Преследование стеков

«В погоне за стеками» ( французский : À la Poursuite des Champs ) — влиятельная математическая рукопись Александра Гротендика, вышедшая в 1983 году . ^[1] Он состоит из 12-страничного письма Дэниелу Квиллену, за которым следуют около 600 страниц исследовательских заметок.

Тема работы — обобщенная теория гомотопий с использованием теории высших категорий . Слово «стеки» в названии относится к тому, что сейчас обычно называют « ∞-группоидами », одно из возможных определений которых Гротендик набросал в своей рукописи. ( Стопки алгебраической геометрии, также восходящие к Гротендику, не являются предметом данной рукописи.) Среди представленных в работе понятий — дериваторы и тестовые категории .

Некоторые части рукописи были позже развиты в:

Жорж Мальциниотис (2005), «La theorie de l'homotopie de Grothendieck» [гомотопическая теория Гротендика] (PDF) , Asterisque , 301 , MR 2200690
Денис-Шарль Цисински (2006), «Предпучки как модели гомотопических типов» (PDF) , Asterisk , 308 , ISBN 978-2-85629-225-9 , МР 2294028

Обзор рукописи

I. Письмо Дэниелу Квиллену

Преследование стопок началось с письма Гротендика Дэниелу Квиллену. В этом письме он обсуждает успехи Квиллена. ^[2] об основах теории гомотопий и отметил отсутствие прогресса с тех пор. Он отмечает, как некоторые из его друзей в Бангорском университете , в том числе Рональд Браун , изучали высшие фундаментальные группоиды. $\Pi _{n}(X)$ для топологического пространства $X$ и как основы для такой темы могут быть заложены и релятивизированы с использованием теории топоса , уступающей место более высоким гербам . Более того, он критически относился к использованию строгих группоидов для закладки этих основ, поскольку их было недостаточно для разработки полной теории, которую он предполагал.

Он изложил свои идеи о том, как должен выглядеть такой ∞-группоид, и дал несколько аксиом, описывающих, как он их себе представлял. По сути, это категории с объектами, стрелками, стрелками между стрелками и т. д., аналогично ситуации для высших гомотопий. Предполагается, что этого можно достичь, рассматривая последовательную последовательность категорий и функторов.

$C_{0}\to C_{1}\to \cdots \to C_{n}\to C_{n+1}\to \cdots$

которые универсальны по отношению к любому виду высшего группоида. Это позволяет индуктивно определить ∞-группоид, зависящий от объектов $C_{0}$ и функторы включения $C_{n}\to C_{n+1}$ , где категории $C_{n}$ отслеживать высшую гомотопическую информацию до уровня $n$ . Такую структуру позже назвали когератором , поскольку она отслеживает все высшие когерентности. Эта структура была формально изучена Джорджем Мальсиниотисом. ^[3] добившись некоторого прогресса в установлении этих основ и доказательстве гомотопической гипотезы .

II. Категории тестов и функторы тестов

Мотивация Гротендика к более высоким стекам

По сути, описание формально аналогично и почти идентично описанию групп гомологии цепного комплекса – и поэтому может показаться, что эти стопки (точнее, Gr-стеки) в некотором смысле являются наиболее близкими возможно некоммутативное обобщение цепных комплексов, при этом группы гомологий цепного комплекса становятся гомотопическими группами «некоммутативного цепного комплекса» или стека. - Гротендик ^[1]^{стр. 23}

Позже это объясняется интуицией, обеспечиваемой соответствием Долда-Кана : симплициальные абелевы группы соответствуют цепным комплексам абелевых групп, поэтому более высокий стек, смоделированный как симплициальная группа, должен соответствовать «неабелеву» цепному комплексу. ${\mathcal {F}}_{\bullet }$ . Более того, они должны иметь абелианизацию, заданную гомологиями и когомологиями, что наводит на размышления как $H^{k}(X,{\mathcal {F}}_{\bullet })$ или $\mathbf {R} F_{*}({\mathcal {F}}_{\bullet })$ , поскольку должен существовать ассоциированный формализм шести функторов ^[1]^{стр. 24}. Более того, должна существовать сопутствующая теория операций Лефшеца, подобная тезису Рейно . ^[4]

Поскольку Гротендик предложил альтернативную формулировку более высоких стеков с использованием шаровых группоидов и заметил, что должна существовать соответствующая теория с использованием кубических множеств , он придумал идею тестовых категорий и тестовых функторов. ^[1]^{стр. 42} По сути, категории тестов должны быть категориями. $M$ с классом слабых эквивалентностей $W$ такая, что существует функтор геометрической реализации

$|\cdot |:M\to {\text{Spaces}}$

и слабая эквивалентность

$M[W^{-1}]\simeq {\text{Hot}}$

где Hot обозначает гомотопическую категорию .

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Гротендик. «В поисках стопок» . thescrivener.github.io . Архивировано (PDF) из оригинала 30 июля 2020 г. Проверено 17 сентября 2020 г.
^ Куиллен, Дэниел Г. (1967). Гомотопическая алгебра . Конспект лекций по математике. Том. 43. дои : 10.1007/bfb0097438 . ISBN 978-3-540-03914-3 . ISSN 0075-8434 .
^ Мальциниотис, Жорж. «Группоиды бесконечности Гротендика и еще одно определение категорий бесконечности» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 3 сентября 2020 г.
^ Рейно, Мишель (1974). «Теоремы Лефшеца в когомологиях когерентных пучков и в равных когомологиях. Приложение к фундаментальной группе» . Научные анналы Высшей нормальной школы . 7 (1): 29–52. дои : 10.24033/asens.1260 .

Внешние ссылки

[:0-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Гротендик. «В поисках стопок» . thescrivener.github.io . Архивировано (PDF) из оригинала 30 июля 2020 г. Проверено 17 сентября 2020 г.

[2] Куиллен, Дэниел Г. (1967). Гомотопическая алгебра . Конспект лекций по математике. Том. 43. дои : 10.1007/bfb0097438 . ISBN 978-3-540-03914-3 . ISSN 0075-8434 .

[3] Мальциниотис, Жорж. «Группоиды бесконечности Гротендика и еще одно определение категорий бесконечности» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 3 сентября 2020 г.

[4] Рейно, Мишель (1974). «Теоремы Лефшеца в когомологиях когерентных пучков и в равных когомологиях. Приложение к фундаментальной группе» . Научные анналы Высшей нормальной школы . 7 (1): 29–52. дои : 10.24033/asens.1260 .

[1]

[2]

[3]

[4]