Коробочный сплайн

В математических областях численного анализа и теории аппроксимации коробчатые сплайны представляют собой кусочно- полиномиальные функции нескольких переменных. Бокс-сплайны рассматриваются как многомерное обобщение базисных сплайнов (B-сплайны) и обычно используются для многомерной аппроксимации/интерполяции. Геометрически прямоугольный сплайн — это тень (рентгеновское излучение) гиперкуба, проецируемая в пространство более низкого измерения. Бокс-сплайны и симплекс-сплайны — это хорошо изученные частные случаи многогранных сплайнов, которые определяются как тени общих многогранников .

Определение

Прямоугольный сплайн — это многомерная функция. $(\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} )$ определено для набора векторов, $\xi \in \mathbb {R} ^{d},$ обычно собираются в матрицу $\mathbf {\Xi } :=\left[\xi _{1}\dots \xi _{N}\right].$

Когда количество векторов совпадает с размерностью области (т. е. $N=d$) тогда коробчатый сплайн — это просто (нормализованная) индикаторная функция параллелепипеда, образованного векторами в $\mathbf {\Xi }$:

$M_{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} ):={\frac {1}{\mid {\det {\Xi }}\mid }}\chi _{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} )={\begin{cases}{\frac {1}{\mid {\det {\Xi }}\mid }}&{\text{if }}\mathbf {x} =\sum _{n=1}^{d}{t_{n}\xi _{n}}{\text{ for some }}0\leq t_{n}<1\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Добавляем новое направление, $\xi ,$ к $\mathbf {\Xi } ,$ или вообще когда $N>d,$ сплайн блока определяется рекурсивно:

$M_{\mathbf {\Xi } \cup \xi }(\mathbf {x} )=\int _{0}^{1}M_{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} -t\xi )\,{\rm {d}}t.$

Примеры двумерных сплайнов, соответствующих 1, 2, 3 и 4 векторам в 2D.

Коробочный сплайн $M_{\mathbf {\Xi } }$ можно интерпретировать как тень индикаторной функции единичного гиперкуба в $\mathbb {R} ^{N}$ когда проецируется вниз в $\mathbb {R} ^{d}.$ С этой точки зрения векторы $\xi \in \mathbf {\Xi }$ являются геометрической проекцией стандартного базиса в $\mathbb {R} ^{N}$ (т. е. ребра гиперкуба) до $\mathbb {R} ^{d}.$

При рассмотрении умеренных распределений прямоугольный сплайн, связанный с одним вектором направления, представляет собой Дирака, типа обобщенную функцию поддерживаемую $t\xi$ для $0\leq t<1$. Тогда общий блочный сплайн определяется как свертка распределений, связанных с одновекторными сплайнами:

$M_{\mathbf {\Xi } }=M_{\xi _{1}}\ast M_{\xi _{2}}\ast \dots \ast M_{\xi _{N}}.$

Характеристики

• Позволять $\kappa$ — минимальное число направлений, удаление которых из $\Xi$ делает остальные направления не охватывающими $\mathbb {R} ^{d}$. Тогда коробчатый сплайн имеет $\kappa -2$ степени непрерывности: $M_{\mathbf {\Xi } }\in C^{\kappa -2}(\mathbb {R} ^{d})$.
• Когда $N\geq d$ (и векторы в $\Xi$ охватывать $\mathbb {R} ^{d}$) бокс-сплайн — функция с компактным носителем, носителем которой является зонотоп в $\mathbb {R} ^{d}$ образованная суммой Минковского векторов направления $\xi \in \mathbf {\Xi }$.
• Поскольку зонотопы центрально симметричны, носитель коробчатого сплайна симметричен относительно его центра: $\mathbf {c} _{\Xi }:={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{N}\xi _{n}.$
• Преобразование Фурье коробчатого сплайна в $d$ размеры, определяются выражением

${\hat {M}}_{\Xi }(\omega )=\exp(-j\mathbf {c} _{\Xi }\cdot \omega )\prod _{n=1}^{N}\operatorname {sinc} (\xi _{n}\cdot \omega ).$

Приложения

Для приложений используются линейные комбинации сдвигов одного или нескольких коробчатых сплайнов на решетке. Такие сплайны более эффективны, чем линейные комбинации симплексных сплайнов, поскольку они масштабируются и, по определению, инвариантны к сдвигу. Таким образом, они образуют отправную точку для многих поверхностей разделения конструкций .

Коробчатые сплайны были полезны для описания компоновок гиперплоскостей. Кроме того, коробчатые сплайны могут быть используется для вычисления объема многогранников.

В контексте многомерной обработки сигналов коробчатые сплайны могут предоставлять многомерные ядра интерполяции (фильтры восстановления), адаптированные к недекартовым решеткам выборки . и кристаллографические решетки (корневые решетки), которые включают в себя множество теоретико-информационно оптимальных решеток выборки. В общем случае оптимальная упаковка сфер и решетки, покрывающие сферы полезны для выборки многомерных функций в 2-D, 3-D и более высоких измерениях. В режиме 2-D трехмерный прямоугольный сплайн используется для интерполяции изображений с гексагональной выборкой. В режиме 3-D четырехстороннее и шестинаправленный коробчатые сплайны используются для интерполяции данных, выбранных на (оптимальных) объемно-центрированных кубических и гранецентрированных кубических решетках соответственно. Семинаправленный коробчатый сплайн использовался для моделирования поверхностей и может использоваться для интерполяции данных на декартовой решетке. а также объемноцентрированная кубическая решетка. Обобщение четырех- и шестинаправленный коробчатые сплайны для более высоких размеров может использоваться для построения сплайнов на корневых решетках . Коробчатые шлицы являются ключевыми компонентами шестигранных шлицев. и сплайны Вороного которые, однако, не подлежат переработке.

Коробочные сплайны нашли применение в многомерной фильтрации, особенно для быстрой двусторонней фильтрации и алгоритмов нелокальных средних. Кроме того, коробчатые сплайны используются для разработки эффективных пространственно-вариантных (т. е. несверточных) фильтров.

Коробочные сплайны являются полезными базисными функциями для представления изображений в контексте задач томографической реконструкции , поскольку пространства сплайнов, порожденные пространствами коробчатых сплайнов, замкнуты относительно рентгеновских преобразований и преобразований Радона . В этом приложении, хотя сигнал представлен в пространствах, инвариантных к сдвигу, проекции получаются в замкнутой форме путем неравномерного перемещения коробчатых сплайнов.

В контексте обработки изображений было показано, что кадры прямоугольных сплайнов эффективны при обнаружении краев.