Дифракция Френеля

В оптике уравнение дифракции Френеля для дифракции в ближнем поле представляет собой приближение дифракции Кирххофф-Фреснела , которая может быть применена к распространению волн в ближнем поле . ^{[ 1 ]} Он используется для расчета дифракционной схемы , созданной волнами, проходящими через апертуру или вокруг объекта, если смотреть с относительно близко к объекту. Напротив, дифракционная схема в области дальнего поля определяется дифракционным уравнением Фраунхофера .

Близкое поле может быть указано по Френеля номеру $F$ , оптического расположения. Когда $F\ll 1$ Дифрагированная волна считается в поле Фраунхофера. Тем не менее, достоверность интеграла дифракции Френеля выводится с помощью приближений, полученных ниже. В частности, фазовые условия третьего порядка и выше должны быть незначительными, условие, которое может быть написано как

${\frac {F\theta ^{2}}{4}}\ll 1,$

где $\theta$ максимальный угол, описанный $\theta \approx a/L,$ $A$ и $L$ так же, как в определении числа Френеля . Следовательно, это условие может быть аппроксимировано как ${\textstyle {\frac {a^{4}}{4L^{3}\lambda }}\ll 1}$ .

Дифракция множественной френеля в близко расположенных периодических хребтах ( Ridged Mirror ) вызывает спекулярный отражение ; Этот эффект может быть использован для атомных зеркал . ^{[ 2 ]}

Раннее лечение этого явления

Некоторые из самых ранних работ над тем, что стало бы известно как дифракция Френеля, была проведена Франческо Марией Гримальди в Италии в 17 веке. В его монографии под названием «Свет», ^{[ 3 ]} Ричард С. Маклаурин объясняет дифракцию Френеля, спрашивая, что происходит, когда свет распространяется, и как этот процесс влияет, когда барьер с щели или отверстием в нем вставлен в луче, создаваемом отдаленным источником света. Он использует принцип Huygens для исследования в классических терминах, что происходит. Фронт волны, который происходит от щели и на экране обнаружения на некоторое расстояние, очень близко приближается к фронту волны, происходящей через область зазора, без учета каких -либо минувших взаимодействий с фактическим физическим преимуществом.

Результатом является то, что если может возникнуть разрыв очень узкие дифракционные паттерны с яркими центрами. Если разрыв становится все шире, то дифракционные паттерны с темными центрами будут чередоваться с дифракционными схемами с яркими центрами. По мере того, как разрыв становится больше, дифференциалы между темными и легкими полосами уменьшаются до тех пор, пока дифракционный эффект больше не будет обнаружен.

Маклаурин не упоминает о возможности того, что центр серии дифракционных колец, образующихся, когда свет светит через небольшое отверстие, может быть черным, но он указывает на обратную ситуацию, в которой тень, полученная небольшим круглым объектом, может парадоксально иметь яркую центр (стр. 219)

В его оптике , ^{[ 4 ]} Фрэнсис Уэстон Сирс предлагает математическое приближение, предложенное Френелем, которое предсказывает основные особенности дифракционных паттернов и использует только простую математику. Рассматривая перпендикулярное расстояние от отверстия на барьерном экране до ближайшего экрана обнаружения вместе с длиной волны падающего света, можно вычислить несколько областей, называемых полупериодными элементами или зонами Френнеля . Внутренняя зона - это круг, и каждая последующая зона будет концентрическим кольцом. Если диаметр кругового отверстия на экране достаточно для обнаружения первой или центральной зоны Френеля, амплитуда света в центре экрана обнаружения будет вдвое больше, чем если бы экран обнаружения не был запекается. Если диаметр кругового отверстия на экране достаточно для обнаружения двух зон Френеля, то амплитуда в центре почти равна нулю. Это означает, что дифракционный паттерн Френеля может иметь темный центр. Эти шаблоны можно увидеть и измерять, и хорошо соответствуют значениям, рассчитанным для них.

Интеграл дифракции Френеля

электрического поля Согласно теории дифракционной теории Рэлея-Коммерфельда, дифракционная картина дифракции в точке ( x , y , z ) задается следующим решением уравнения Гельмгольца :

$E(x,y,z)={\frac {1}{i\lambda }}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0){\frac {e^{ikr}}{r}}{\frac {z}{r}}\left(1+{\frac {i}{kr}}\right)\,dx'dy',$

где

$E(x',y',0)$ Электрическое поле в апертуре,
$r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}},$
$k$ это волновое число $2\pi /\lambda ,$
$i$ это воображаемая единица .

Аналитическое решение этого интеграла быстро становится непрактично сложным для всех, кроме самых простых дифракционных геометрий. Следовательно, это обычно рассчитывается численно.

Приближение Френеля

Основной проблемой для решения интеграла является выражение r . Во -первых, мы можем упростить алгебру, введя замену $\rho ^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}.$

Заменив выражение для R , мы находим $r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}.$

Далее, биномиальным расширением, ${\sqrt {1+u}}=(1+u)^{\frac {1}{2}}=1+{\frac {u}{2}}-{\frac {u^{2}}{8}}+\cdots$

Мы можем выразить $r$ как ${\begin{aligned}r&=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}\\&=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]\\&=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots \end{aligned}}$

Если мы рассмотрим все условия биномиальных серий, то нет приближения. ^{[ 5 ]} Давайте заменим это выражение в аргумент экспоненты в интеграле; Ключ к приближению Френеля состоит в том, чтобы предположить, что третий член очень мал и может быть проигнорирован, и отныне любые более высокие порядки. Чтобы сделать это возможным, он должен внести свой вклад в изменение экспоненты для почти нулевого термина. Другими словами, он должен быть намного меньше, чем период сложной экспоненциальной, т.е. $2\pi$ : $k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi .$

Выражая k с точки зрения длины волны, $k={\frac {2\pi }{\lambda }},$

Мы получаем следующие отношения: ${\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8.$

Умножение обеих сторон на $z^{3}/\lambda ^{3},$ у нас есть ${\frac {\rho ^{4}}{\lambda ^{4}}}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}},$

или заменить более раннее выражение на $\rho ^{2},$ ${\frac {1}{\lambda ^{4}}}\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right]^{2}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}}.$

Если это условие сохраняется для всех значений $x$ , $x '$ , $y$ и $y'$ , то мы можем игнорировать третий член в выражении Тейлора. Кроме того, если третий член незначителен, то все условия более высокого порядка будут еще меньше, поэтому мы также можем игнорировать их.

Для применений, включающих оптические длины волны, длина волны $λ$ , как правило, составляет много порядков меньше, чем соответствующие физические измерения. В частности, $\lambda \ll z,$

и $\lambda \ll \rho .$

Таким образом, по практическому вопросу, необходимое неравенство всегда будет верно, пока $\rho \ll z.$

Затем мы можем аппроксимировать выражение только с первыми двумя терминами: $r\approx z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}.$

Это уравнение является приближением Френеля , а неравенство, указанное выше, является условием достоверности приближения.

Дифракция Френеля

Условие достоверности довольно слабое, и оно позволяет всем параметрам длины принимать сопоставимые значения, при условии, что апертура невелика по сравнению с длиной пути. Для $r$ в знаменателе мы идем на шаг дальше и приблизим его только к первым сроком, $r\approx z.$ Это действительно, в частности, если мы заинтересованы в поведении поля только в небольшой области, близкой к началу, где значения $x$ и $y$ намного меньше $z$ . В целом, дифракция Френеля действительна, если номер Френеля составляет приблизительно 1.

Для дифракции Френеля электрическое поле в точке $(x,y,z)$ затем дается $E(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0)e^{{\frac {ik}{2z}}\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right]}\,dx'dy'.$

Это интеграл дифракции Френеля; Это означает, что, если аппроксимация Френеля действительна, пропагандирующее поле представляет собой сферическую волну, возникающую в апертуре и движущееся $Z.$ по Интеграл модулирует амплитуду и фазу сферической волны. Аналитическое решение этой экспрессии все еще возможна только в редких случаях. Для дальнейшего упрощенного случая, действительный только для гораздо больших расстояний от источника дифракции, см. Дифракцию Fraunhofer . В отличие от дифракции Fraunhofer, дифракция Френеля учитывает кривизну волнового фронта , чтобы правильно рассчитать относительную фазу мешающих волн.

Альтернативные формы

Сверток

Интеграл может быть выражен другими способами, чтобы рассчитать его с помощью некоторых математических свойств. Если мы определим функцию $h(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})},$

тогда интеграл может быть выражен с точки зрения свертки : $E(x,y,z)=E(x,y,0)*h(x,y,z);$

Другими словами, мы представляем распространение, используя моделирование линейного фильтра. Вот почему мы могли бы назвать функцию $h(x,y,z)$ Импульсная реакция распространения свободного пространства.

Фурье преобразование

Еще один возможный способ - через преобразование Фурье . Если в интеграле мы выражаем $k$ с точки зрения длины волны: $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$

и разверните каждый компонент поперечного смещения: ${\begin{aligned}\left(x-x'\right)^{2}&=x^{2}+x'^{2}-2xx',\\\left(y-y'\right)^{2}&=y^{2}+y'^{2}-2yy',\end{aligned}}$

Затем мы можем выразить интеграл с точки зрения двумерного преобразования Фурье. Давайте воспользуемся следующим определением: $G(p,q)={\mathcal {F}}\{g(x,y)\}\equiv \iint _{-\infty }^{\infty }g(x,y)e^{-i2\pi (px+qy)}\,dx\,dy,$

где $P$ и $Q$ - пространственные частоты ( волновые средства ). Интеграл Френеля может быть выражен как ${\begin{aligned}E(x,y,z)&=\left.{\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x^{2}+y^{2})}{\mathcal {F}}\left\{E(x',y',0)e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x'^{2}+y'^{2})}\right\}\right|_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}\\&=h(x,y)\cdot G(p,q){\big |}_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}.\end{aligned}}$

То есть сначала умножьте поле, которое будет распространено на сложную экспоненциальную, рассчитайте его двумерное преобразование Фурье, заменить $(p,q)$ с $\left({\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}\right)$ и умножьте его другим фактором. Это выражение лучше, чем другие, когда процесс приводит к известному преобразованию Фурье, и связь с преобразованием Фурье затягивается в линейном каноническом преобразовании , обсуждаемой ниже.

Линейное каноническое преобразование

С точки зрения линейного канонического преобразования , дифракция Френеля может рассматриваться как сдвиг в домене времени , соответствующей тому, как преобразование Фурье является вращением в домене времени.

Смотрите также

Примечания

^ Родился, Макс ; Вольф, Эмиль (1999). Принципы оптики (7 -е изд.). Кембридж: издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-642221 .
^ H. Oberst, D. Kouznetsov, K. Shimizu, J. Fujita, F. Shimizu. Френельное дифракционное зеркало для атомной волны , Письма о физическом обзоре , 94 , 013203 (2005).
^ Свет , Ричард С. Маклаурин, 1909, издательство Колумбийского университета.
^ Оптика , Фрэнсис Уэстон Сирс, с. 248ff, Аддисон-Уэсли, 1948.
^ На самом деле было приближение на предыдущем шаге, когда предполагал $e^{ikr}/r$ настоящая волна. На самом деле, это не реальное решение векторного уравнения Гельмгольца , а скалярного. См. Скалярное приближение волны .

Ссылки

Гудман, Джозеф В. (1996). Введение в оптику Фурье . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . ISBN 0-07-024254-2 .

[1] Родился, Макс ; Вольф, Эмиль (1999). Принципы оптики (7 -е изд.). Кембридж: издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-642221 .

[2] H. Oberst, D. Kouznetsov, K. Shimizu, J. Fujita, F. Shimizu. Френельное дифракционное зеркало для атомной волны , Письма о физическом обзоре , 94 , 013203 (2005).

[3] Свет , Ричард С. Маклаурин, 1909, издательство Колумбийского университета.

[4] Оптика , Фрэнсис Уэстон Сирс, с. 248ff, Аддисон-Уэсли, 1948.

[5] На самом деле было приближение на предыдущем шаге, когда предполагал $e^{ikr}/r$ настоящая волна. На самом деле, это не реальное решение векторного уравнения Гельмгольца , а скалярного. См. Скалярное приближение волны .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]