Дифференцируемая мера

В функциональном анализе и теории меры дифференцируемая мера — это мера , имеющая понятие производной . Теория дифференцируемой меры была введена российским математиком Сергеем Фоминым и предложена на Международном конгрессе математиков в 1966 году в Москве как бесконечномерный аналог теории распределений . Помимо понятия производной меры Сергея Фомина, существует еще понятие Анатолия Скорохода , один Серджио Альбеверио и Рафаэля Хёг-Крона , а другой Олега Смолянова и Генриха фон Вайцзеккера .

Дифференцируемая мера

Позволять

• $X$ быть реальным векторным пространством ,
• ${\mathcal {A}}$ — σ-алгебра, инвариантная относительно переноса векторами $h\in X$, то есть $A+th\in {\mathcal {A}}$ для всех $A\in {\mathcal {A}}$ и $t\in \mathbb {R}$.

Эта установка является довольно общей, поскольку для большинства определений необходимы только линейность и измеримость. Но обычно выбирают $X$ быть реальным Хаусдорфовым локально выпуклым пространством с борелевской или цилиндрической σ-алгеброй ${\mathcal {A}}$.

Для меры $\mu$ позволять $\mu _{h}(A):=\mu (A+h)$ обозначим сдвинутую меру через $h\in X$.

Fomin differentiability

Мера $\mu$ на $(X,{\mathcal {A}})$ дифференцируем ли Фомин вдоль $h\in X$ если для каждого набора $A\in {\mathcal {A}}$ предел

$d_{h}\mu (A):=\lim \limits _{t\to 0}{\frac {\mu (A+th)-\mu (A)}{t}}$

существует. Мы звоним $d_{h}\mu$ Фомина производная от $\mu$.

Эквивалентно для всех наборов $A\in {\mathcal {A}}$ является $f_{\mu }^{A,h}:t\mapsto \mu (A+th)$ дифференцируемый в $0$.

Характеристики

• Производная Фомина – это опять же другая мера, абсолютно непрерывная по отношению к $\mu$.
• Дифференцируемость Фомина можно непосредственно распространить на знаковые меры .
• Высшие и смешанные производные будут определяться индуктивно. $d_{h}^{n}=d_{h}(d_{h}^{n-1})$.

Дифференцируемость Скорохода

Позволять $\mu$ — мера Бэра и пусть $C_{b}(X)$ — пространство ограниченных и непрерывных функций на $X$.

$\mu$ дифференцируема по Скороходу (или S-дифференцируема ) вдоль $h\in X$ если мера Бэра $\nu$ существует такое, что для всех $f\in C_{b}(X)$ предел

$\lim \limits _{t\to 0}\int _{X}{\frac {f(x-th)-f(x)}{t}}\mu (dx)=\int _{X}f(x)\nu (dx)$

существует.

В обозначениях смены

$\lim \limits _{t\to 0}\int _{X}{\frac {f(x-th)-f(x)}{t}}\mu (dx)=\lim \limits _{t\to 0}\int _{X}f\;d\left({\frac {\mu _{th}-\mu }{t}}\right).$

Мера $\nu$ называется производной Скорохода (или S-производной или слабой производной ) $\mu$ вдоль $h\in X$ и является уникальным.

Дифференцируемость Альбеверио-Хёга-Крона

Мера $\mu$ дифференцируема ли Альбеверио-Хёга-Крона (или дифференцируема AHK ) вдоль $h\in X$ если мера $\lambda \geq 0$ существует такое, что

1. $\mu _{th}$ абсолютно непрерывен относительно $\lambda$ такой, что $\lambda _{th}=f_{t}\cdot \lambda$,
2. карта $g:\mathbb {R} \to L^{2}(\lambda ),\;t\mapsto f_{t}^{1/2}$ является дифференцируемым.

Характеристики

• Дифференцируемость AHK также можно распространить на знаковые меры.

Пример

Позволять $\mu$ быть мерой с непрерывно дифференцируемой плотностью Радона-Никодима $g$, то производная Фомина равна

$d_{h}\mu (A)=\lim \limits _{t\to 0}{\frac {\mu (A+th)-\mu (A)}{t}}=\lim \limits _{t\to 0}\int _{A}{\frac {g(x+th)-g(x)}{t}}\mathrm {d} x=\int _{A}g'(x)\mathrm {d} x.$

Библиография

• Богачев, Владимир И. (2010). Дифференцируемые меры и исчисление Маллявена . Американское математическое общество. стр. 69–72. ISBN  978-0821849934 .
• Смолянов Олег Георгиевич; фон Вайцзекер, Генрих (1993). «Дифференцируемые семейства мер» . Журнал функционального анализа . 118 (2): 454–476. дои : 10.1006/jfan.1993.1151 .
• Богачев, Владимир И. (2010). Дифференцируемые меры и исчисление Маллявена . Американское математическое общество. стр. 69–72. ISBN  978-0821849934 .
• Фомин, Сергей Васильевич (1966). «Дифференциальные меры в линейных пространствах». Учеб. Межд. Конгресс математиков, с.5 . Межд. Конгресс математиков. Москва: Издат. Москва. унив.
• Куо, Хуэй-Сюн «Дифференцируемые меры». Китайский математический журнал 2, вып. 2 (1974): 189–99. JSTOR   43836023 .