Модель сферического коллапса

Модель сферического коллапса описывает эволюцию почти однородной материи в ранней Вселенной в коллапсирующие вириализованные структуры — гало темной материи . Эта модель предполагает, что гало имеют сферическую форму и в них преобладает гравитация, что приводит к аналитическому решению некоторых свойств гало, таких как плотность и радиус, с течением времени.

Концепция сферического коллапса была впервые разработана для описания падения материи в скопления галактик . В то время, в начале 1970-х годов, астрономические доказательства существования темной материи все еще собирались, и считалось, что во Вселенной доминирует обычная видимая материя. Однако сейчас считается, что темная материя является доминирующим видом материи.

Вывод и ключевые уравнения

Простейший сценарий формирования гало предполагает использование достаточно плотного сферического пятна, которое мы называем прото-гало (например, Descjacques et al. 2018). ранней Вселенной и проследить ее эволюцию под действием ее самогравитации. Как только протоореол разрушился и вириализовался, он стал ореолом.

Поскольку материя вне этой сферы сферически симметрична, мы можем применить теорему Ньютона или теорему Биркгофа (для более общего описания), так что внешние силы в среднем равны нулю, и мы можем рассматривать протогало как изолированное от остальной части Вселенной. . Протоореол имеет плотность $\rho$, масса $M$и радиус $r$ (данные в физических координатах ), которые связаны соотношением $\rho =M/(4\pi r^{3}/3)$.

Чтобы смоделировать коллапс сферической области, мы можем использовать закон Ньютона или второе уравнение Фридмана , давая

${\ddot {r}}^{2}=-{\frac {GM}{r^{2}}}~.$

При желании можно включить эффект ускоренного расширения Вселенной, но это субдоминантный эффект.

Приведенное выше уравнение допускает явное решение

$r(t)=r_{0}~Q\left(1-{\frac {t}{t_{\text{ff}}}};{\frac {3}{2}},{\frac {1}{2}}\right)~,$

где $r_{0}=r(0)$ - максимальный радиус, предположительно возникающий в момент времени $t=0$, и $Q(x;\alpha ,\beta )$ — функция квантиля бета -распределения , также известная как обратная функция регуляризованной неполной бета-функции. $I_{x}(\alpha ,\beta )$. Время

$t_{\text{ff}}=\pi {\sqrt {\frac {r_{0}^{3}}{8GM}}}={\sqrt {\frac {3\pi }{32G\rho _{0}}}}~,$

– время свободного падения , где $r(t_{\text{ff}})=0$.

Задолго до получения этого явного решения было известно, что уравнение сферического коллапса допускает параметрическое решение

$r(\theta )=A(1-\cos \theta )~,\qquad t(\theta )=B(\theta -\sin \theta )~,$

по параметру $\theta$. Происхождение времени, $t=0$, теперь происходит при исчезающем радиусе, а время увеличивается с увеличением $\theta$. Коэффициенты $A,B$ определяются энергетическим содержанием сферы (ср. уравнение 5.89 в работе Додельсона и др.). Первоначально сфера расширяется со скоростью Вселенной ( $\theta =0$), но потом тормозит, разворачивается( $\theta =\pi$), и в конечном итоге разрушается ( $\theta =2\pi$).

Если мы разделим плотность на фон ${\bar {\rho }}$ и возмущение $\delta$ к $\rho (\theta )={\bar {\rho }}\left[1+\delta (\theta )\right]$, мы можем найти полностью нелинейное возмущение

$1+\delta ={\frac {9}{2}}{\frac {(\theta -\sin \theta )^{2}}{(1-\cos \theta )^{3}}}~.$

Изначально $\delta =0$, в точке поворота $\delta \approx 4.55$, и при коллапсе $\delta =\infty$.

Альтернативно, если рассматривать линейные возмущения или, что эквивалентно, малые времена $\theta \ll 1$, приведенное выше уравнение дает нам выражение для линейных возмущений

$\delta _{L}={\frac {3}{20}}\theta ^{2}~.$

Затем мы можем экстраполировать линейное возмущение на нелинейные режимы (подробнее о полезности этого ниже). На повороте $\delta _{L}=1.06$ и при коллапсе мы получаем порог сферического коллапса

$\delta _{L}\approx 1.69~.$

Хотя гало физически не имеет сверхплотности 1,69 при коллапсе, вышеуказанный порог коллапса, тем не менее, полезен. Это говорит нам о том, что если мы смоделируем начальное (линейное) поле плотности и экстраполируем в будущее, где бы $\delta _{L}\geq 1.69$ можно представить как коллапсирующую область, которая образует ореол.

См. также

• Формирование и эволюция галактик
• Формализм Пресса – Шехтера - математическая модель, используемая для прогнозирования количества гало темной материи определенной массы.