление работает только для человека с симптомами, то в этих методах профилактики нет необходимости, а самоизоляция и/или медицинская помощь являются лучшим способом сократить риск заражения. $1/\gamma$ ценности. Типичное начало инфекционного периода COVID-19 происходит примерно через один день после появления симптомов, что делает бесполезным массовое выявление с типичной частотой в несколько дней.

$R_{t}$ не говорит нам, ускорится или замедлится распространение на последних стадиях, когда доля восприимчивых людей в обществе значительно сократится после выздоровления или вакцинации. $R_{e}$ этот эффект разбавления корректируется путем умножения доли восприимчивой популяции на общую численность населения. Он корректирует эффективное/передаваемое взаимодействие между инфицированным человеком и остальной частью сообщества, когда многие из взаимодействий являются невосприимчивыми на средних и поздних стадиях распространения заболевания. Таким образом, когда $R_{e}>1$, мы увидим экспоненциальную вспышку; когда $R_{e}=1$, достигнуто устойчивое состояние, и количество заразных людей с течением времени не меняется; и когда $R_{e}<1$, болезнь распадается и исчезает с течением времени.

Используя дифференциальные уравнения модели SIR и преобразовывая их в числовые дискретные формы, можно составить рекурсивные уравнения и рассчитать популяции S, I и R с любыми заданными начальными условиями, но накапливать ошибки в течение длительного времени расчета от контрольной точки. . Иногда тест сходимости для оценки ошибок необходим . Учитывая набор начальных условий и данные о распространении заболевания, можно также согласовать данные с моделью SIR и получить три числа воспроизводства, когда ошибки обычно незначительны из-за короткого временного шага от контрольной точки. Любой момент времени можно использовать в качестве начального условия для прогнозирования будущего после него, используя эту численную модель с предположением изменяющихся во времени параметров, таких как численность населения, $R_{t}$, и $\gamma$. Однако за пределами этой контрольной точки со временем ошибки будут накапливаться, поэтому тест сходимости необходим , чтобы найти оптимальный временной шаг для получения более точных результатов.

Среди этих трех чисел воспроизводства, $R_{0}$ очень полезен для оценки контрольного давления, например, большое значение означает, что болезнь будет распространяться очень быстро и ее очень трудно контролировать. $R_{t}$ является наиболее полезным для прогнозирования будущих тенденций, например, если мы знаем, что количество социальных взаимодействий часто сокращается на 50% по сравнению с тем, что было до вспышки, и интенсивность взаимодействия между людьми такая же, тогда мы можем установить $R_{t}=0.5R_{0}$. Если социальное дистанцирование и маски добавят еще 50% снижения эффективности заражения, мы сможем установить $R_{t}=0.25R_{0}$. $R_{e}$ будет прекрасно коррелировать с волнами распространения и всякий раз, когда $R_{e}>1$, распространение ускоряется, и когда $R_{e}<1$, распространение замедляется, что полезно для прогнозирования краткосрочных тенденций. Кроме того, его можно использовать для непосредственного расчета пороговой численности вакцинации/иммунизации для стадии коллективного иммунитета , установив $R_{t}=R_{0}$, и $R_{E}=1$, то есть $S=N/R_{0}$.

Модель SIR с динамикой жизнедеятельности и постоянной численностью населения

Рассмотрим популяцию, характеризующуюся уровнем смертности $\mu$ и рождаемость $\Lambda$и где распространяется инфекционное заболевание. Модель с массовой трансмиссией:

${\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -\mu S-{\frac {\beta IS}{N}}\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I-\mu I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}$

для которого безболезненное равновесие (DFE) равно:

$\left(S(t),I(t),R(t)\right)=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right).$

В этом случае мы можем получить базовое число воспроизводства :

$R_{0}={\frac {\beta }{\mu +\gamma }},$

который имеет пороговые свойства. Фактически, независимо от биологически значимых начальных значений, можно показать, что:

$R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)$

$R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {EE}}=\left({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\left(R_{0}-1\right),{\frac {\gamma }{\beta }}\left(R_{0}-1\right)\right).$

Точка ЭЭ называется эндемическим равновесием (болезнь не искоренена полностью и сохраняется в популяции). С помощью эвристических аргументов можно показать, что $R_{0}$ можно рассматривать как среднее число инфекций, вызванных одним инфекционным субъектом в полностью восприимчивой популяции. С биологической точки зрения указанное соотношение означает, что если это число меньше или равно единице, болезнь вымирает, тогда как если это число больше единицы. болезнь останется навсегда эндемической среди населения.

Модель СИР

Схема модели SIR с начальными значениями ${\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$, и уровень заражения ${\textstyle \beta =0.4}$ и для восстановления ${\textstyle \gamma =0.04}$

Анимация модели SIR с начальными значениями ${\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$и скорость восстановления ${\textstyle \gamma =0.04}$. На анимации показан эффект снижения уровня заражения от ${\textstyle \beta =0.5}$ к ${\textstyle \beta =0.12}$. Если нет доступных лекарств или вакцинации, снизить уровень заражения (часто называемое « сглаживанием кривой ») можно только с помощью соответствующих мер, таких как социальное дистанцирование.

В 1927 году У. О. Кермак и А. Г. Маккендрик создали модель, в которой они рассматривали фиксированную популяцию только с тремя компартментами: восприимчивой, $S(t)$; зараженный, $I(t)$; и выздоровел, $R(t)$. Отсеки, используемые в этой модели, состоят из трех классов:

• $S(t)$ используется для обозначения лиц, еще не инфицированных этим заболеванием на момент t, или лиц, восприимчивых к заболеванию среди населения.
• $I(t)$ обозначает лиц из населения, которые были инфицированы этим заболеванием и способны распространить заболевание среди лиц, относящихся к восприимчивой категории.
• $R(t)$ — это отсек, используемый для лиц из популяции, которые были инфицированы, а затем выздоровели от болезни либо в результате иммунизации, либо в результате смерти. Люди из этой категории не могут заразиться повторно или передать инфекцию другим.

Поток этой модели можно рассматривать следующим образом:

${\color {blue}{{\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}}$

Используя фиксированную численность населения, $N=S(t)+I(t)+R(t)$ в трех функциях решает, что значение $N$ должно оставаться постоянным в рамках моделирования, если моделирование используется для решения модели SIR. Альтернативно, аналитический аппроксимант можно использовать без моделирования. Модель запускается со значениями $S(t=0)$, $I(t=0)$ и $R(t=0)$. Это количество людей в категориях восприимчивых, зараженных и удаленных на момент времени равное нулю. Если предполагается, что модель SIR выполняется всегда, эти начальные условия не являются независимыми. Впоследствии модель потока обновляет три переменные для каждого момента времени с заданными значениями для $\beta$ и $\gamma$. Моделирование сначала обновляет зараженную категорию из уязвимой, а затем удаленную категорию обновляет из зараженной категории для следующего момента времени (t=1). Это описывает поток людей между тремя категориями. Эта модель не меняет категорию восприимчивости во время эпидемии. $\beta$ изменения в ходе эпидемии, как и $\gamma$. Эти переменные определяют продолжительность эпидемии, и их необходимо обновлять с каждым циклом.

${\frac {dS}{dt}}=-\beta SI$

${\frac {dI}{dt}}=\beta SI-\gamma I$

${\frac {dR}{dt}}=\gamma I$

При формулировке этих уравнений было сделано несколько допущений: во-первых, следует считать, что индивидуум в популяции имеет равную вероятность, как и любой другой индивидуум, заразиться этим заболеванием с частотой $a$ и равная дробь $b$ людей, с которыми человек контактирует в единицу времени. Тогда пусть $\beta$ быть умножением $a$ и $b$. Это вероятность передачи, умноженная на частоту контактов. Кроме того, зараженный человек контактирует с $b$ человек в единицу времени, тогда как лишь часть, $S/N$ из них восприимчивы. Таким образом, у нас каждый заразник может заразить $abS=\beta S$ восприимчивых лиц, поэтому целое число восприимчивых, зараженных инфекционными агентами в единицу времени, равно $\beta SI$. Для второго и третьего уравнений считаем, что численность населения, покидающего восприимчивый класс, равна числу людей, попадающих в зараженный класс. Однако число, равное дроби $\gamma$ (который представляет собой средний уровень выздоровления/смертности, или $1/\gamma$ средний заразный период) заразителей, покидающих этот класс в единицу времени и попадающих в удаленный класс. Эти процессы, происходящие одновременно, называются законом действия масс — широко распространенной идеей, согласно которой скорость контактов между двумя группами населения пропорциональна размеру каждой из соответствующих групп. Наконец, предполагается, что скорость заражения и выздоровления намного быстрее, чем временной масштаб рождаемости и смертности, и поэтому эти факторы в этой модели игнорируются.

Стационарные решения

Единственное устойчивое решение классической модели SIR, определенное дифференциальными уравнениями, приведенными выше, - это I = 0, тогда S и R могут принимать любые значения. Модель можно изменить, сохранив при этом три отсека, чтобы обеспечить устойчивое эндемическое решение, добавив некоторые входные данные в отсек S.

Например, можно постулировать, что ожидаемая продолжительность восприимчивости будет равна $\operatorname {E} [\min(T_{L}\mid T_{S})]$ где $T_{L}$ отражает время жизни (продолжительность жизни) и $T_{S}$ отражает время нахождения в восприимчивом состоянии до заражения, что можно упростить к:

$\operatorname {E} [\min(T_{L}\mid T_{S})]=\int _{0}^{\infty }e^{-(\mu +\delta )x}\,dx={\frac {1}{\mu +\delta }},$

таким образом, что число восприимчивых людей равно количеству людей, входящих в восприимчивый отсек. $\mu N$ раз превышает продолжительность восприимчивости:

$S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.$

Аналогично, устойчивое количество инфицированных — это число людей, перешедших в инфицированное состояние из восприимчивого состояния (число восприимчивых, умноженное на скорость заражения). $\lambda ={\tfrac {\beta I}{N}},$ раз превышает продолжительность заразности ${\tfrac {1}{\mu +v}}$:

$I={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}\lambda {\frac {1}{\mu +v}}.$

Другие купейные модели

Существует множество модификаций модели SIR, в том числе те, которые включают рождения и смерти, где при выздоровлении иммунитет отсутствует (модель SIS), где иммунитет сохраняется лишь в течение короткого периода времени (SIRS), где имеется латентный период заболевание, при котором человек не заразен (SEIS и SEIR) и при котором дети могут рождаться с иммунитетом (MSIR). Компартментальные модели также можно использовать для моделирования нескольких групп риска и даже взаимодействия нескольких патогенов.

Вариации базовой модели SIR

Модель СИС

Желтый = восприимчивый, темно-бордовый = зараженный

Некоторые инфекции, например простуда и грипп , не дают длительного иммунитета. Такие инфекции могут вызывать временную устойчивость, но не дают долговременного иммунитета после выздоровления, и люди снова становятся восприимчивыми.

SIS compartmental model

У нас есть модель:

${\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-{\frac {\beta SI}{N}}+\gamma I\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I\end{aligned}}$

Обратите внимание, что, обозначая N общую численность населения, считается, что:

${\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}=0\Rightarrow S(t)+I(t)=N$.

Отсюда следует, что:

${\frac {dI}{dt}}=(\beta -\gamma )I-{\frac {\beta }{N}}I^{2}$,

т.е. динамикой инфекционных заболеваний управляет логистическая функция , так что $\forall I(0)>0$:

${\begin{aligned}&{\frac {\beta }{\gamma }}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=0,\\[6pt]&{\frac {\beta }{\gamma }}>1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=\left(1-{\frac {\gamma }{\beta }}\right)N.\end{aligned}}$

Найти аналитическое решение этой модели можно (сделав преобразование переменных: $I=y^{-1}$ и подставляя это в уравнения среднего поля), так, что базовый коэффициент воспроизводства больше единицы. Решение дается как

$I(t)={\frac {I_{\infty }}{1+Ve^{-\chi t}}}$.

где $I_{\infty }=(1-\gamma /\beta )N$ эндемичная инфекционная популяция, $\chi =\beta -\gamma$, и $V=I_{\infty }/I_{0}-1$. Поскольку предполагается, что система закрыта, восприимчивая популяция тогда $S(t)=N-I(t)$.

Всякий раз, когда очевиден целочисленный характер числа возбудителей (популяции с численностью менее десятков тысяч особей), присущие колебания процесса распространения заболевания, вызванные дискретными возбудителями, приводят к неопределенностям. В этом сценарии эволюция заболевания, предсказанная уравнениями компартментов, значительно отклоняется от наблюдаемых результатов. Эти неопределенности могут даже привести к тому, что эпидемия закончится раньше, чем предсказывают отдельные уравнения.

В частном случае можно получить обычную логистическую функцию, полагая $\gamma =0$. Это также можно учесть в модели SIR с $R=0$, т.е. никакого удаления не произойдет. Это модель SI . Система дифференциальных уравнений с использованием $S=N-I$ таким образом сводится к:

${\frac {dI}{dt}}\propto I\cdot (N-I).$

В долгосрочной перспективе в модели SI все люди заразятся.

Модель SIRD

Схема модели SIRD с начальными значениями $S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0$ и уровень заражения $\beta =0.4$, восстановление $\gamma =0.035$ и смертность $\mu =0.005$

Анимация модели SIRD с начальными значениями ${\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$, и темпы восстановления ${\textstyle \gamma =0.035}$ и смертность ${\textstyle \mu =0.005}$. На анимации показан эффект снижения уровня заражения от ${\textstyle \beta =0.5}$ к ${\textstyle \beta =0.12}$. Если нет доступных лекарств или вакцинации, снизить уровень заражения (часто называемое «сглаживанием кривой») можно только с помощью таких мер, как «социальное дистанцирование».

Модель « Восприимчивый-Инфекционный-Выздоровевший-Умерший» различает «Выздоровевших» (имеются в виду конкретно люди, пережившие болезнь и теперь обладающие иммунитетом) и «Умерших» . Модель SIRD имеет полуаналитические решения, основанные на методе четырех частей. В этой модели используется следующая система дифференциальных уравнений:

${\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I-\mu I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\\[6pt]&{\frac {dD}{dt}}=\mu I,\end{aligned}}$

где $\beta ,\gamma ,\mu$ – показатели инфицирования, выздоровления и смертности соответственно.

Модель SIRV

Модель «Восприимчивые-инфекционные-выздоровевшие-вакцинированные» представляет собой расширенную модель SIR, учитывающую вакцинацию восприимчивого населения. В этой модели используется следующая система дифференциальных уравнений:

${\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta (t)IS}{N}}-v(t)S,\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta (t)IS}{N}}-\gamma (t)I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma (t)I,\\[6pt]&{\frac {dV}{dt}}=v(t)S,\end{aligned}}$

Мультик для модели SIRV

где $\beta ,\gamma ,v$ — показатели инфицирования, выздоровления и вакцинации соответственно. Для полувременных начальных условий $S(0)=(1-\eta )N$, $I(0)=\eta N$, $R(0)=V(0)=0$ и постоянные соотношения $k=\gamma (t)/\beta (t)$ и $b=v(t)/\beta (t)$ модель была решена приближенно. Для возникновения вспышки пандемии необходимо $k+b<1-2\eta$ и наблюдается критическое снижение уровня вакцинации $b_{c}$ за пределами которого установившийся размер $S_{\infty }$восприимчивого отсека остается относительно близко к $S(0)$. Произвольные начальные условия, удовлетворяющие $S(0)+I(0)+R(0)+V(0)=N$ может быть сопоставлен с решенным частным случаем с помощью $R(0)=V(0)=0$.

Численное решение этой модели для расчета числа воспроизведений в реальном времени. $R_{t}$ COVID-19 можно практиковать на основе информации, полученной от различных групп населения в сообществе. Численное решение — это широко используемый метод анализа сложных кинетических сетей, когда аналитическое решение трудно получить или оно ограничено такими требованиями, как граничные условия или специальные параметры. Он использует рекурсивные уравнения для расчета следующего шага путем преобразования численного интегрирования в сумму Римана дискретных временных шагов, например, использование вчерашней основной суммы и процентной ставки для расчета сегодняшних процентов, что предполагает, что процентная ставка фиксирована в течение дня. Расчет содержит прогнозируемые ошибки, если не включены аналитические поправки к размеру числового шага, например, когда процентная ставка годового сбора упрощается до 12-кратной месячной ставки, возникает прогнозируемая ошибка. Таким образом, результаты расчетов будут нести накопительные ошибки, когда временной шаг находится далеко от контрольной точки, и тест сходимости для оценки ошибки необходим . Однако эта ошибка обычно приемлема для подбора данных. При подборе набора данных с близким шагом по времени ошибка относительно невелика, поскольку контрольная точка находится рядом по сравнению с прогнозированием длительного периода времени после контрольной точки. Как только в реальном времени $R_{t}$ вытащен, его можно сравнить с основным номером репродукции $R_{0}$. До вакцинации, $R_{t}$ дает политикам и широкой общественности меру эффективности мероприятий по смягчению социальных последствий, таких как социальное дистанцирование и ношение масок, просто разделив ${\frac {R_{t}}{R_{0}}}$. Целью борьбы с болезнью при массовой вакцинации является снижение эффективной репродуктивной численности. $R_{e}={\frac {R_{t}S}{N}}<1$, где $S$ количество восприимчивого населения в данный момент и $N$ это общая численность населения. Когда $R_{e}<1$, заболеваемость распространением и число ежедневных случаев заражения снижаются.

Модель SIRVD

Модель эпидемического отсека «восприимчивые инфицированные-выздоровевшие-вакцинированные-умершие » (SIRVD) расширяет модель SIR, включив в нее влияние кампаний вакцинации и зависящие от времени показатели смертности при эпидемических вспышках. Он включает в себя модели SIR, SIRV, SIRD и SI как особые случаи, с индивидуальными, зависящими от времени скоростями, управляющими переходами между различными фракциями. В этой модели используется следующая система дифференциальных уравнений для долей населения: $S,I,R,V,D$:

В этом файле представлено изображение модели SIRVD.

${\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-a(t)SI-v(t)S,\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}=a(t)SI-\mu (t)I-\psi (t)I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\mu (t)I,\\[6pt]&{\frac {dV}{dt}}=v(t)S,\\[6pt]&{\frac {dD}{dt}}=\psi (t)I\end{aligned}}$

где $a(t),v(t),\mu (t),\psi (t)$ — показатели инфицирования, вакцинации, выздоровления и смертности соответственно. Для полувременных начальных условий $S(0)=1-\eta$, $I(0)=\eta$, $R(0)=V(0)=D(0)=0$ и постоянные соотношения $k=\mu (t)/a(t)$, $b=v(t)/a(t)$, и $q=\psi (t)/a(t)$ модель была решена приближенно и точно для некоторых частных случаев, независимо от функциональной формы $a(t)$. Это достигается переписыванием приведенных выше уравнений модели SIRVD в эквивалентной, но сокращенной форме.

${\begin{aligned}&{\frac {dS}{d\tau }}=-SI-b(\tau )S,\\[6pt]&{\frac {dI}{d\tau }}=SI-[k(\tau )+q(\tau )]I,\\[6pt]&{\frac {dR}{d\tau }}=k(\tau )I,\\[6pt]&{\frac {dV}{d\tau }}=b(\tau )S,\\[6pt]&{\frac {dD}{d\tau }}=q(\tau )S\end{aligned}}$

где

$\tau (t)=\int _{0}^{t}a(\xi )d\xi$

представляет собой сокращенное, безразмерное время. Временная зависимость зараженной фракции $I(\tau )$ иуровень новых инфекций $j(\tau )=S(\tau )I(\tau )$ различается при рассмотрении последствий прививок и в реальном времени.Зависимости смертности и показателей выздоровления расходятся. Эти различия были подчеркнуты для стационарныхкоэффициенты смертности и постепенное снижение смертности. Случай стационарных отношений позволяет построитьметод диагностики для аналитического извлечения всех параметров модели SIRVD из измеренныхДанные по COVID-19 о завершенной волне пандемии.

Модель MSIR

При многих инфекциях, включая корь , дети не рождаются в восприимчивом отделе, но имеют иммунитет к заболеванию в течение первых нескольких месяцев жизни благодаря защите материнских антител (передаваемых через плаценту и, дополнительно, через молозиво ). Это называется пассивный иммунитет . Эту дополнительную деталь можно продемонстрировать, включив в начало модели класс М (для иммунитета, полученного по материнской линии).

MSIR compartmental model

Чтобы указать это математически, добавляется дополнительный отсек M ( t ) . Это приводит к следующим дифференциальным уравнениям:

${\begin{aligned}{\frac {dM}{dt}}&=\Lambda -\delta M-\mu M\\[8pt]{\frac {dS}{dt}}&=\delta M-{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I-\mu I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}$

Государство-перевозчик

Некоторые люди, перенесшие инфекционное заболевание, такое как туберкулез, никогда полностью не выздоравливают и продолжают переносить инфекцию, хотя сами не страдают этим заболеванием. Затем они могут вернуться в инфекционный отсек и страдать от симптомов (как при туберкулезе), или они могут продолжать заражать других в состоянии своего носителя, не испытывая при этом симптомов. Самым известным примером этого, вероятно, является Мэри Мэллон 22 человека , которая заразила брюшным тифом . Багажное отделение имеет маркировку C.

Модель SEIR

Для многих важных инфекций существует значительный латентный период, в течение которого люди инфицированы, но сами еще не заразны. В этот период человек находится в отсеке Е (для облученных).

SEIR compartmental model

Предполагая, что латентный период является случайной величиной с экспоненциальным распределением с параметром $a$ (т.е. средний период задержки $a^{-1}$), а также предполагая наличие динамики естественного движения населения с рождаемостью $\Lambda$ равен уровню смертности $N\mu$ (так что общее количество $N$ постоянна), мы имеем модель:

${\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-{\frac {\beta IS}{N}}\\[8pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta IS}{N}}-(\mu +a)E\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=aE-(\gamma +\mu )I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R.\end{aligned}}$

У нас есть $S+E+I+R=N,$ но это постоянство только из-за упрощающего предположения, что уровни рождаемости и смертности равны; в общем $N$ является переменной.

Для этой модели базовый номер репродукции:

$R_{0}={\frac {a}{\mu +a}}{\frac {\beta }{\mu +\gamma }}.$

Подобно модели SIR, в этом случае мы также имеем равновесие без болезней ( N ,0,0,0) и эндемическое равновесие EE, и можно показать, что независимо от биологически значимых начальных условий

$\left(S(0),E(0),I(0),R(0)\right)\in \left\{(S,E,I,R)\in [0,N]^{4}:S\geq 0,E\geq 0,I\geq 0,R\geq 0,S+E+I+R=N\right\}$

он утверждает, что:

$R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=DFE=(N,0,0,0),$

$R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=EE.$

В случае периодически меняющейся скорости контакта $\beta (t)$ условием глобальной привлекательности ДФЭ является наличие следующей линейной системы с периодическими коэффициентами:

${\begin{aligned}{\frac {dE_{1}}{dt}}&=\beta (t)I_{1}-(\gamma +a)E_{1}\\[8pt]{\frac {dI_{1}}{dt}}&=aE_{1}-(\gamma +\mu )I_{1}\end{aligned}}$

устойчив (т. е. имеет собственные значения Флоке внутри единичного круга в комплексной плоскости).

Модель СЕИС

Модель SEIS аналогична модели SEIR (см. выше), за исключением того, что в конце не достигается иммунитет.

${\color {blue}{{\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {S}}}}$

В этой модели инфекция не оставляет никакого иммунитета, поэтому выздоровевшие люди снова становятся восприимчивыми и возвращаются в отсек S ( t ). Следующие дифференциальные уравнения описывают эту модель:

${\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S+\gamma I\\[6pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-(\epsilon +\mu )E\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&=\varepsilon E-(\gamma +\mu )I\end{aligned}}$

Модель MSEIR

Для случая заболевания с факторами пассивного иммунитета и латентным периодом существует модель MSEIR.

$\color {blue}{{\mathcal {M}}\to {\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {R}}}$

${\begin{aligned}{\frac {dM}{dt}}&=\Lambda -\delta M-\mu M\\[6pt]{\frac {dS}{dt}}&=\delta M-{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S\\[6pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-(\varepsilon +\mu )E\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&=\varepsilon E-(\gamma +\mu )I\\[6pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}$

Модель MSEIRS

Модель MSEIRS аналогична MSEIR, но иммунитет класса R будет временным, так что люди восстановят свою восприимчивость, когда временный иммунитет закончится.

${\color {blue}{{\mathcal {M}}\to {\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {R}}\to {\mathcal {S}}}}$

Переменная частота контактов

Общеизвестно, что вероятность заболеть не постоянна во времени. По мере развития пандемии реакции на пандемию могут изменить уровень контактов, который в более простых моделях считается постоянным. Контрмеры, такие как маски, социальное дистанцирование и изоляция, изменят уровень контактов, чтобы снизить скорость пандемии.

Кроме того, некоторые заболевания носят сезонный характер, например, вирусы простуды , которые более распространены зимой. При детских заболеваниях, таких как корь, эпидемический паротит и краснуха, существует сильная корреляция со школьным календарем, так что во время школьных каникул вероятность заболеть таким заболеванием резко снижается. Как следствие, для многих классов заболеваний следует учитывать силу заражения с периодическим («сезонным») изменением скорости контакта.

$F=\beta (t){\frac {I}{N}},\quad \beta (t+T)=\beta (t)$

с периодом Т, равным одному году.

Таким образом, наша модель становится

${\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta (t){\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta (t){\frac {I}{N}}S-(\gamma +\mu )I\end{aligned}}$

(динамика выздоровевших легко следует из $R=N-S-I$), т.е. нелинейная система дифференциальных уравнений с периодически меняющимися параметрами. Хорошо известно, что в этом классе динамических систем могут наблюдаться очень интересные и сложные явления нелинейного параметрического резонанса. В этом легко убедиться, если:

${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\frac {\beta (t)}{\mu +\gamma }}\,dt<1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }(S(t),I(t))=DFE=(N,0),$

тогда как если интеграл больше единицы, болезнь не вымрет и могут быть такие резонансы. Например, если рассматривать периодически меняющуюся частоту контактов как «вход» системы, то выходной сигнал представляет собой периодическую функцию, период которой кратен периоду входного сигнала.Это позволило внести вклад в объяснение многолетних (обычно двухгодичных) эпидемических вспышек некоторых инфекционных заболеваний как взаимодействия между периодом колебаний частоты контактов и псевдопериодом затухающих колебаний вблизи эндемического равновесия. Примечательно, что в некоторых случаях поведение также может быть квазипериодическим или даже хаотичным.

Модель SIR с диффузией

Пространственно-временные компартментальные модели описывают не общее количество, а плотность восприимчивых/инфицированных/выздоровевших лиц. Следовательно, они также позволяют моделировать распространение инфицированных в космосе. В большинстве случаев это делается путем объединения модели SIR с уравнением диффузии.

${\begin{aligned}&\partial _{t}S=D_{S}\nabla ^{2}S-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&\partial _{t}I=D_{I}\nabla ^{2}I+{\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I,\\[6pt]&\partial _{t}R=D_{R}\nabla ^{2}R+\gamma I,\end{aligned}}$

где $D_{S}$, $D_{I}$ и $D_{R}$ являются константами диффузии. Таким образом, получается уравнение реакции-диффузии. (Обратите внимание, что по размерным причинам параметр $\beta$ должна быть изменена по сравнению с простой моделью SIR.) Ранние модели этого типа использовались для моделирования распространения черной смерти в Европе. Расширения этой модели использовались, например, для учета эффектов нефармацевтических вмешательств, таких как социальное дистанцирование.

Взаимодействующая модель субпопуляции SEIR

Поскольку социальные контакты, тяжесть заболевания и летальность, а также эффективность профилактических мер могут существенно различаться между взаимодействующими субпопуляциями, например, пожилыми и молодыми, для каждой подгруппы могут использоваться отдельные модели SEIR, связанные между собой связями взаимодействия. Такие модели взаимодействующих субпопуляций SEIR использовались для моделирования пандемии COVID-19 в масштабах континента для разработки персонализированных, ускоренных стратегий вакцинации, ориентированных на субпопуляции. которые обещают сокращение продолжительности пандемии и снижение числа случаев заболевания и смертности в условиях ограниченного доступа к вакцинам во время волны вирусных вариантов, вызывающих обеспокоенность.

Модель SIR в сетях

Модель SIR изучалась на сетях различных типов, чтобы смоделировать более реалистичную форму соединения, чем обычно требуемое условие однородного смешивания. Простая модель эпидемий в сетях, в которой человек имеет вероятность p заразиться от каждого из своих инфицированных соседей за заданный временной шаг, приводит к результатам, аналогичным формированию гигантских компонентов на случайных графах Эрдеша Реньи .

Модель SIR _SS – сочетание SIR с моделированием социального стресса.

Динамика эпидемий зависит от того, как меняется поведение людей во времени. Например, в начале эпидемии люди невежественны и беспечны, затем, после начала эпидемий и тревоги, они начинают соблюдать различные ограничения и распространение эпидемий может пойти на спад. Со временем некоторые люди устают/разочаровываются в ограничениях и перестают им следовать (утомление), особенно если количество новых случаев падает. Отдохнув некоторое время, они могут снова соблюдать ограничения. Но во время этой паузы может прийти вторая волна и стать даже сильнее первой. социальную динамику Необходимо учитывать . Социально -физические модели социального стресса дополняют классические модели эпидемий.

Пример использования числовой модели SIR для соответствия данным о COVID-19 (из Центра по контролю и профилактике заболеваний США) в штате Огайо, США. $R_{t}$ Показаны обе модели, установленные с использованием модели SIR и SIRV. Обратите внимание: хотя модель SIR может моделировать отдельную волну, более сложная модель, такая как SIR _SS, лучше моделирует несколько волн.

Простейшая модель SIR-социального стресса (SIR _SS ) устроена следующим образом. Восприимчивых особей (S) можно разделить на три подгруппы по типам поведения: неосведомленные или не подозревающие об эпидемии (Sign ₎ , рационально устойчивые (Sres ₎ и истощенные (Sexh ₎ , не реагирующие на внешние раздражители. (это своего рода рефрактерный период). Другими словами: S(t) = S _ign (t) + S _res (t) + S _exh (t). Условно модель социального стресса можно представить в виде «схемы реакции» (где I обозначает инфицированных):

• ${\color {blue}{{\mathcal {S_{ign}}}+2{\mathcal {I}}\to {\mathcal {S_{res}}}+2{\mathcal {I}}}}$ – реакция мобилизации (автокаталитическая форма здесь означает, что скорость перехода пропорциональна квадрату инфицированной фракции I);
• ${\color {blue}{{\mathcal {S_{res}}}\to {\mathcal {S_{exh}}}}}$ – процесс истощения вследствие утомления от противоэпидемических ограничений;
• ${\color {blue}{{\mathcal {S_{exh}}}\to {\mathcal {S_{ign}}}}}$ – медленная релаксация до исходного состояния (конец рефрактерного периода).

Основная эпидемическая реакция СИР

• ${\color {blue}{{\mathcal {S_{...}}}+{\mathcal {I}}\to {\mathcal {2I}}}}$

имеет разные константы скорости реакции $\beta$ для _Sign , _Sres и S _exh . Предположительно, для S _res , $\beta$ ниже, чем для _Sign и _Sign .

Различия между странами сосредоточены в двух кинетических константах: скорости мобилизации и скорости истощения, рассчитанной для эпидемии COVID-19 в 13 странах. Эти константы для этой эпидемии во всех странах можно получить путем подбора модели SIR _SS к общедоступным данным.

Уравнение КдВ-СИР

На основе классической модели SIR предложено уравнение Кортевега-де Фриза (КдВ)-SIR и его аналитическое решение, иллюстрирующие фундаментальную динамику эпидемической волны, зависимость решений от параметров и зависимость горизонтов прогнозируемости от различных факторов. виды решений. Уравнение КдВ-СИР записывается следующим образом:

${\frac {d^{2}I}{dt}}-\sigma _{o}^{2}I+{\frac {3}{2}}{\frac {\sigma _{o}^{2}}{I_{max}}}I^{2}=0$.

Здесь,

$\sigma _{o}=\gamma (R_{o}-1)$,

$R_{o}={\frac {\beta }{\gamma }}{\frac {S_{o}}{N}}$,

и

$I_{max}={\frac {S_{o}}{2}}{\frac {(R_{o}-1)^{2}}{R_{o}^{2}}}$.

$S_{o}$ указывает начальное значение переменной состояния $S$. Параметры $\sigma _{o}$(σ-ноль) и $R_{o}$ (R-ноль) — не зависящая от времени относительная скорость роста и базовое число воспроизводства соответственно. $I_{max}$представляет максимум переменных состояния $I$(по количеству зараженных). Аналитическое решение уравнения КдВ-СИР записывается следующим образом:

$I=I_{max}sech^{2}\left({\frac {\sigma _{o}}{2}}t\right)$,

которое представляет собой уединенное волновое решение.

Моделирование вакцинации

Модель SIR можно модифицировать для моделирования вакцинации. Обычно они добавляют к модели SIR дополнительный отсек. $V$, для вакцинированных лиц. Ниже приведены некоторые примеры.

Вакцинация новорожденных

При наличии инфекционного заболевания одной из основных задач является его ликвидация с помощью профилактических мер и, по возможности, внедрения программы массовой вакцинации. Рассмотрим заболевание, от которого новорожденного прививают (вакциной, дающей пожизненный иммунитет) в размере $P\in (0,1)$:

${\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\nu N(1-P)-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta {\frac {I}{N}}S-(\mu +\gamma )I\\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=\nu NP-\mu V\end{aligned}}$

где $V$ — класс вакцинированных субъектов. Сразу видно, что:

$\lim _{t\to +\infty }V(t)=NP,$

таким образом, мы будем иметь дело с долгосрочным поведением $S$ и $I$, для которого справедливо следующее:

$R_{0}(1-P)\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),I(t)\right)=DFE=\left(N\left(1-P\right),0\right)$

$R_{0}(1-P)>1,\quad I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),I(t)\right)=EE=\left({\frac {N}{R_{0}(1-P)}},N\left(R_{0}(1-P)-1\right)\right).$

Другими словами, если

$P<P^{*}=1-{\frac {1}{R_{0}}}$

программа вакцинации не сможет искоренить болезнь, напротив, она останется эндемической, хотя и на более низком уровне, чем в случае отсутствия прививок. Это означает, что математическая модель предполагает, что для болезни, базовое репродуктивное число которой может достигать 18, необходимо вакцинировать не менее 94,4% новорожденных, чтобы искоренить болезнь.

Вакцинация и информация

Современное общество сталкивается с проблемой «рационального» освобождения, то есть решения семьи не вакцинировать детей вследствие «рационального» сравнения предполагаемого риска заражения и риска получения ущерба от вакцины. Чтобы оценить, действительно ли такое поведение рационально, т. е. может ли оно в равной степени привести к искоренению болезни, можно просто предположить, что уровень вакцинации является возрастающей функцией числа заразившихся:

$P=P(I),\quad P'(I)>0.$

В таком случае условием эрадикации становится:

$P(0)\geq P^{*},$

т.е. базовый уровень вакцинации должен превышать порог «обязательной вакцинации», который в случае исключения не может соблюдаться. Таким образом, «рациональное» исключение может быть близоруким, поскольку оно основано только на текущем низком уровне заболеваемости из-за высокого охвата прививками, а не на учете будущего возобновления инфекции из-за снижения охвата.

Вакцинация неноворожденных

В случае, если также проводятся вакцинации неноворожденных с частотой ρ, уравнение для восприимчивого и вакцинированного субъекта должно быть изменено следующим образом:

${\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N(1-P)-\mu S-\rho S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=\mu NP+\rho S-\mu V\end{aligned}}$

что приводит к следующему состоянию эрадикации:

$P\geq 1-\left(1+{\frac {\rho }{\mu }}\right){\frac {1}{R_{0}}}$

Стратегия импульсной вакцинации

Эта стратегия предусматривает повторную вакцинацию определенной возрастной группы (например, маленьких детей или пожилых людей) в восприимчивом населении с течением времени. Используя эту стратегию, блок восприимчивых людей немедленно удаляется, что позволяет исключить инфекционное заболевание (например, корь) среди всего населения. Каждые Т единицы времени вакцинируют постоянную долю р восприимчивых субъектов за относительно короткое (по отношению к динамике заболевания) время. Это приводит к следующим импульсным дифференциальным уравнениям для восприимчивых и вакцинированных субъектов:

${\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S,\quad S(nT^{+})=(1-p)S(nT^{-}),&&n=0,1,2,\ldots \\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=-\mu V,\quad V(nT^{+})=V(nT^{-})+pS(nT^{-}),&&n=0,1,2,\ldots \end{aligned}}$

Легко видеть, что, установив I = 0, можно получить, что динамика восприимчивых субъектов определяется следующим образом:

$S^{*}(t)=1-{\frac {p}{1-(1-p)E^{-\mu T}}}E^{-\mu MOD(t,T)}$

и что условием эрадикации является:

$R_{0}\int _{0}^{T}S^{*}(t)\,dt<1$

Влияние возраста: возрастные модели

Возраст оказывает глубокое влияние на скорость распространения заболевания среди населения, особенно на частоту контактов. Этот показатель суммирует эффективность контактов между восприимчивыми и заразными субъектами. Учет возраста эпидемических классов $s(t,a),i(t,a),r(t,a)$ (чтобы ограничиться схемой «восприимчивый-инфекционный-удаленный»), такой, что:

$S(t)=\int _{0}^{a_{M}}s(t,a)\,da$

$I(t)=\int _{0}^{a_{M}}i(t,a)\,da$

$R(t)=\int _{0}^{a_{M}}r(t,a)\,da$

(где $a_{M}\leq +\infty$ — максимально допустимый возраст) и их динамика описывается не «простыми» уравнениями в частных производных, а интегро-дифференциальными уравнениями :

$\partial _{t}s(t,a)+\partial _{a}s(t,a)=-\mu (a)s(a,t)-s(a,t)\int _{0}^{a_{M}}k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)\,da_{1}$

$\partial _{t}i(t,a)+\partial _{a}i(t,a)=s(a,t)\int _{0}^{a_{M}}{k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)da_{1}}-\mu (a)i(a,t)-\gamma (a)i(a,t)$

$\partial _{t}r(t,a)+\partial _{a}r(t,a)=-\mu (a)r(a,t)+\gamma (a)i(a,t)$

где:

$F(a,t,i(\cdot ,\cdot ))=\int _{0}^{a_{M}}k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)\,da_{1}$

это сила заражения, которая, конечно, будет зависеть, хотя от контактного ядра $k(a,a_{1};t)$ о взаимодействии эпох.

Сложности добавляют начальные условия для новорожденных (т.е. для a=0), которые прямо заразны и удалены:

$i(t,0)=r(t,0)=0$

но они нелокальны для плотности восприимчивых новорожденных:

$s(t,0)=\int _{0}^{a_{M}}\left(\varphi _{s}(a)s(a,t)+\varphi _{i}(a)i(a,t)+\varphi _{r}(a)r(a,t)\right)\,da$

где $\varphi _{j}(a),j=s,i,r$ являются фертильностью взрослых особей.

Более того, определяя теперь плотность всего населения $n(t,a)=s(t,a)+i(t,a)+r(t,a)$ получается:

$\partial _{t}n(t,a)+\partial _{a}n(t,a)=-\mu (a)n(a,t)$

В простейшем случае равенства рождаемости в трех эпидемических классах мы имеем, что для достижения демографического равновесия необходимо и достаточное условие, связывающее рождаемость: $\varphi (.)$ со смертностью $\mu (a)$ должен содержать:

$1=\int _{0}^{a_{M}}\varphi (a)\exp \left(-\int _{0}^{a}{\mu (q)dq}\right)\,da$

и демографическое равновесие

$n^{*}(a)=C\exp \left(-\int _{0}^{a}\mu (q)\,dq\right),$

автоматически гарантируя существование безболезненного решения:

$DFS(a)=(n^{*}(a),0,0).$

Базовое число воспроизводства можно рассчитать как спектральный радиус соответствующего функционального оператора.

Метод нового поколения

Один из способов расчета $R_{0}$ заключается в усреднении ожидаемого числа новых инфекций по всем возможным типам заражений. Метод следующего поколения представляет собой общий метод получения $R_{0}$ когда задействовано более одного класса инфекционных заболеваний. Этот метод, первоначально предложенный Diekmann et al . (1990), может использоваться для моделей с базовой возрастной структурой или пространственной структурой, среди других возможностей. На этом снимке спектральный радиус матрицы следующего поколения $G$ дает основной номер воспроизводства, $R_{0}=\rho (G).$

Рассмотрим заболевание, передающееся половым путем. В наивной популяции, где почти все восприимчивы, но семя инфекции, если ожидаемое число представителей пола 1 $f$ а ожидаемое количество инфицированных пола 2 равно $m$, мы можем знать, сколько людей будет заражено в следующем поколении. Так что матрица следующего поколения $G$ можно записать как: $$G={\begin{pmatrix}0&f\\m&0\end{pmatrix}},$$где каждый элемент $g_{ij}$ ожидаемое количество вторичных инфекций пола $i$ вызванный одним инфицированным человеком того или иного пола $j$, предполагая, что население пола $i$ полностью восприимчив. Диагональные элементы равны нулю, поскольку люди одного пола не могут передавать болезнь друг другу, а, например, каждый $f$ может передать болезнь $m$, в среднем. Это означает, что каждый элемент $g_{ij}$ это число воспроизводства, но учитывается, кто кого заражает. Если поколение $a$ представлен с $\phi _{a}$ тогда следующее поколение $\phi _{a+1}$ было бы $G\phi _{a}$.

Спектральный радиус матрицы следующего поколения — это базовое число воспроизводства, $R_{0}=\rho (G)={\sqrt {mf}}$, то есть здесь среднее геометрическое ожидаемого количества представителей каждого пола в следующем поколении. Обратите внимание, что коэффициенты умножения $f$ и $m$ чередуются, потому что заразный человек должен «пройти через» второй пол, прежде чем он сможет проникнуть в нового хозяина первого пола. Другими словами, чтобы вернуться к одному и тому же типу, требуется два поколения, и числа каждых двух поколений умножаются на $m$× $f$. Таким образом, средний коэффициент умножения на поколение равен ${\sqrt {mf}}$. Обратите внимание, что $G$ является неотрицательной матрицей, поэтому она имеет единственное, уникальное, положительное, действительное собственное значение, которое строго больше всех остальных.

Матрица нового поколения для секционных моделей

При математическом моделировании инфекционных заболеваний динамика распространения обычно описывается с помощью системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Так что всегда есть $n$ связанные уравнения вида ${\dot {C_{i}}}={\operatorname {d} \!C_{i} \over \operatorname {d} \!t}=f(C_{1},C_{2},...,C_{n})$ который показывает, как количество людей в купе $C_{i}$ меняется с течением времени. Например, в модели SIR $C_{1}=S$, $C_{2}=I$, и $C_{3}=R$. Компартментальные модели имеют равновесие без болезней (DFE), что означает, что можно найти равновесие, установив количество инфицированных людей равным нулю. $I=0$. Другими словами, как правило, существует безинфекционное устойчивое состояние . Это решение также обычно гарантирует, что равновесие без болезней также является равновесием системы. Существует еще одна фиксированная точка, известная как эндемическое равновесие (ЭР), когда болезнь не полностью искоренена и остается в популяции. Математически, $R_{0}$ является порогом устойчивости безболезненного равновесия, при котором:

$R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(C_{1}(t),C_{2}(t),\cdots ,C_{n}(t))={\textrm {DFE}}$

$R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(C_{1}(t),C_{2}(t),\cdots ,C_{n}(t))={\textrm {EE}}.$

Чтобы рассчитать $R_{0}$Первым шагом является линеаризация вокруг безболезненного равновесия (DFE), но для инфицированной подсистемы нелинейных ODE, которые описывают возникновение новых инфекций и изменения состояния среди инфицированных людей. Эпидемиологически линеаризация отражает то, что $R_{0}$ характеризует возможность первоначального распространения заразного человека среди ранее не подвергавшейся инфекции популяции, при условии, что изменения в восприимчивой популяции незначительны во время первоначального распространения. Линейную систему ОДУ всегда можно описать матрицей. Итак, следующим шагом будет построение линейного положительного оператора, который обеспечит следующее поколение инфицированных людей при применении к нынешнему поколению. Обратите внимание, что этот оператор (матрица) отвечает за количество зараженных, а не за все отсеки. Итерация этого оператора описывает начальное развитие инфекции в гетерогенной популяции. Так что сравнение спектрального радиуса этого оператора с единицей определяет, будут ли расти поколения зараженных людей или нет. $R_{0}$ может быть записана как произведение уровня инфицирования вблизи безболезненного равновесия и средней продолжительности заразности. Он используется для определения пика и окончательного размера эпидемии.

Модель SEIR с динамикой естественного движения населения и постоянной численностью населения.

Как описано в приведенном выше примере, очень многие эпидемические процессы можно описать с помощью модели SIR‌. Однако для многих важных инфекций, таких как COVID-19 , существует значительный латентный период, в течение которого люди инфицированы, но сами еще не заразны. В этот период человек находится в отсеке Е (для облученных). Здесь формирование матрицы следующего поколения из модели SEIR‌ включает определение двух компартментов: инфицированного и неинфицированного, поскольку они являются популяциями, которые распространяют инфекцию. Таким образом, нам нужно смоделировать только незащищенные E и зараженные I отсеки. Рассмотрим популяцию, характеризующуюся уровнем смертности $\mu$ и рождаемость $\lambda$ где распространяется инфекционное заболевание. Как и в предыдущем примере, мы можем использовать коэффициенты перехода между сегментами на душу населения такие, что $\beta$ быть уровень заражения, $\gamma$ быть скорость восстановления, и $\kappa$ быть скоростью, с которой латентный человек становится заразным. Затем мы можем определить динамику модели, используя следующие уравнения:

$${\begin{cases}{\dot {S}}=\lambda -\mu S-\beta SI,\\\\{\dot {E}}=\beta SI-(\mu +\kappa )E,\\\\{\dot {I}}=\kappa E-(\mu +\gamma )I,\\\\{\dot {R}}=\gamma I-\mu R.\end{cases}}$$Здесь у нас есть 4 отсека, и мы можем определить вектор $\mathrm {x} =(S,E,I,R)$ где $\mathrm {x} _{i}$ обозначает количество или долю особей в $i$-й отсек. Позволять $F_{i}(\mathrm {x} )$ быть скоростью появления новых инфекций в компартменте $i$ так, что он включает только вновь возникающие инфекции, но не включает термины, описывающие перемещение заразных лиц из одного зараженного компартмента в другой. Тогда, если $V_{i}^{+}$ - скорость перевода особей в компартмент $i$ всеми другими способами и $V_{i}^{-}$ это скорость перевода людей из $i$-й отсек, тогда разница $F_{i}(\mathrm {x} )-V_{i}(\mathrm {x} )$ дает скорость изменения такую, что $V_{i}(\mathrm {x} )=V_{i}^{-}(\mathrm {x} )-V_{i}^{+}(\mathrm {x} )$.

Теперь мы можем составить матрицы частных производных $F$ и $V$ такой, что

$F_{ij}={\partial \!\ F_{i}(\mathrm {x} ^{*}) \over \partial \!\ \mathrm {x} _{j}}$ и $V_{ij}={\partial \!\ V_{i}(\mathrm {x} ^{*}) \over \partial \!\ \mathrm {x} _{j}}$ , где $\mathrm {x} ^{*}=(S^{*},E^{*},I^{*},R^{*})=(\lambda /\mu ,0,0,0)$ это равновесие без болезней.

Теперь мы можем сформировать матрицу (оператор) следующего поколения. $G=FV^{-1}$. По сути, $F$ представляет собой неотрицательную матрицу , которая представляет уровень заражения вблизи равновесия, и $V$ представляет собой M-матрицу для членов линейного перехода, составляющих $V^{-1}$ матрица, которая представляет среднюю продолжительность заразности. Поэтому, $G_{ij}$ показывает скорость, с которой инфицированные люди в $\mathrm {x} _{j}$ вызвать новые инфекции в $\mathrm {x} _{i}$, умноженное на среднюю продолжительность времени, которое человек проводит за одно посещение отсека $j.$

Наконец, для этого процесса SEIR мы можем иметь:

$F={\begin{pmatrix}0&\beta S^{*}\\0&0\end{pmatrix}}$ и $V={\begin{pmatrix}\mu +\kappa &0\\-\kappa &\gamma +\mu \end{pmatrix}}$ и так $R_{0}=\rho (FV^{-1})={\frac {\kappa \beta S^{*}}{(\mu +\kappa )(\mu +\gamma )}}.$

Методы оценки

Базовое репродуктивное число можно оценить путем изучения подробных цепочек передачи или с помощью геномного секвенирования . Однако чаще всего его рассчитывают с использованием эпидемиологических моделей. Во время эпидемии обычно число диагностированных инфекций $N(t)$ через некоторое время $t$ известно. На ранних стадиях эпидемии рост носит экспоненциальный характер с логарифмическими темпами роста. $$K:={\frac {d\ln(N)}{dt}}.$$Для экспоненциального роста, $N$ можно интерпретировать как совокупное количество диагнозов (включая выздоровевших) или текущее количество случаев заражения; логарифмическая скорость роста одинакова для любого определения. Чтобы оценить $R_{0}$, необходимы предположения относительно временной задержки между заражением и постановкой диагноза, а также времени между заражением и началом заразности.

В экспоненциальном росте, $K$ связано со временем удвоения $T_{d}$ как $$K={\frac {\ln(2)}{T_{d}}}.$$

Простая модель

Если особь после заражения заражает именно $R_{0}$ новые особи только спустя ровно время $\tau$ (серийный интервал) прошел, то число заразных лиц с течением времени растет по мере $$n_{E}(t)=n_{E}(0)\,R_{0}^{t/\tau }=n_{E}(0)\,e^{Kt}$$или $$\ln(n_{E}(t))=\ln(n_{E}(0))+\ln(R_{0})t/\tau .$$Основное согласующее дифференциальное уравнение: $${\frac {dn_{E}(t)}{dt}}=n_{E}(t){\frac {\ln(R_{0})}{\tau }}.$$или $${\frac {d\ln(n_{E}(t))}{dt}}={\frac {\ln(R_{0})}{\tau }}.$$В этом случае, $R_{0}=e^{K\tau }$ или $K={\frac {\ln R_{0}}{\tau }}$.

Например, с $\tau =5~\mathrm {d}$ и $K=0.183~\mathrm {d} ^{-1}$, мы бы нашли $R_{0}=2.5$.

Если $R_{0}$ зависит от времени $$\ln(n_{E}(t))=\ln(n_{E}(0))+{\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{t}\ln(R_{0}(t))dt$$показывая, что может быть важно сохранить $\ln(R_{0})$ ниже 0, усредненное по времени, чтобы избежать экспоненциального роста.

Латентный инфекционный период, изоляция после установления диагноза.

В этой модели отдельное заражение имеет следующие стадии:

1. Зараженный: человек инфицирован, но не имеет симптомов и еще не заражает других. Средняя продолжительность экспонированного состояния составляет $\tau _{E}$.
2. Латентная инфекция: человек инфицирован, не имеет симптомов, но заражает других. Средняя продолжительность латентного инфекционного состояния составляет $\tau _{I}$. Человек заражает $R_{0}$ другие лица в этот период.
3. Изоляция после постановки диагноза: принимаются меры для предотвращения дальнейшего заражения, например, путем изоляции инфицированного человека.

Это модель SEIR и $R_{0}$ можно записать в следующем виде $$R_{0}=1+K(\tau _{E}+\tau _{I})+K^{2}\tau _{E}\tau _{I}.$$Этот метод оценки был применен к COVID-19 и SARS . Это следует из дифференциального уравнения для числа облученных особей $n_{E}$ и количество латентно инфицированных лиц $n_{I}$, $${\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}n_{E}\\n_{I}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1/\tau _{E}&R_{0}/\tau _{I}\\1/\tau _{E}&-1/\tau _{I}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n_{E}\\n_{I}\end{pmatrix}}.$$Наибольшее собственное значение матрицы представляет собой логарифмическую скорость роста. $K$, которое можно решить для $R_{0}$.

В особом случае $\tau _{I}=0$, эта модель приводит к $R_{0}=1+K\tau _{E}$, что отличается от простой модели, приведенной выше ( $R_{0}=\exp(K\tau _{E})$). Например, с теми же значениями $\tau =5~\mathrm {d}$ и $K=0.183~\mathrm {d} ^{-1}$, мы бы нашли $R_{0}=1.9$, а не истинное значение $2.5$. Разница обусловлена ​​тонким различием в базовой модели роста; приведенное выше матричное уравнение предполагает, что вновь инфицированные пациенты в настоящее время уже способствуют инфекциям, тогда как на самом деле инфекции происходят только из-за количества инфицированных в $\tau _{E}$ назад. Более корректная трактовка потребовала бы использования дифференциальных уравнений с запаздыванием .

Латентный период – это переходный период между событием заражения и проявлением заболевания. При заболеваниях с различным латентным периодом базовое число воспроизводства можно рассчитать как сумму чисел воспроизводства за каждый период перехода в заболевание. Примером этого является туберкулез (ТБ). Блоуэр и соавторы на основе простой модели туберкулеза рассчитали следующее число воспроизводства: $$R_{0}=R_{0}^{\text{FAST}}+R_{0}^{\text{SLOW}}$$В их модели предполагается, что у инфицированных лиц может развиться активный туберкулез либо путем прямого прогрессирования (заболевание развивается сразу после заражения), рассматриваемого выше как БЫСТРЫЙ туберкулез, либо эндогенной реактивации (заболевание развивается через несколько лет после заражения), рассматриваемого выше как МЕДЛЕННЫЙ туберкулез.

Другие соображения в рамках компартментальных моделей эпидемии

Вертикальная передача

В случае некоторых заболеваний, таких как СПИД и гепатит В, дети инфицированных родителей могут родиться инфицированными. Такая передача заболевания вниз от матери называется вертикальной передачей. Приток дополнительных членов в зараженную категорию можно учитывать в рамках модели, включая часть новорожденных членов в зараженный отсек.

Векторная передача

Болезни, передающиеся от человека к человеку косвенно, т.е. малярия, распространяющаяся через комаров, передаются через переносчиков. В этих случаях инфекция передается от человека к насекомому, и модель эпидемии должна включать оба вида, что обычно требует гораздо большего количества компартментов, чем модель прямой передачи.

Другие

К другим событиям, которые, возможно, придется учитывать при моделировании эпидемии, относятся следующие:

• Неоднородное смешивание
• Переменная инфекционность
• Распределения, которые пространственно неоднородны
• Заболевания, вызываемые макропаразитами

Детерминистические и стохастические модели эпидемии

Представленные здесь детерминистические модели действительны только в случае достаточно больших популяций, и поэтому их следует использовать с осторожностью. Эти модели действительны только в термодинамическом пределе , когда популяция фактически бесконечна. В стохастических моделях долговременное эндемическое равновесие, полученное выше, не соблюдается, поскольку существует конечная вероятность того, что количество инфицированных людей в системе упадет ниже одного. Таким образом, в настоящей системе патоген не может распространяться, поскольку ни один хозяин не будет инфицирован. Но в детерминированных моделях среднего поля количество зараженных может принимать реальные, а именно нецелые значения зараженных хостов, а количество хостов в модели может быть меньше единицы, но больше нуля, что позволяет патоген в модели для распространения. Надежность отсекаемых моделей ограничена отсеками.

Одно из возможных расширений моделей среднего поля рассматривает распространение эпидемий по сети на основе концепций теории просачивания . Стохастические модели эпидемии изучались в разных сетях и совсем недавно он был применен к пандемии COVID-19 .

См. также

• Скорость атаки
• Базовый номер репродукции
• Сгладить кривую
• Список имитационных моделей COVID-19
• Математическое моделирование в эпидемиологии
• Проблема с модифицируемой единицей площади
• Матрица нового поколения
• Оценка риска

Дальнейшее чтение

• Мэй Р.М. , Андерсон Р.М. (1991). Инфекционные болезни человека: динамика и борьба . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-854040-Х .
• Винницкий Е., Белый Р.Г., ред. (2010). Введение в моделирование инфекционных заболеваний . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-856576-5 .
• Капассо V (2008). Математические структуры эпидемических систем. 2-я печать . Гейдельберг: Спрингер. ISBN  978-3-540-56526-0 .
• Карлсон К.С., Рубин Д.М., Хейккиля В., Постема М. (2021). «Извлечение параметров передачи и восстановления для модели адаптивной глобальной системной динамики пандемии COVID-19» . IEEE Африка, 2021 г. (PDF) . стр. 456–459. дои : 10.1109/AFRICON51333.2021.9570946 . ISBN  978-1-6654-1984-0 . S2CID   239899862 .

Внешние ссылки

• Модель SIR: онлайн-эксперименты с JSXGraph
• «Имитация эпидемии» . 3Синий1Коричневый . 27 марта 2020 г. — через YouTube .