Неравенство Корна

В математическом анализе неравенство Корна — это неравенство относительно градиента , векторного поля которое обобщает следующую классическую теорему: если градиент векторного поля кососимметричен в каждой точке, то градиент должен быть равен постоянной кососимметричной матрица. Теорема Корна представляет собой количественную версию этого утверждения, которая интуитивно говорит, что если градиент векторного поля находится в среднем недалеко от пространства кососимметричных матриц, то градиент не должен находиться далеко от конкретной кососимметричной матрицы. Таким образом, утверждение о том, что неравенство Корна является обобщением, возникает как частный случай жесткости .

В ( линейной ) теории упругости симметричная часть градиента является мерой деформации , которую испытывает упругое тело, когда оно деформируется заданной векторной функцией. Таким образом, неравенство является важным инструментом в качестве априорной оценки в линейной теории упругости.

Формулировка неравенства

Пусть Ω — открытая связная область в n - мерном евклидовом пространстве R ^н , п ≥ 2 . Пусть Н ¹ (Ω) — пространство Соболева всех векторных полей v = ( v ¹ , ...,  v ^н ) на Ω , которые вместе со своими (первыми) слабыми производными лежат в пространстве Лебега L ² (Ом) . Обозначая частную производную по i ^й компонента на ∂ _i , норма в H ¹ (Ом) определяется выражением

$\|v\|_{H^{1}(\Omega )}:=\left(\int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}|v^{i}(x)|^{2}\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }\sum _{i,j=1}^{n}|\partial _{j}v^{i}(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\right)^{1/2}.$

Тогда существует (минимальная) константа , такая , что для C ≥ 0, известная как константа Корна Ω всех v ∈ H ¹ (Ой) ,

$\|v\|_{H^{1}(\Omega )}^{2}\leq C\int _{\Omega }\sum _{i,j=1}^{n}\left(|v^{i}(x)|^{2}+|(e_{ij}v)(x)|^{2}\right)\,\mathrm {d} x$ ( 1 )

где e обозначает симметризованный градиент, определяемый формулой

$e_{ij}v={\frac {1}{2}}(\partial _{i}v^{j}+\partial _{j}v^{i}).$

Неравенство (1) известно как неравенство Корна .

См. также

• Неравенство Харди
• Неравенство Пуанкаре

Ссылки

• Чоранеску, Дойна; Олейник Ольга Арсеньевна ; Тронель, Жерар (1989), «О неравенствах Корна для структур и соединений рамочного типа» , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences , Серия I: Mathématiques, 309 (9): 591–596, MR   1053 , стр.   2355-350 . .
• Хорган, Корнелиус О. (1995), «Неравенства Корна и их приложения в механике сплошных сред», SIAM Review , 37 (4): 491–511, doi : 10.1137/1037123 , ISSN   0036-1445 , MR   1368384 , Zbl   0840.73010 .
• Олейник Ольга Арсеньевна ; Кондратьев, Владимир Александрович (1989), «О неравенствах Корна» , Еженедельные отчеты сессий Академии наук , Серия I: Математика, 308 (16): 483–487, МР   0995908 , Збл   0698.35067 .
• Олейник, Ольга А. (1992), «Неравенства типа Корна и приложения к эластичности», в Амальди, Э .; Америо, Л .; Фичера, Г .; Грегори, Т.; Гриоли, Г .; Мартинелли, Э .; Монталенти, Г.; Пиньедоли, А. ; Сальвини, Джорджо ; Скорца Драгони, Джузеппе (ред.), Международная конференция памяти Вито Вольтерры (8–11 октября 1990 г.) , Труды конференций Линчеи (на итальянском языке), том. 92, Рим: Национальная академия Линчеи , стр. 183–209, ISSN   0391-805X , MR   1783034 , Zbl   0972.35013 , заархивировано из оригинала 07 января 2017 г. , получено 27 июля 2014 г.

Внешние ссылки

• Войцеховский, М.И. (2001) [1994], «Неравенство Корна» , Энциклопедия математики , EMS Press