Состояние Хевисайда

Линия передачи , отвечающая условию Хевисайда , названному в честь Оливера Хевисайда (1850–1925), и некоторым другим условиям, может передавать сигналы без дисперсии и искажений. Важность условия Хевисайда состоит в том, что оно показало возможность бездисперсионной передачи телеграфных сигналов. В некоторых случаях производительность линии передачи можно улучшить, добавив индуктивную нагрузку к кабелю .

Состояние

Модель линии электропередачи Хевисайда.

Линию передачи можно представить как модель с распределенными элементами ее констант первичной линии, как показано на рисунке. Первичные константы — это электрические свойства кабеля на единицу длины: емкость C (в фарадах на метр), индуктивность L (в генри на метр), последовательное сопротивление R (в Омах на метр) и шунтирующая проводимость G (в генри на метр). сименс на метр).

Условие Хевисайда выполняется, если: ${\frac {G}{C}}={\frac {R}{L}}.$

Последовательное сопротивление и шунтирующая проводимость вызывают потери в линии; для идеальной линии электропередачи, $\scriptstyle R=G=0$. Идеальная линия тривиально удовлетворяет условию Хевисайда.

Фон

Сигнал в линии передачи может искажаться, даже если константы линии и результирующая функция передачи совершенно линейны. Существует два механизма: во-первых, затухание линии может меняться в зависимости от частоты, что приводит к изменению формы импульса, передаваемого по линии. Во-вторых, что обычно более проблематично, искажения вызваны зависимостью частоты от фазовой скорости частотных составляющих передаваемого сигнала. Если разные частотные компоненты сигнала передаются с разной скоростью, сигнал становится «размытым» в пространстве и времени — форма искажения, называемая дисперсией .

Линия передачи является бездисперсионной , если скорость сигналов не зависит от частоты. Математически ${\frac {d}{d\omega }}v=0$.

Линия передачи не имеет искажений , если она не имеет дисперсии и коэффициент затухания не зависит от частоты. Математически ${\frac {d}{d\omega }}\alpha =0$.

Это была серьезная проблема на первом трансатлантическом телеграфном кабеле , и она привела к тому, что теорию причин рассеяния исследовал сначала лорд Кельвин , а затем Хевисайд, который в 1876 году обнаружил, как с этим можно бороться. Рассеяние телеграфных импульсов, если оно достаточно сильное, приведет к их перекрытию с соседними импульсами, вызывая то, что сейчас называется межсимвольной интерференцией . Для предотвращения межсимвольных помех пришлось снизить скорость передачи трансатлантического телеграфного кабеля до эквивалента 1/15 ​ ​ бод . Это исключительно низкая скорость передачи данных даже для людей-операторов, которым было очень трудно работать с ключом Морзе так медленно.

Для голосовых сетей (телефонов) искажение частотной характеристики обычно более важно, чем дисперсия, тогда как цифровые сигналы очень чувствительны к дисперсионным искажениям. Для любого вида передачи аналогового изображения, например видео или факсимильной связи, необходимо уменьшить оба вида искажений.

левых линий передачи Аналогичное условие Хевисайда для бездисперсионного распространения в метаматериалах невозможно вывести, поскольку никакая комбинация реактивных и резистивных элементов не приведет к постоянной групповой скорости.

Вывод

Функция передачи линии передачи определяется ее входным и выходным напряжениями при правильном завершении (то есть без отражений) как

${\frac {V_{\mathrm {out} }}{V_{\mathrm {in} }}}=e^{-\gamma x}$

где $x$ представляет расстояние от передатчика в метрах и

$\gamma =\alpha +j\beta ={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)}}$.

— константы вторичной линии , α — константа затухания в неперах на метр, а β — фазовая константа в радианах на метр. Для отсутствия искажений α должно быть независимым от угловой частоты ω , а β должно быть пропорционально ω . Это требование пропорциональности частоте обусловлено соотношением между скоростью v и фазовой постоянной , β определяемой выражением:

$v={\frac {\omega }{\beta }}$

и требование, чтобы фазовая скорость v была постоянной на всех частотах.

Связь между константами первичной и вторичной линии определяется выражением

$\gamma ^{2}=(\alpha +j\beta )^{2}=(R+j\omega L)(G+j\omega C)=\omega ^{2}LC(j+{\frac {R}{\omega L}})(j+{\frac {G}{\omega C}})$

Если условие Хевисайда выполнено, то функцию квадратного корня можно выполнить явно как:

$\gamma =\omega {\sqrt {LC}}({\frac {R}{\omega L}}+j)={\frac {R}{Z_{0}}}+j\omega {\sqrt {LC}}$

где

$Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}$.

Следовательно

$\alpha ={\frac {R}{Z_{0}}}=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}=R{\sqrt {\frac {LG/R}{L}}}={\sqrt {RG}}$.

$\beta =\omega {\sqrt {LC}}$.

$v={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$.

Скорость не зависит от частоты, если произведение $LC$ не зависит от частоты. Затухание не зависит от частоты, если произведение $RG$ не зависит от частоты.

Характеристический импеданс

Характеристическое сопротивление линии передачи с потерями определяется выражением

$Z_{0}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}$

В общем, невозможно согласовать импеданс этой линии передачи на всех частотах с любой конечной сетью дискретных элементов , поскольку такие сети являются рациональными функциями jω, но в целом выражение для характеристического импеданса является сложным из-за члена с квадратным корнем. Однако для линии, которая удовлетворяет условию Хевисайда, в дроби есть общий множитель, который компенсирует уход частотно-зависимых членов:

$Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}},$

которое является действительным числом и не зависит от частоты, если L/C не зависит от частоты. Таким образом, сопротивление линии можно согласовать с помощью резистора на обоих концах. Это выражение для $\scriptstyle Z_{0}={\sqrt {L/C}}$ то же самое, что и для линии без потерь ( $\scriptstyle R=0,\ G=0$) с теми же L и C , хотя затухание (из-за R и G ), конечно, все еще присутствует.

Практическое использование

Пример нагруженного кабеля

Настоящая линия будет иметь очень низкую G и обычно не будет даже близко соответствовать условию Хевисайда. Нормальная ситуация такова, что

${\frac {G}{C}}\ll {\frac {R}{L}}$ на несколько порядков.

Чтобы линия соответствовала условию Хевисайда, необходимо скорректировать одну из четырех основных констант, и вопрос в том, какую именно. G можно было бы увеличить, но это крайне нежелательно, так как увеличение G приведет к увеличению потерь. Уменьшение R направляет потери в правильном направлении, но обычно это не является удовлетворительным решением. R необходимо уменьшить на большое число, а для этого необходимо резко увеличить сечения проводников. Это не только делает кабель намного более громоздким, но также значительно увеличивает количество используемой меди (или другого металла) и, следовательно, увеличивает стоимость и вес. Уменьшить емкость сложно, поскольку для этого необходимо использовать другой диэлектрик с меньшей диэлектрической проницаемостью. Изоляция из гуттаперчи, использовавшаяся в первых трансатлантических кабелях, имела диэлектрическую проницаемость около 3, следовательно, C можно уменьшить на максимальный коэффициент или не более чем на 3. Это приводит к увеличению L , что является обычным принятым решением.

L увеличивается за счет нагружения кабеля металлом с высокой магнитной проницаемостью . Также возможно нагружать кабель традиционной конструкции, добавляя отдельные нагрузочные катушки через равные промежутки времени. Это не идентично распределенной нагрузке, с той разницей, что при использовании нагрузочных катушек передача без искажений осуществляется до определенной частоты среза, после которой затухание быстро возрастает.

Загрузка кабелей больше не является обычной практикой. Вместо этого регулярно расположенные цифровые ретрансляторы теперь размещаются в длинных линиях, чтобы поддерживать желаемую форму и длительность импульсов для передачи на большие расстояния.

Частотно-зависимые параметры линии

Типичные соотношения параметров линии электропередачи

Когда параметры линии зависят от частоты, существуют дополнительные соображения. Достичь условия Хевисайда сложнее, когда некоторые или все параметры линии зависят от частоты. Обычно R (из-за скин-эффекта) и G (из-за диэлектрических потерь) являются сильными функциями частоты. Если для увеличения L добавляется магнитный материал, то L также становится частотно-зависимым.

На диаграмме слева показаны соотношения ${\tfrac {R_{\omega }}{\omega L_{\omega }}}({\color {blue}{\text{blue}}}){\text{ and }}{\tfrac {G_{\omega }}{\omega C_{\omega }}}({\color {red}{\text{red}}})$ для типовых линий электропередачи из немагнитных материалов. Условие Хевисайда выполняется, когда синяя кривая касается или пересекает красную кривую.

Излом синей кривой происходит на частоте, где $R_{\omega }=\omega L_{\omega }$.

Три красные кривые обозначают типичные диэлектрики низкого, среднего и высокого качества. Целлюлозная изоляция (использовавшаяся для телефонных линий в начале 20 века), гуттаперча и современные пенопласты являются примерами диэлектриков низкого, среднего и высокого качества. Излом каждой кривой происходит на частоте, где $G_{\omega }=\omega C_{\omega }$. Обратная величина этой частоты известна как время диэлектрической релаксации диэлектрика. Выше этой частоты значение G/(ωC) такое же, как тангенс угла потерь диэлектрического материала. На рисунке кривая изображена плоской, но тангенс потерь показывает некоторую частотную зависимость. Величина G/(ωC) на всех частотах полностью определяется свойствами диэлектрика и не зависит от сечения линии передачи.

См. также

• Уравнения Максвелла
• Уравнения телеграфиста

Библиография

• Нахин, Пол Дж., Оливер Хевисайд: жизнь, работа и времена электрического гения викторианской эпохи , JHU Press, 2002 г. ISBN   0801869099 . См. особенно стр. 231-232.
• Шредер, Манфред Роберт, Фракталы, Хаос, Законы власти , Курьерская корпорация, 2012 ISBN   0486134784 .