Факторизация графа

Не путать с Факторным графиком .

1-факторизация графа Дезарга : каждый цветовой класс является 1-фактором .

График Петерсена можно разделить на 1-факторный (красный) и 2-факторный (синий). Однако граф не является 1-факторным .

В теории графов фактором и графа G , т. е является охватывающий подграф . подграф, который имеет тот же набор вершин, G. что k k -фактор графа представляет собой охватывающий k - регулярный подграф, а -факторизация разбивает ребра графа на непересекающиеся k -факторы. Граф G называется k -факторизуемым , если он допускает k -факторизацию. В частности, 1-фактор — это идеальное паросочетание , а 1-факторизация k -регулярного графа — это правильная раскраска ребер в k цветов. — 2-фактор это совокупность циклов , охватывающая все вершины графа.

1-факторизация

Если граф 1-факторизуем, то он должен быть регулярным . Однако не все регулярные графы являются 1-факторными. -регулярный граф k является 1-факторизуемым, если он имеет хроматический индекс k ; примеры таких графиков включают:

• Любой правильный двудольный граф . Теорему о браке Холла можно использовать, чтобы показать, что k -регулярный двудольный граф содержит идеальное паросочетание. Затем можно удалить идеальное паросочетание, чтобы получить ( k − 1)-регулярный двудольный граф, и повторно применить те же рассуждения.
• Любой полный граф с четным количеством узлов (см. ниже ).

Однако существуют также k -регулярные графы с хроматическим индексом k + 1, и эти графы не являются 1-факторизуемыми; примеры таких графиков включают:

• Любой регулярный граф с нечетным числом узлов.
• График Петерсена .

Полные графики

1-факторизация К ₈ , в которой каждый 1-фактор состоит из ребра от центра до вершины семиугольника вместе со всеми возможными перпендикулярными ребрами

1-факторизация полного графа соответствует спариванию в круговом турнире . 1-факторизация полных графов является частным случаем теоремы Бараньи об 1-факторизации полных гиперграфов .

Один из методов построения 1-факторизации полного графа с четным числом вершин предполагает размещение всех вершин, кроме одной, в правильном многоугольнике с оставшейся вершиной в центре. При таком расположении вершин один из способов построения 1-фактора графа — выбрать ребро e от центра до единственной вершины многоугольника вместе со всеми возможными ребрами, лежащими на прямых, перпендикулярных e . 1-факторы, которые можно построить таким образом, образуют 1-факторизацию графа.

Число различных 1-факторизаций K ₂ , K ₄ , K ₆ , K ₈ , ... равно 1, 1, 6, 6240, 1225566720, 252282619805368320, 98758655816833727741338583040, ... ( OEIS : A0004 38 ).

Гипотеза об 1-факторизации

Пусть G — k -регулярный граф с 2n узлами . Если k достаточно велико, известно, что G должна быть 1-факторизуемой:

• Если k = 2 n − 1, то G — полный граф K _{2 n} и, следовательно, 1-факторизуемый (см. выше ).
• Если k = 2 n − 2, то G можно построить, удалив совершенное паросочетание из K _{2 n} . Опять же, G 1-факторивен.
• Четвинд и Хилтон (1985) показывают, что если k ≥ 12 n /7, то G 1-факторизуема.

Гипотеза об 1-факторизации - это давняя гипотеза , утверждающая, что k ≈ n достаточно. Если говорить точнее, то гипотеза такова:

• Если n нечетно и k ≥ n , то G 1-факторизуема. Если n четно и k ≥ n − 1, то G 1-факторизуема.

Гипотеза о переполнении подразумевает гипотезу об 1-факторизации.

Идеальная 1-факторизация

Совершенная пара из 1-факторизации — это пара 1-факторов, объединение которых порождает цикл гамильтонов .

Совершенная 1-факторизация (P1F) графа — это 1-факторизация, обладающая тем свойством, что каждая пара 1-факторов является идеальной парой. Совершенную 1-факторизацию не следует путать с идеальным паросочетанием (также называемым 1-факторизацией).

В 1964 году Антон Коциг предположил, что каждый полный граф K _{2 n} , где n ≥ 2, имеет идеальную 1-факторизацию. На данный момент известно, что следующие графы имеют идеальную 1-факторизацию:

• бесконечное семейство полных графов K _{2 p} , где p — нечетное простое число (автор Андерсон, а также Накамура независимо),
• бесконечное семейство полных графов K _{p +1} , где p — нечетное простое число,
• и спорадические дополнительные результаты, включая K _{2 n} , где 2 n ∈ {16, 28, 36, 40, 50, 126, 170, 244, 344, 730, 1332, 1370, 1850, 2198, 3126, 6860, 12168, 16808, 29792}. Некоторые новые результаты собраны здесь .

полный граф Kn _{+ 1} имеет совершенную 1-факторизацию, то полный двудольный граф Kn _{n , Если} также имеет совершенную 1-факторизацию.

2-факторизация

Если граф 2-факторизуем, то он должен быть 2k - регулярным для некоторого целого числа k . Юлиус Петерсен показал в 1891 году, что это необходимое условие является также и достаточным: любой 2k - регулярный граф 2-факторизуем .

Если связный граф является 2k - регулярным и имеет четное число ребер, его также можно разложить на k -факторы, выбрав каждый из двух факторов в качестве чередующегося подмножества ребер эйлерова обхода . Это применимо только к связным графам; несвязные контрпримеры включают непересекающиеся объединения нечетных циклов или копий K _{2 k +1} .

Проблема Обервольфаха касается существования 2-факторизации полных графов в изоморфные подграфы. Он спрашивает, для каких подграфов это возможно. Это известно, когда подграф связен (в этом случае он является гамильтоновым циклом и этим частным случаем является задача гамильтонова разложения ), но общий случай остается открытым .

Библиография

• Бонди, Джон Адриан ; Мурти, USR (1976), Теория графов с приложениями , Северная Голландия, ISBN  0-444-19451-7 , заархивировано из оригинала 13 апреля 2010 г. , получено 18 декабря 2019 г. , Раздел 5.1: «Сопоставления».
• Четвинд, AG ; Хилтон, AJW (1985), «Регулярные графы высокой степени 1-факторизуемы», Proceedings of the London Mathematical Society , 50 (2): 193–206, doi : 10.1112/plms/s3-50.2.193 .
• Дистель, Рейнхард (2005), Теория графов (3-е изд.), Springer , ISBN  3-540-26182-6 , Глава 2: «Подбор, накрытие и упаковка». Электронное издание .
• Харари, Фрэнк (1969), Теория графов , Аддисон-Уэсли, ISBN  0-201-02787-9 , Глава 9: «Факторизация».
• «Однофакторизация» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Ниссен, Томас (1994), «Как найти переполненные подграфы в графах с большой максимальной степенью», Discrete Applied Mathematics , 51 (1–2): 117–125, doi : 10.1016/0166-218X(94)90101-5 .
• Перкович, Л.; Рид, Б. (1997), «Раскраска ребер регулярных графов высокой степени», Discrete Mathematics , 165–166: 567–578, doi : 10.1016/S0012-365X(96)00202-6 .
• Петерсен, Юлиус (1891), «Теория регулярных графов» (PDF) , Acta Mathematica , 15 : 193–220, doi : 10.1007/BF02392606 .
• Уэст, Дуглас Б. «Гипотеза 1-факторизации (1985?)» . Открытые проблемы – Теория графов и комбинаторика . Проверено 9 января 2010 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Граф-фактор» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «К-Фактор» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «k-факторный граф» . Математический мир .

Дальнейшее чтение

• Пламмер, Майкл Д. (2007), «Факторы графа и факторизация: 1985–2003: обзор», Discrete Mathematics , 307 (7–8): 791–821, doi : 10.1016/j.disc.2005.11.059 .