Нормальный многогранник

В математике , особенно в комбинаторной коммутативной алгебре , выпуклый решетчатый многогранник P называется нормальным , если он обладает следующим свойством: для любого положительного целого числа n каждая точка решетки расширения nP получена из P путем масштабирования его вершин в коэффициент n и взяв выпуклую оболочку полученных точек, можно записать как сумму ровно n точек решетки в P . Это свойство играет важную роль в теории торических многообразий , где оно соответствует проективной нормальности торического многообразия, П. определенного Нормальные многогранники популярны в алгебраической комбинаторике. Эти многогранники также представляют собой однородный случай базисов Гильберта конечных положительных рациональных конусов, и их связь с алгебраической геометрией заключается в том, что они определяют проективно нормальные вложения торических многообразий.

Определение

Позволять $P\subset \mathbb {R} ^{d}$ быть решетчатым многогранником . Позволять $L\subseteq \mathbb {Z} ^{d}$ обозначим решетку (возможно, в подпространстве аффинном $\mathbb {R} ^{d}$ ), порожденный целочисленными точками в $P$ . Сдача в аренду $v$ — произвольная точка решетки в $P$ , это можно определить как

L=v+\sum _{x,y\in P\cap \mathbb {Z} ^{d}}\mathbb {Z} (x-y).

P является целозамкнутым, если выполняется следующее условие:

c\in \mathbb {N} ,z\in cP\cap \mathbb {Z} ^{d}\implies \exists x_{1},\ldots ,x_{c}\in P\cap \mathbb {Z} ^{d}

такой, что

x_{1}+\cdots +x_{c}=z

.

P является нормальным , если выполняется следующее условие:

c\in \mathbb {N} ,z\in cP\cap L\implies \exists x_{1},\ldots ,x_{c}\in P\cap L

такой, что

x_{1}+\cdots +x_{c}=z

.

Свойство нормальности инвариантно относительно аффинно-решеточных изоморфизмов решетчатых многогранников, а свойство целозамкнутости инвариантно относительно аффинной замены координат. Обратите внимание, что иногда в комбинаторной литературе разница между нормальными и целозамкнутыми размывается.

Примеры

Симплекс в R ^к с вершинами в начале координат и вдоль единичных координатных векторов нормально. унимодулярные симплексы — это наименьшие многогранники в мире нормальных многогранников. После унимодулярных симплексов решетчатые параллелепипеды являются простейшими нормальными многогранниками.

Для любого решетчатого многогранника P и $c\in \mathbb {N}$ , $c \geq dimP-1$ сП в норме.

Все многоугольники или двумерные многогранники нормальны.

Если A — полностью унимодулярная матрица , то выпуклая оболочка вектор-столбцов в A является нормальным многогранником.

нормальный Многогранник Биркгофа . Это легко доказать с помощью теоремы Холла о браке . На самом деле многогранник Биркгофа сжат, что является гораздо более сильным утверждением.

Известно, что многогранники всех порядков являются сжатыми. Отсюда следует, что эти многогранники нормальны. ^{[ 1 ]}

Характеристики

Решетчатый многогранник является целозамкнутым тогда и только тогда, когда он нормальный и L является прямым слагаемым многогранника. $\mathbb {Z}$ ^д.
Нормальный многогранник можно превратить в полномерный целозамкнутый многогранник, изменив решетку отсчета с $\mathbb {Z}$ ^д к L и окружающему евклидову пространству $\mathbb {R}$ ^д в подпространство $\mathbb {R}$ Л.
Если решетчатый многогранник можно разбить на нормальные многогранники, то он также является нормальным.
Если решетчатый многогранник в размерности d имеет длину решетки больше или равную 4 d ( d + 1), то многогранник является нормальным.
Если P нормальный и φ : $\mathbb {R}$ ^д → $\mathbb {R}$ ^д является аффинным отображением с φ( $\mathbb {Z}$ ^д) = $\mathbb {Z}$ ^д тогда φ ( P ) нормальна.
Каждая k -мерная грань нормального многогранника нормальна.

Предложение

П ⊂ $\mathbb {R}$ ^д решетчатый многогранник. Пусть C( P )= $\mathbb {R}$ ₊ ( П ,1) ⊂ $\mathbb {R}$ ^{д +1} следующие эквивалентны:

П в норме.
Базис Гильберта C( P ) ∩ $\mathbb {Z}$ ^{д +1} = ( P ,1) ∩ $\mathbb {Z}$ ^{д +1}

Обратно, для полномерного рационального заостренного конуса C ⊂ $\mathbb {R}$ ^д если базис Гильберта C ∩ $\mathbb {Z}$ ^д находится в гиперплоскости H ⊂ $\mathbb {R}$ ^д (dim H = d − 1). Тогда C ∩ H — нормальный многогранник размерности d − 1.

Отношение к нормальным моноидам

Любой сокращающийся коммутативный моноид M можно вложить в абелеву группу . Точнее, каноническое отображение M в его группу Гротендика K ( M ) является вложением. Определите нормализацию M как множество

\{x\in K(M)\mid nx\in M,\ n\in \mathbb {N} \},

где nx здесь означает x, добавленный к самому себе n раз. Если М равно его нормировке, то мы говорим, что М — нормальный моноид . Например, моноид N ^н состоящий из n - наборов натуральных чисел, является нормальным моноидом с группой Гротендика Z ^н.

Для многогранника P ⊆ R ^к, поднимите P в R ^{к +1} так что он лежит в гиперплоскости x _k+1 = 1, и пусть C ( P ) — множество всех линейных комбинаций с неотрицательными коэффициентами точек из ( P ,1). Тогда C ( P ) — выпуклый конус ,

C(P)=\{\lambda _{1}({\textbf {x}}_{1},1)+\cdots +\lambda _{n}({\textbf {x}}_{n},1)\mid {\textbf {x}}_{i}\in P,\ \lambda _{i}\in \mathbb {R} ,\lambda _{i}\geq 0\}.

Если P следует — выпуклый решетчатый многогранник, то из леммы Гордана , что пересечение C ( P ) с решеткой Z ^{к +1} является конечно порожденным (коммутативным, сокращающимся) моноидом. Можно доказать, что P — нормальный многогранник тогда и только тогда, когда этот моноид нормальный.

Открытая проблема

Вопрос Оды: все ли гладкие многогранники целозамкнуты? ^{[ 2 ]}

Решетчатый многогранник называется гладким, если примитивные векторы ребер в каждой вершине многогранника определяют часть базиса многогранника. $\mathbb {Z}$ ^д. На данный момент каждый найденный гладкий многогранник имеет правильную унимодулярную триангуляцию. Известно, что с точностью до тривиальной эквивалентности существует лишь конечное число гладких $d$ -мерные многогранники с $n$ точки решетки для каждого натурального числа $n$ и $d$ . ^{[ 3 ]}

См. также

Примечания

^ Стэнли, Ричард П. (1986). «Два упорядоченных многогранника» . Дискретная и вычислительная геометрия . 1 (1): 9–23. дои : 10.1007/BF02187680 .
^ Ода, Тадао (1988). Выпуклые тела и алгебраическая геометрия . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Том 15. Спрингер Верлаг.
^ Богарт, Тристрам; Хаазе, Кристиан; Геринг, Милена; Лоренц, Бенджамин; Нилл, Бенджамин; Паффенхольц, Андреас; Роте, Гюнтер; Сантос, Франциско ; Шенк, Хэл (апрель 2015 г.). «Конечно много гладких $d$ -многогранники с $n$ точки решетки» . Израильский математический журнал . 207 (1): 301–329. arXiv : 1010.3887 . doi : 10.1007/s11856-015-1175-7 .

Ссылки

Эзра Миллер, Бернд Штурмфельс , Комбинаторная коммутативная алгебра . Тексты для выпускников по математике, 227. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2005. xiv+417 стр. ISBN 0-387-22356-8
Винфрид Брунс, Иосиф Губеладзе, препринт. Многогранники, кольца и К-теория
В. Брунс, Дж. Губеладзе и Н. В. Трунг, Нормальные многогранники, триангуляции и алгебры Кошуля, Дж. Рейн. Энджью. Математика 485 (1997), 123–160.

[Stanley86-1] Стэнли, Ричард П. (1986). «Два упорядоченных многогранника» . Дискретная и вычислительная геометрия . 1 (1): 9–23. дои : 10.1007/BF02187680 .

[2] Ода, Тадао (1988). Выпуклые тела и алгебраическая геометрия . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Том 15. Спрингер Верлаг.

[3] Богарт, Тристрам; Хаазе, Кристиан; Геринг, Милена; Лоренц, Бенджамин; Нилл, Бенджамин; Паффенхольц, Андреас; Роте, Гюнтер; Сантос, Франциско ; Шенк, Хэл (апрель 2015 г.). «Конечно много гладких $d$ -многогранники с $n$ точки решетки» . Израильский математический журнал . 207 (1): 301–329. arXiv : 1010.3887 . doi : 10.1007/s11856-015-1175-7 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]