Лемма Рохлина

Не путать с теоремой Рохлина .

В математике лемма Рохлина , или лемма Какутани–Рохлина, является важным результатом эргодической теории . Он утверждает, что апериодическую меру, сохраняющую динамическую систему, можно разложить на произвольную высокую башню измеримых множеств и остаток сколь угодно малой меры. Это было доказано Владимиром Абрамовичем Рохлиным и независимо Шизуо Какутани . Лемма широко используется в эргодической теории, например в теории Орнштейна , и имеет множество обобщений.

Лемма Рохлина принадлежит к группе математических утверждений, таких как лемма Цорна в теории множеств и лемма Шварца в комплексном анализе, которые традиционно называются леммами, несмотря на то, что их роль в соответствующих областях фундаментальна.

Терминология

Пространство Лебега — это пространство с мерой. $(X,{\mathcal {B}},\mu )$ состоит из двух частей. Одна атомная часть с конечным/счетным числом атомов и одна континуальная часть, изоморфная интервалу на ${\textstyle \mathbb {R} }$.

Мы рассматриваем только отображения, сохраняющие меру . Как это типично для теории меры, мы можем свободно отбрасывать счетное множество множеств нулевой меры.

— Эргодическое отображение это отображение $T$ такое, что если $T^{-1}(A)=A$ (кроме набора с нулевой мерой), тогда $A$ или $X-A$ имеет меру ноль.

Апериодическое отображение — это отображение, в котором множество периодических точек имеет нулевую меру: $$\mu (\cup _{n\geq 1}\{x=T^{n}x\})=0$$Рохлинская башня — семейство комплектов. ${\textstyle S,TS,\dots ,T^{N-1}S}$ которые не пересекаются. ${\textstyle S}$ называется основанием башни, и каждая ${\textstyle T^{n}S}$ это ступенька или уровень башни. ${\textstyle N}$ это высота башни. Сама башня представляет собой $R:=(S\cup TS\cup \dots \cup T^{N-1}S)$. Декорации снаружи башни ${\textstyle X-R}$ это набор ошибок .

Имеется несколько лемм Рохлина . В каждом из них утверждается, что при некоторых предположениях мы можем построить башни Рохлина произвольной высоты со сколь угодно малыми наборами ошибок.

Теоремы

(эргодический) — Если ${\textstyle T}$ эргодична и пространство содержит множества сколь угодно малых размеров, то можно построить башни Рохлина.

(апериодический) — Если ${\textstyle T}$ апериодично, пространство Лебега и имеет меру 1, то мы можем построить башни Рохлина.

(апериодическая, обратимая, независимая база) — Предположим, что ${\textstyle T}$ апериодично и обратимо, пространство Лебега и имеет меру 1.

Учитывая любой раздел ${\textstyle X}$ на конечное число событий ${\textstyle P:=\{P_{0},P_{1},\dots ,P_{K-1}\}}$, мы можем построить башни Рохлина, где каждый уровень вероятностно не зависит от перегородки.

Приложения

Лемму Рохлина можно использовать для доказательства некоторых теорем. Например, (раздел 2.5 )

Теорема о счетном генераторе   (Рохлин, 1965) . Дана динамическая система в пространстве Лебега меры 1, где ${\textstyle T}$ обратим и сохраняет меру, он изоморфен стационарному процессу в счетном алфавите.

(раздел 4.6 )

Теорема Кригера о конечном генераторе   (Кригер 1970) - Дана динамическая система в пространстве Лебега меры 1, где ${\textstyle T}$ обратима, сохраняет меру и эргодична.

Если его энтропия меньше $\ln k$, то система порождается разбиением на $k$ подмножества.

Теорема Орнштейна об изоморфизме (глава 6 ).

Топологические леммы Рохлина.

Позволять $\textstyle (X,T)$ быть топологической динамической системой, состоящей из компактного метрического пространства $\textstyle X$ и гомеоморфизм $\textstyle T:X\rightarrow X$. Топологическая динамическая система $\textstyle (X,T)$ называется минимальным, если оно не имеет собственных непустых замкнутых $\textstyle T$-инвариантные подмножества. Он называется (топологически) апериодическим , если он не имеет периодических точек ( $T^{k}x=x$ для некоторых $x\in X$ и $k\in \mathbb {Z}$ подразумевает $k=0$). Топологическая динамическая система $\textstyle (Y,S)$ называется фактором ​ $\textstyle (X,T)$ если существует непрерывное сюръективное отображение $\textstyle \varphi :X\rightarrow Y$ что является эквивариантным , т. е. $\textstyle \varphi (Tx)=S\varphi (x)$ для всех $\textstyle x\in X$.

Илон Линденштраусс доказал следующую теорему:

Теорема: Пусть $\textstyle (X,T)$ быть топологической динамической системой, имеющей апериодический минимальный фактор. Тогда для целого числа $\textstyle n\in \mathbb {N}$ существует непрерывная функция $\textstyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ такой, что набор $\textstyle E=\{x\in X\mid f(Tx)\neq f(x)+1\}$ удовлетворяет $\textstyle E,TE,\ldots ,T^{n-1}E$ попарно не пересекаются.

Гутман доказал следующую теорему:

Теорема: Пусть $(X,T)$ — топологическая динамическая система, имеющая апериодический фактор со свойством малой границы . Тогда для каждого $\varepsilon >0$, существует непрерывная функция $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ такой, что набор $\textstyle E=\{x\in X\mid f(Tx)\neq f(x)+1\}$ удовлетворяет $\operatorname {ocap} (\textstyle E)<\varepsilon$, где $\operatorname {ocap}$ обозначает пропускную способность орбиты .

Другие обобщения

• Существуют версии для необратимых преобразований, сохраняющих меру.
• Дональд Орнштейн и Бенджамин Вайс доказали версию о свободных действиях счетных дискретных аменабельных групп.
• Карл Линдерхольм доказал версию для периодических неособых преобразований.

Доказательства

Доказательства взяты из.

Полезные результаты

Предложение. Эргодическое отображение на безатомном пространстве Лебега апериодично.

Доказательство. Если отображение не апериодическое, то существует число ${\textstyle n}$, такой, что множество периодических точек периода ${\textstyle n}$ имеет положительную меру. Вызов набора ${\textstyle S}$. Поскольку мера сохраняется, точки вне ${\textstyle S}$ не отображайте ни его, ни наоборот. Поскольку пространство безатомно, мы можем разделить ${\textstyle S}$ на две половины и ${\textstyle T}$ отображает каждое в себя, поэтому ${\textstyle T}$ не является эргодичным.

Предложение. Если в пространстве Лебега меры 1 существует апериодическое отображение, то это пространство безатомно.

Доказательство. Если атомы существуют, то благодаря сохранению меры каждый атом может отображаться только в другой атом большей или равной меры. Если он преобразуется в атом большей меры, он будет истощать меру из более легких атомов, поэтому каждый атом отображается в другой атом равной меры. Поскольку пространство имеет конечную общую меру, существует только конечное число атомов определенной меры, и в конечном итоге они должны вернуться к началу.

Предложение. Если ${\textstyle T}$ эргодично, то любое множество ${\textstyle A>0}$ удовлетворяет (вплоть до нулевого набора) $$X=\cup _{k\geq 0}T^{k}A=\cup _{k\leq 0}T^{k}A$$Доказательство. ${\textstyle T^{-1}(\cup _{k\leq 0}T^{k}A)}$ является подмножеством ${\textstyle \cup _{k\leq 0}T^{k}A}$, поэтому по сохранению меры они равны. Таким образом ${\textstyle \cup _{k\leq 0}T^{k}A}$ является фактором ${\textstyle T}$, и поскольку он содержит ${\textstyle A>0}$, это все ${\textstyle X}$.

Сходным образом, ${\textstyle T(\cup _{k\leq 0}T^{k}A)}$ является подмножеством ${\textstyle \cup _{k\leq 0}T^{k}A}$, поэтому по сохранению меры они равны и т. д.

Эргодический случай

Позволять ${\textstyle A}$ быть набором мер ${\textstyle <\epsilon }$. С ${\textstyle T}$ является эргодическим, ${\textstyle X=\cup _{k\leq 0}T^{k}A}$, практически любая точка рано или поздно попадает в ${\textstyle A}$. Итак, мы определяем функцию «время до прибытия»: $$f(x):=\min\{n\geq 0:T^{n}x\in A\}$$ с ${\textstyle f(x):=+\infty }$ если ${\textstyle x}$ никогда не попадает в ${\textstyle A}$. Набор ${\textstyle \{f(x)=+\infty \}}$ является нулевым.

Теперь позвольте ${\textstyle S=\{x:f(x)\in \{N,2N,3N,\dots \}\}}$.

Апериодический случай

Упрощать

Согласно предыдущему предложению, $X$ безатомен, поэтому мы можем сопоставить его с единичным интервалом ${\textstyle (0,1)}$.

Если мы сможем выбрать околонулевой набор с почти полным покрытием, а именно с некоторыми ${\textstyle A=O(\epsilon )}$ такой, что ${\textstyle X-\cup _{k\in \mathbb {Z} }T^{k}A=O(\epsilon )}$, то существует некоторый ${\textstyle n}$, такой, что ${\textstyle X-\cup _{k\leq n}T^{k}A=O(\epsilon )}$, и поскольку $T^{-i}(T^{n}A)\supset T^{n-i}A$ для каждого $i=0,1,2,\dots$, у нас есть $$X-\cup _{k\leq 0}T^{k}(T^{n}A)=O(\epsilon )$$Теперь, повторяя предыдущую конструкцию с $T^{n}A$, получим башню Рохлина высотой ${\textstyle N}$ и охват ${\textstyle 1-O(\epsilon )}$.

Таким образом, наша задача сводится к выбору околонулевого множества с почти полным покрытием.

Построение А

Выбирать ${\textstyle M>1/\epsilon }$. Позволять ${\textstyle S}$ быть семейством множеств ${\textstyle A}$ такой, что ${\textstyle A,T^{-1}A,\dots ,T^{-M}A}$ непересекающиеся. С ${\textstyle T}$ сохраняет меру, любой ${\textstyle A\in S}$ имеет размер ${\textstyle <\epsilon }$.

Набор ${\textstyle S}$ непусто, потому что ${\textstyle \emptyset \in S}$. Он предзаказан пользователем ${\textstyle A<B}$ если только ${\textstyle \mu (B-A)=0}$. Любая полностью упорядоченная цепь имеет верхнюю границу. Таким образом, по простому рассуждению, подобному лемме Цорна , существует максимальный элемент ${\textstyle A}$ в этом. Это и есть желаемый набор.

Докажем от противного, что ${\textstyle X=\cup _{k\in \mathbb {Z} }T^{k}A}$. Предположим, что нет, тогда мы построим набор ${\textstyle I\cap E>0}$, непересекающийся с ${\textstyle A}$, такой, что ${\textstyle A\cup (I\cap E)\in S}$, что делает ${\textstyle A}$ уже не максимальный элемент, противоречие.

Построение Е

Поскольку мы предполагали ${\textstyle X-\cup _{k\in \mathbb {Z} }T^{k}A=\epsilon '>0}$, с положительной вероятностью, $x\not \in \cup _{k\in \mathbb {Z} }T^{k}A$.

С ${\textstyle T}$ является апериодическим, с вероятностью 1, $$(x\neq Tx)\wedge (x\neq T^{2}x)\wedge \dots \wedge (x\neq T^{M}x)$$И так, за достаточно небольшое ${\textstyle \delta }$, с вероятностью ${\textstyle >1-\epsilon '/2}$, $$(|x-Tx|>\delta )\wedge (|x-T^{2}x|>\delta )\wedge \dots \wedge (|x-T^{M}x|>\delta )$$И так, за достаточно небольшое ${\textstyle \delta }$, с вероятностью ${\textstyle >\epsilon '/2}$, эти два события происходят одновременно. Пусть событие будет ${\textstyle E}$.

показывать

Доказательство того, что E работает

Proof

Since ${\textstyle \mu (E)>0}$, there exists an interval ${\textstyle I}$ of length ${\textstyle <\delta }$ such that ${\textstyle \mu (E\cap I)>0}$.

By construction, ${\textstyle E}$ is disjoint from ${\textstyle A}$. It remains to check that the ${\textstyle 0:M}$ preimages of ${\textstyle A\cup (I\cap E)}$ are disjoint.

By construction, ${\textstyle E}$ is disjoint from ${\textstyle \cup _{k\in \mathbb {Z} }T^{k}A}$, so the preimages of ${\textstyle A}$ are disjoint from the preimages of ${\textstyle E\cap I}$.

Since ${\textstyle A\in S}$, the ${\textstyle 0:M}$ preimages of ${\textstyle A}$ are disjoint.

If the ${\textstyle 0:M}$ preimages of ${\textstyle E\cap I}$ are not disjoint, then there exists ${\textstyle 0\leq a<b\leq M,x\in X}$, such that ${\textstyle T^{a}x,T^{b}x\in I\cap E}$. In other words, there exists ${\textstyle 0\leq c\leq M,x\in X}$, such that ${\textstyle x,T^{c}x\in I\cap E}$.

However, by construction, ${\textstyle x\in E}$ implies ${\textstyle T^{c}x}$ is repelled by ${\textstyle x}$ to at least ${\textstyle \delta }$ distance away, so ${\textstyle T^{c}x\not \in I}$, contradiction.

Обратный корпус

Упрощать

Достаточно доказать случай, когда только основание башни вероятностно независимо от перегородки. Как только этот случай будет доказан, мы можем применить базовый случай к разделу ${\textstyle P\vee T^{-1}P\vee \dots \vee T^{-N+1}P}$.

Поскольку события с нулевой вероятностью можно игнорировать, мы рассматриваем только те разделы, где каждое событие ${\textstyle P_{k}}$ имеет положительную вероятность.

Цель – построить Рохлинскую башню. ${\textstyle R'}$ с базой ${\textstyle S'}$, такой, что $\mu (S'\cap P_{i})={\frac {1-\epsilon }{N}}\mu (P_{i})$ для каждого ${\textstyle i\in 0:K-1}$.

Символическая динамика

Учитывая раздел ${\textstyle P}$ и карта ${\textstyle T}$, мы можем проследить орбиту каждой точки ${\textstyle x}$ как строка символов ${\textstyle a_{0}(x),a_{1}(x),a_{2}(x),\dots }$, такой, что каждый ${\textstyle T^{i}x\in P_{a_{i}(x)}}$. То есть мы следуем ${\textstyle x}$ к ${\textstyle T^{i}x}$, затем проверьте, в каком разделе он оказался, и запишите имя этого раздела как ${\textstyle a_{i}(x)}$.

Учитывая любую рохлинскую башню высоты ${\textstyle N}$, мы можем взять его базу ${\textstyle S}$, и разделим его на ${\textstyle K^{N}}$ классы эквивалентности . Эквивалентность определяется следующим образом: два элемента эквивалентны тогда и только тогда, когда их имена имеют одно и то же имя. ${\textstyle N}$ символы.

Позволять ${\textstyle E\subset S}$ быть одним из таких классов эквивалентности, то мы называем ${\textstyle E,TE,\dots ,T^{N-1}E}$ колонна . Рохлинской башни

За каждое слово ${\textstyle a_{0:N-1}\in (0:K-1)^{N}}$, пусть соответствующий класс эквивалентности будет ${\textstyle E_{a}}$.

С ${\textstyle T}$ обратимый, колонны разделяют башню. Можно представить башню из сырной нити , разрезав основание башни на ${\textstyle K^{N}}$ классы эквивалентности, а затем разбить их на ${\textstyle K^{N}}$ столбцы.

Первая Рохлинская башня R

Позволять ${\textstyle \delta \ll \epsilon }$ быть очень маленьким, и пусть ${\textstyle M\gg N}$ быть очень большим. Постройте башню Рохлина с ${\textstyle M}$ уровни и набор ошибок размера ${\textstyle \delta }$. Пусть его основанием будет ${\textstyle S}$. Башня ${\textstyle R=S\cup TS\cup \dots \cup T^{M-1}S}$ имеет массу ${\textstyle 1-\delta }$.

Разделим его основу на ${\textstyle K^{N}}$ классы эквивалентности, как описано ранее. Это делит его на ${\textstyle K^{N}}$ столбцы ${\textstyle \{E_{a}\}_{a}}$ где ${\textstyle a}$ охватывает возможные слова ${\textstyle (0:K-1)^{N}}$.

Из-за того, как мы определили классы эквивалентности, каждый уровень в каждом столбце ${\textstyle T^{n}E_{a}}$ полностью попадает в один из разделов ${\textstyle P_{0},\dots ,P_{K-1}}$. Таким образом, уровни столбцов ${\textstyle \{T^{n}E_{a}\}_{a,n}}$ почти доделал доработку раздела ${\textstyle P}$, за исключением набора ошибок размером ${\textstyle \delta }$.

То есть, $$\mu (R\cap P_{i})=\sum _{a\in (0:K-1)^{N},\;n\in 0:M-1}\mu (T^{n}E_{a})=\mu (P_{i})+O(\delta )$$Критическая идея: если мы разделим каждую ${\textstyle T^{n}E_{a}}$ поровну в ${\textstyle N}$ части, и вставить одну в новое основание башни Рохлина ${\textstyle S'}$, у нас будет $$\mu (S'\cap P_{i})={\frac {1}{N}}\mu (P_{i})+O(\delta )$$

Вторая Рохлинская башня Р'

Теперь строим новую базу ${\textstyle S'}$ следующим образом: Для каждого столбца на основе ${\textstyle E_{a}}$, добавить в ${\textstyle S'}$, в виде лестницы, наборы $$E_{a,0},TE_{a,1},\dots ,T^{N-1}E_{a,N-1}$$затем вернитесь к началу: $$T^{N}E_{a,0},T^{N+1}E_{a,1},\dots ,T^{2N-1}E_{a,N-1}$$и так далее, пока столбец не исчерпается. Новый фундамент Рохлинской башни ${\textstyle S'}$ почти правильно, но его нужно немного урезать в другой набор $S''$, который удовлетворил бы $\mu (S''\cap P_{i})={\frac {1-\epsilon }{N}}\mu (P_{i})$ для каждого ${\textstyle i\in 0:K-1}$, завершаем строительство. (Только теперь мы используем предположение, что существует только конечное число разделов. Если разделов счетное число, то обрезку выполнить невозможно.)

показывать

Обрезка нового основания башни Рохлина

The new Rokhlin tower ${\textstyle S',TS',\dots ,T^{N-1}S'}$, contains almost as much mass as the original Rokhlin tower. The only lost mass is due to a small corner on the top right and bottom left of each column, which takes up ${\textstyle \leq {\frac {2N^{2}}{MN}}}$ proportion of the whole column’s mass. If we set ${\textstyle M\gg N/\delta }$, this lost mass is still ${\textstyle O(\delta )}$. Thus, the new Rokhlin tower still has a very small error set.

Even after accounting for the mass lost from cutting off the column corners, we still have$${\begin{aligned}\mu (S'\cap P_{i})&={\frac {1}{N}}\mu (P_{i})+O(\delta )+O(\delta )\\&={\frac {1}{N}}\mu (P_{i})+O(\delta )\\&={\frac {1}{N}}\mu (P_{i})\times (1+O(N\delta /\mu (P_{i})))\quad \forall i=0,1,\dots ,K-1\end{aligned}}$$

Since there are only finitely many partitions, we can set ${\textstyle \delta =o({\frac {\epsilon }{N\min _{i}\mu (P_{i})}})}$, we then have$$\mu (S'\cap P_{i})={\frac {1}{N}}\mu (P_{i})\times (1+o(1)\epsilon )$$In other words, we have real numbers ${\textstyle c_{0},c_{1},\dots ,c_{K-1}=o(1)}$ such that $\mu (S'\cap P_{i})={\frac {1-c_{i}\epsilon }{N}}\mu (P_{i})$.

Now for each column ${\textstyle i=0,1,\dots ,K-1}$, trim away a part of ${\textstyle S'\cap P_{i}}$ into ${\textstyle S''\cap P_{i}}$, so that $\mu (S''\cap P_{i})={\frac {1-\epsilon }{N}}\mu (P_{i})$. This finishes the construction.

Примечания

• Vladimir Rokhlin . A "general" measure-preserving transformation is not mixing . Doklady Akademii Nauk SSSR (N.S.), 60:349–351, 1948.
• Шизуо Какутани . Индуцированные преобразования, сохраняющие меру . Учеб. Имп. акад. Токио, 19:635–641, 1943.
• Бенджамин Вайс . О работах В. А. Рохлина по эргодической теории . Эргодическая теория и динамические системы , 9(4):619–627, 1989.
• Исаак Корнфельд . Несколько старых и новых Рохлинских башен . Современная математика, 356:145, 2004.