Константы первичной линии

Первичные константы линии — это параметры, которые описывают характеристики проводящих линий передачи , таких как пары медных проводов, с точки зрения физических электрических свойств линии. Константы первичной линии относятся только к линиям передачи, и их следует противопоставлять константам вторичной линии , которые могут быть получены из них и применимы в более общем плане. Константы вторичной линии можно использовать, например, для сравнения характеристик волновода с медной линией, тогда как первичные константы не имеют значения для волновода.

Константы — это сопротивление и индуктивность проводника, а также емкость и проводимость изолятора, которые по соглашению обозначаются символами R , L , C и G соответственно. Константы нумеруются в единицах длины. Схематическое представление этих элементов требует модели с распределенными элементами , и, следовательно, математический анализ для анализа схемы необходимо использовать . Анализ дает систему двух одновременных линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка , которые можно объединить для получения вторичных констант характеристического импеданса и постоянной распространения .

Ряд частных случаев имеет особенно простые решения и важные практические приложения. Кабель с низкими потерями требует только L и C включения в анализ , что полезно для кабелей небольшой длины. В низкочастотных приложениях, таких как телефонные линии на витой паре , преобладают R и C. только высокочастотных приложениях, таких как , коаксиальный радиочастотный кабель преобладают L и C. В Линии , загруженные для предотвращения искажений, требуют для анализа всех четырех элементов, но имеют простое и элегантное решение.

Константы

Существует четыре основные константы линии, но в некоторых случаях некоторые из них достаточно малы, чтобы их можно было игнорировать и анализ можно упростить. Эти четыре, а также их символы и единицы измерения следующие:

Имя	Символ	Единицы	Символ единицы
контура сопротивление	Р	Ом на метр	Ом/м
контура индуктивность	л	генри на метр	Ч/м
изолятора емкость	С	фарады на метр	ж/м
изолятора проводимость	Г	Сименс на метр	См/м

R и L — элементы, включенные последовательно с линией (поскольку они являются свойствами проводника), а C и G — элементы, шунтирующие линию (поскольку они являются свойствами диэлектрического материала между проводниками). G представляет собой ток утечки через диэлектрик и в большинстве кабелей очень мал. Слово «петля» используется, чтобы подчеркнуть, что необходимо учитывать сопротивление и индуктивность обоих проводников. Например, если линия состоит из двух одинаковых проводов, сопротивление каждого из которых составляет 25 мОм/м, сопротивление контура будет вдвое больше — 50 мОм/м. Поскольку значения констант довольно малы, производители обычно указывают их на километр, а не на метр; в англоязычном мире также можно использовать «за милю». ^[1]^[2]

Слово «постоянный» может ввести в заблуждение. Это означает, что они являются материальными константами; но они могут меняться в зависимости от частоты. В частности, на R сильно влияет скин-эффект . Более того, хотя G практически не влияет на звуковую частоту , он может вызвать заметные потери на высоких частотах во многих диэлектрических материалах, используемых в кабелях, из-за высокого тангенса угла потерь . Избежание потерь, вызванных G, является причиной того, что многие кабели, предназначенные для использования в УВЧ, имеют воздушную или пенопластовую изоляцию (что делает их практически воздушными). ^[3] Фактический смысл константы в этом контексте заключается в том, что параметр остается постоянным в зависимости от расстояния . То есть линия считается однородной по длине. Это условие справедливо для подавляющего большинства используемых сегодня линий электропередачи. ^[4]

Типичные значения для некоторых распространенных кабелей

Обозначение	Форма кабеля	Приложение	Р	л ^†	Г	С	Я ₀
			Ом/км	мкГн/км	нс/км	нФ/км	Ой
КАТ5 ^[5]	Витая пара	Передача данных	176	490	<2	49	100
CAT5e ^[6]	Витая пара	Передача данных	176		<2		100
CW1308 ^[7]	Витая пара	Телефония	98		<20
РГ59 ^[8]	Коаксиальный	Видео	36	430		69	75
РГ59 ^[9]	Коаксиальный (пенный диэлектрик)	Видео	17	303		54	75
РГ58 ^[10]^[11]	Коаксиальный	Радиочастота	48	253	<0,01	101	50
Низкие потери ^[12]	Коаксиальный (Пенистый диэлектрик)	Радиочастота питание передатчика	2.86	188		75	50
DIN ВДЕ 0816 ^[13]	Звездный квадрат	Телефония ( магистральные линии)	31.8		<0,1	35

† Производители обычно не указывают значение индуктивности в своих технических характеристиках. Некоторые из этих значений оцениваются на основе значений емкости и характеристического импеданса по формуле

\scriptstyle {Z_{0}}^{2}=L/C

.

Представление схемы

Линейные константы нельзя просто представить как элементы с сосредоточенными параметрами в цепи; они должны быть описаны как распределенные элементы . Например, «куски» емкости находятся между «кусками» сопротивления. На сколько бы частей не были разбиты R и C , всегда можно утверждать, что их следует разбивать дальше, чтобы правильно представить схему, и после каждого деления количество ячеек в схеме увеличивается. Схематически это показано на рисунке 1. Чтобы дать верное представление о схеме, элементы необходимо сделать бесконечно малыми, чтобы каждый элемент был распределен вдоль линии. Бесконечно малые элементы на бесконечно малом расстоянии $\scriptstyle dx$ даны; ^[14]

dL=\lim _{\delta x\to 0}(L\delta x)=Ldx

dR=\lim _{\delta x\to 0}(R\delta x)=Rdx

dC=\lim _{\delta x\to 0}(C\delta x)=Cdx

dG=\lim _{\delta x\to 0}(G\delta x)=Gdx

Для целей анализа удобно объединить эти элементы в общие последовательные импеданса элементы Z и шунтирующего адмиттанса ; Y так, что

dZ=(R+i\omega L)dx=Zdx\,,

и,

dY=(G+i\omega C)dx=Ydx\,.

Анализ этой сети (рис. 2) даст константы вторичной линии: константу распространения , $\scriptstyle \gamma$ , ( действительная и мнимая части которого являются константой затухания , $\scriptstyle \alpha$ и константа фазового перехода , $\scriptstyle \beta$ соответственно) и характеристическое сопротивление , $\scriptstyle Z_{0}$ , что тоже, в общем-то, будет иметь реальные, $\scriptstyle R_{0}$ и воображаемое, $\scriptstyle X_{0}$ , части, в результате чего из четырех первичных констант получается четыре вторичных константы. Термин «константа» еще больше вводит в заблуждение в отношении вторичных констант, поскольку они обычно довольно сильно меняются с частотой, даже в идеальной ситуации, когда первичные константы этого не делают. Это связано с тем, что реактивные сопротивления в цепи ( $\scriptstyle \omega L$ и $\scriptstyle 1/(\omega C)$ ) вводят зависимость от $\scriptstyle \omega$ . Можно выбрать конкретные значения первичных констант, которые приводят к $\scriptstyle \alpha$ и $\scriptstyle Z_{0}$ быть независимым от $\omega$ ( условие Хевисайда ), но даже в этом случае все еще существует $\scriptstyle \beta$ что прямо пропорционально $\scriptstyle \omega$ . Как и в случае с первичными константами, значение слова «константа» заключается в том, что вторичные константы не меняются с расстоянием вдоль линии, а не в том, что они независимы от частоты. ^[14]^[15]^[16]

Характеристический импеданс

Характеристическое сопротивление линии передачи, $\scriptstyle Z_{0}$ , определяется как импеданс, если смотреть на бесконечно длинную линию. Такая линия никогда не будет отражаться, поскольку падающая волна никогда не достигнет конца, чтобы отразиться. При рассмотрении конечной длины линии остаток линии можно заменить на $\scriptstyle Z_{0}$ как его эквивалентная схема. Это так, потому что оставшаяся часть строки по-прежнему бесконечно длинна и, следовательно, эквивалентна исходной строке. Если конечный отрезок очень короткий, то в эквивалентной схеме он будет моделироваться L-сетью, состоящей из одного элемента $\scriptstyle dZ$ и один из $\scriptstyle dY$ ; остаток определяется $\scriptstyle Z_{0}$ . В результате получается сеть, показанная на рисунке 3, которую можно проанализировать на предмет $\scriptstyle Z_{0}$ используя обычные теоремы сетевого анализа , ^[17]^[18]

Z_{0}=\delta Z+{\frac {Z_{0}}{1+Z_{0}\delta Y}}

который перестраивается в,

{Z_{0}}^{2}-Z_{0}\delta Z={\frac {\delta Z}{\delta Y}}

Принимая ограничения обеих сторон

\lim _{\delta x\to 0}({Z_{0}}^{2}-Z_{0}\delta Z)={Z_{0}}^{2}={\frac {dZ}{dY}}

и поскольку линия предполагалась однородной по длине,

{Z_{0}}^{2}={\frac {Z}{Y}}

Константа распространения

Отношение линейного входного напряжения к напряжению на расстоянии $\scriptstyle \delta x$ далее по линии (то есть после одного участка эквивалентной схемы) определяется стандартным расчетом делителя напряжения . Оставшаяся часть линии справа, как и при расчете характеристического импеданса, заменяется на $\scriptstyle Z_{0}$ , ^[19]^[20]

{\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x1}}}={\frac {\delta Z+{\frac {Z_{0}/\delta Y}{Z_{0}+1/\delta Y}}}{\frac {Z_{0}/\delta Y}{Z_{0}+1/\delta Y}}}=1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y

Каждый бесконечно малый участок умножит падение напряжения на один и тот же коэффициент. После $\scriptstyle n$ секциях коэффициент трансформации будет,

{\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{n}

На расстоянии $\scriptstyle x$ вдоль линии количество секций равно $\scriptstyle x/\delta x$ так что,

{\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{\frac {x}{\delta x}}

В пределе как $\scriptstyle \delta x\to 0$ ,

{\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x}}}=\lim _{\delta x\to 0}{\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\lim _{\delta x\to 0}\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{\frac {x}{\delta x}}

Член второго порядка $\scriptstyle \delta Z\delta Y$ в пределе исчезнет, поэтому можно будет писать без потери точности,

{\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x}}}=\lim _{\delta x\to 0}\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}\right)^{\frac {x}{\delta x}}

и сравнивая с математическим тождеством,

e^{x}\equiv \lim _{p\to \infty }(1+1/p)^{px}

урожайность,

V_{\mathrm {i} }=V_{x}e^{{\frac {Z}{Z_{0}}}x}

Из определения постоянной распространения ,

V_{\mathrm {i} }=V_{x}e^{\gamma x}\,\!

Следовательно,

\gamma ={\frac {Z}{Z_{0}}}={\sqrt {ZY}}

Особые случаи

Идеальная линия передачи

В идеальной линии передачи потерь не будет, что означает, что резистивные элементы равны нулю. Это также приводит к чисто реальному (резистивному) характеристическому импедансу. Идеальную линию невозможно реализовать на практике, но во многих обстоятельствах она является полезным приближением. Это особенно актуально, например, когда короткие отрезки линии используются в качестве компонентов схемы, таких как шлейфы . Короткая линия имеет очень небольшие потери, поэтому ее можно игнорировать и рассматривать как идеальную линию. Вторичными константами в этих обстоятельствах являются; ^[21]

\gamma =i\omega {\sqrt {LC}}

\alpha =0\,

\beta =\omega {\sqrt {LC}}

Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}

Витая пара

Обычно витая пара , используемая для звуковых частот или низких скоростей передачи данных, имеет константы линии, в которых R и C. преобладают Диэлектрические потери на этих частотах обычно незначительны, а G близок к нулю. Также бывает, что на достаточно низкой частоте $\scriptstyle R\gg \omega L$ это означает, что L также можно игнорировать. В этих обстоятельствах вторичные константы становятся: ^[22]

\gamma \approx {\sqrt {i\omega CR}}

\alpha \approx {\sqrt {\frac {\omega CR}{2}}}

\beta \approx {\sqrt {\frac {\omega CR}{2}}}

Z_{0}\approx {\sqrt {\frac {R}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {R}{2\omega C}}}-i{\sqrt {\frac {R}{2\omega C}}}

Затухание этого типа кабеля увеличивается с увеличением частоты, вызывая искажение формы сигнала. Не столь очевидно, что вариация $\scriptstyle \beta$ с частотой также вызывает искажение типа, называемого дисперсией . Чтобы избежать дисперсии, необходимо, чтобы $\scriptstyle \beta$ прямо пропорциональна $\scriptstyle \omega$ . Однако на самом деле оно пропорционально $\scriptstyle {\sqrt {\omega }}$ и результаты дисперсии. $\scriptstyle Z_{0}$ также зависит от частоты и также частично реактивен; обе эти особенности будут причиной отражений от резистивного окончания линии. Это еще один нежелательный эффект. указанный Номинальный импеданс, для этого типа кабеля, в данном случае является очень номинальным и действителен только для одной точечной частоты, обычно указываемой как 800 Гц или 1 кГц. ^[23]^[24]

Коаксиальный кабель

Кабель, работающий на достаточно высокой частоте ( средневолновая радиочастота или высокая скорость передачи данных), будет соответствовать условиям $\scriptstyle R\ll \omega L$ и $\scriptstyle G\ll \omega C$ . В конечном итоге это должно произойти, поскольку частота увеличивается для любого кабеля. В этих условиях R и G можно игнорировать (кроме целей расчета потерь в кабеле), а вторичные константы становятся равными; ^[25]

\gamma \approx i\omega {\sqrt {LC}}

\alpha \approx {\frac {LG+RC}{2{\sqrt {LC}}}}={\tfrac {1}{2}}\left(Z_{0}G+{\frac {R}{Z_{0}}}\right)\approx {\frac {R}{2Z_{0}}}

\beta \approx \omega {\sqrt {LC}}

Z_{0}\approx {\sqrt {\frac {L}{C}}}

Загруженная линия

Нагруженные линии — это линии, спроектированные с намеренно увеличенной индуктивностью. Это делается путем добавления в кабель железа или другого магнитного металла или добавления катушек. Цель состоит в том, чтобы обеспечить соответствие линии условию Хевисайда , которое устраняет искажения, вызванные частотно-зависимым затуханием и дисперсией, и гарантирует, что $\scriptstyle Z_{0}$ является постоянным и резистивным. Вторичные константы здесь связаны с первичными константами соотношением; ^[26]

\gamma ={\sqrt {RG}}+i\omega {\sqrt {LC}}

\alpha ={\sqrt {RG}}

\beta =\omega {\sqrt {LC}}

Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}={\sqrt {\frac {R}{G}}}

Скорость

Скорость распространения определяется выражением

v=\lambda f.

С,

\omega =2\pi f

и

\beta ={\frac {2\pi }{\lambda }}

затем,

v={\frac {\omega }{\beta }}.

В тех случаях, когда $β$ можно принять как,

\beta =\omega {\sqrt {LC}}

скорость распространения определяется выражением:

v={1 \over {\sqrt {LC}}}.

Чем меньше емкость, тем выше скорость. В кабеле с воздушным диэлектриком, который приближен к кабелю с малыми потерями, скорость распространения очень близка к скорости света в вакууме . ^[27]

Примечания

^ Коннор, с. 8.
^ Берд, стр. 604–605.
^ Поргес, стр. 223–224.
^ Берд, стр. 502–503, 519.
^ «Массовый кабель — 4-парный ПВХ UTP категории 5» , паспорт Molex, 1999 г., архивировано 7 августа 2013 г.
^ «1583E CAT5E UTP PVC» , паспорт Belden 46077, 21 июля 1999 г., архивировано 7 августа 2013 г.
^ «Внутренний телекоммуникационный кабель CW1308». Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine , технические описания Eland Cables, архивировано 8 августа 2013 г.
^ «Коаксиальный кабель 8281 — тип RG-59/U с двойной оплеткой» Технический паспорт Belden, 14 мая 2007 г., архивировано 7 августа 2013 г.
^ «Последовательный цифровой видеокабель» , паспорт Belden 1865A, архивировано 7 августа 2013 г.
^ «Коаксиальный кабель Suhner» , техническое описание Huber & Suhner, 24 сентября 2007 г., архивировано 7 августа 2013 г.
^ «RG58/U». Архивировано 7 октября 2009 г. в Wayback Machine , техническое описание General Cable, стр. 74–76.
^ «7/8» Коаксиальный кабель Cellflex Lite с низкими потерями из пенодиэлектрика» , техническое описание RFS LCF78-50JFNL, 24 октября 2006 г., архивировано 7 августа 2013 г.
^ «Магистральные кабели с бумажной изоляцией и алюминиевой оболочкой». Архивировано 30 ноября 2013 г. на Wayback Machine , техническое описание Nexus, архивировано 7 августа 2013 г.
^ Jump up to: ^а ^б Коннор, стр. 8–10.
^ Хикман, с. 113.
^ Поргес, с. 217.
^ Поргес, стр. 216–217.
^ Коннор, стр. 10–11.
^ Коннор, стр. 9–10.
^ Берд, стр. 609–611.
^ Коннор, с. 17.
^ Коннор, стр. 18–19.
^ Берд, стр. 612–613.
^ Поргес, с. 219.
^ Коннор, с. 19.
^ Коннор, стр. 19–21.
^ Коннор, стр. 10, 19-20.

Ссылки

Ф.Р. Коннор, Передача волн , Edward Arnold Ltd., 1972 г. ISBN 0-7131-3278-7 .
Джон Берд, Теория и технология электрических цепей , Newnes, 2007 г. ISBN 0-7506-8139-X .
Ян Хикман, Analog Electronics , Newnes, 1999 г. ISBN 0-7506-4416-8 .
Фред Порджес, Проектирование электрооборудования зданий , Тейлор и Фрэнсис, 1989 г. ISBN 0-419-14590-7 .

[1] Коннор, с. 8.

[2] Берд, стр. 604–605.

[3] Поргес, стр. 223–224.

[4] Берд, стр. 502–503, 519.

[5] «Массовый кабель — 4-парный ПВХ UTP категории 5» , паспорт Molex, 1999 г., архивировано 7 августа 2013 г.

[6] «1583E CAT5E UTP PVC» , паспорт Belden 46077, 21 июля 1999 г., архивировано 7 августа 2013 г.

[7] «Внутренний телекоммуникационный кабель CW1308». Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine , технические описания Eland Cables, архивировано 8 августа 2013 г.

[8] «Коаксиальный кабель 8281 — тип RG-59/U с двойной оплеткой» Технический паспорт Belden, 14 мая 2007 г., архивировано 7 августа 2013 г.

[9] «Последовательный цифровой видеокабель» , паспорт Belden 1865A, архивировано 7 августа 2013 г.

[10] «Коаксиальный кабель Suhner» , техническое описание Huber & Suhner, 24 сентября 2007 г., архивировано 7 августа 2013 г.

[11] «RG58/U». Архивировано 7 октября 2009 г. в Wayback Machine , техническое описание General Cable, стр. 74–76.

[12] «7/8» Коаксиальный кабель Cellflex Lite с низкими потерями из пенодиэлектрика» , техническое описание RFS LCF78-50JFNL, 24 октября 2006 г., архивировано 7 августа 2013 г.

[13] «Магистральные кабели с бумажной изоляцией и алюминиевой оболочкой». Архивировано 30 ноября 2013 г. на Wayback Machine , техническое описание Nexus, архивировано 7 августа 2013 г.

[Connor,_pp.8-10-14] Jump up to: ^а ^б Коннор, стр. 8–10.

[15] Хикман, с. 113.

[16] Поргес, с. 217.

[17] Поргес, стр. 216–217.

[18] Коннор, стр. 10–11.

[19] Коннор, стр. 9–10.

[20] Берд, стр. 609–611.

[21] Коннор, с. 17.

[22] Коннор, стр. 18–19.

[23] Берд, стр. 612–613.

[24] Поргес, с. 219.

[25] Коннор, с. 19.

[26] Коннор, стр. 19–21.

[27] Коннор, стр. 10, 19-20.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]