Равномерная интегрируемость

В математике равномерная интегрируемость является важной концепцией реального анализа , функционального анализа и теории меры , а также играет жизненно важную роль в теории мартингалов .

Теоретико-мерное определение

Равномерная интегрируемость — это расширение понятия семейства функций, доминирующих в $L_{1}$ который является центральным в доминируемой конвергенции .В нескольких учебниках по реальному анализу и теории меры используется следующее определение: ^[1]^[2]

Определение А: Пусть $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ быть пространством с положительной мерой . Набор $\Phi \subset L^{1}(\mu )$ называется равномерно интегрируемым, если $\sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L_{1}(\mu )}<\infty$ , и каждому $\varepsilon >0$ соответствует $\delta >0$ такой, что
$\int _{E}|f|\,d\mu <\varepsilon$
в любое время $f\in \Phi$ и $\mu (E)<\delta .$

Определение A является весьма ограничительным для бесконечных пространств с мерой. Более общее определение ^[3] Равномерная интегрируемость, которая хорошо работает в пространствах общей меры, была введена Г. А. Хантом .

Определение H: Пусть $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ быть пространством с положительной мерой. Набор $\Phi \subset L^{1}(\mu )$ называется равномерно интегрируемым тогда и только тогда, когда
$\inf _{g\in L_{+}^{1}(\mu )}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>g\}}|f|\,d\mu =0$
где $L_{+}^{1}(\mu )=\{g\in L^{1}(\mu ):g\geq 0\}$ .

Поскольку определение Ханта эквивалентно определению A, когда лежащее в его основе пространство с мерой конечно (см. теорему 2 ниже), определение H широко применяется в математике.

Следующий результат ^[4] дает еще одно понятие, эквивалентное предложению Ханта. Эту эквивалентность иногда дают как определение равномерной интегрируемости.

Теорема 1: Если $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ является (положительным) пространством с конечной мерой, то множество $\Phi \subset L^{1}(\mu )$ равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда
$\inf _{g\in L_{+}^{1}(\mu )}\sup _{f\in \Phi }\int (|f|-g)^{+}\,d\mu =0$
Если вдобавок $\mu (X)<\infty$ , то равномерная интегрируемость эквивалентна любому из следующих условий
1. $\inf _{a>0}\sup _{f\in \Phi }\int (|f|-a)_{+}\,d\mu =0$ .
2. $\inf _{a>0}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>a\}}|f|\,d\mu =0$

Когда основное пространство $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ является $\sigma$ -finite, определение Ханта эквивалентно следующему:

Теорема 2: Пусть $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ быть $\sigma$ -пространство конечной меры и $h\in L^{1}(\mu )$ быть таким, что $h>0$ почти везде. Набор $\Phi \subset L^{1}(\mu )$ равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда $\sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L_{1}(\mu )}<\infty$ , и для любого $\varepsilon >0$ , там выходы $\delta >0$ такой, что
$\sup _{f\in \Phi }\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon$
в любое время $\int _{A}h\,d\mu <\delta$ .

Следствием теорем 1 и 2 является эквивалентность определений A и H для конечных мер. Действительно, утверждение в определении A получается, если взять $h\equiv 1$ в теореме 2.

Определение вероятности

В теории вероятностей определение А или утверждение теоремы 1 часто представляются как определения равномерной интегрируемости с использованием обозначения математического ожидания случайных величин. ^[5]^[6]^[7] то есть,

1. Класс ${\mathcal {C}}$ случайных величин называется равномерно интегрируемым, если:

Существует конечное $M$ такой, что для каждого $X$ в ${\mathcal {C}}$ , $\operatorname {E} (|X|)\leq M$ и
Для каждого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$ такая, что для каждого измеримого $A$ такой, что $P(A)\leq \delta$ и каждый $X$ в ${\mathcal {C}}$ , $\operatorname {E} (|X|I_{A})\leq \varepsilon$ .

или альтернативно

2. Класс ${\mathcal {C}}$ называется случайных величин равномерно интегрируемым (UI), если для любого $\varepsilon >0$ существует $K\in [0,\infty )$ такой, что $\operatorname {E} (|X|I_{|X|\geq K})\leq \varepsilon \ {\text{ for all }}X\in {\mathcal {C}}$ , где $I_{|X|\geq K}$ индикаторная функция $I_{|X|\geq K}={\begin{cases}1&{\text{if }}|X|\geq K,\\0&{\text{if }}|X|<K.\end{cases}}$ .

Герметичность и равномерная интегрируемость

Одно из следствий равномерно интегрируемости класса ${\mathcal {C}}$ случайных величин – это семейство законов или распределений $\{P\circ |X|^{-1}(\cdot ):X\in {\mathcal {C}}\}$ тесно . То есть для каждого $\delta >0$ , существует $a>0$ такой, что $P(|X|>a)\leq \delta$ для всех $X\in {\mathcal {C}}$ . ^[8]

Однако это не означает, что семейство мер ${\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}:={\Big \{}\mu _{X}:A\mapsto \int _{A}|X|\,dP,\,X\in {\mathcal {C}}{\Big \}}$ тесно. (В любом случае герметичность потребует топологии на $\Omega$ чтобы определиться.)

Равномерная абсолютная непрерывность

Существует еще одно понятие однородности, немного отличающееся от равномерной интегрируемости, которое также имеет множество приложений в теории вероятностей и меры и не требует, чтобы случайные величины имели конечный интеграл. ^[9]

Определение: Предположим, $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ является вероятностным пространством. Классифицированный ${\mathcal {C}}$ случайных величин равномерно абсолютно непрерывен по $P$ если для любого $\varepsilon >0$ , есть $\delta >0$ такой, что $E[|X|I_{A}]<\varepsilon$ в любое время $P(A)<\delta$ .

Это эквивалентно равномерной интегрируемости, если мера конечна и не имеет атомов.

Термин «единая абсолютная непрерывность» не является стандартным. ^{[ нужна ссылка ]} но используется некоторыми авторами. ^[10]^[11]

Связанные следствия

Следующие результаты применимы к вероятностному определению. ^[12]

Определение 1 можно было бы переписать, взяв пределы в виде $\lim _{K\to \infty }\sup _{X\in {\mathcal {C}}}\operatorname {E} (|X|\,I_{|X|\geq K})=0.$
Последовательность, не относящаяся к пользовательскому интерфейсу. Позволять $\Omega =[0,1]\subset \mathbb {R}$ и определить $X_{n}(\omega )={\begin{cases}n,&\omega \in (0,1/n),\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$ Четко $X_{n}\in L^{1}$ , и действительно $\operatorname {E} (|X_{n}|)=1\ ,$ для всех н . Однако, $\operatorname {E} (|X_{n}|I_{\{|X_{n}|\geq K\}})=1\ {\text{ for all }}n\geq K,$ и, сравнивая с определением 1, видно, что последовательность не является равномерно интегрируемой.

Используя определение 2 в приведенном выше примере, можно увидеть, что первое предложение выполняется как $L^{1}$ норма всего $X_{n}$ s равны 1, т.е. ограничены. Но второе предложение не имеет силы как данное. $\delta$ положительный, есть интервал $(0,1/n)$ с мерой меньше $\delta$ и $E[|X_{m}|:(0,1/n)]=1$ для всех $m\geq n$ .
Если $X$ — это случайная переменная пользовательского интерфейса , полученная путем разделения $\operatorname {E} (|X|)=\operatorname {E} (|X|I_{\{|X|\geq K\}})+\operatorname {E} (|X|I_{\{|X|<K\}})$ и ограничивая каждую из двух, можно видеть, что равномерно интегрируемая случайная величина всегда ограничена $L^{1}$ .
Если любая последовательность случайных величин $X_{n}$ преобладает интегрируемая неотрицательная $Y$ : то есть для всех ω и n , $|X_{n}(\omega )|\leq Y(\omega ),\ Y(\omega )\geq 0,\ \operatorname {E} (Y)<\infty ,$ тогда класс ${\mathcal {C}}$ случайных величин $\{X_{n}\}$ является равномерно интегрируемым.
Класс случайных величин, ограниченный $L^{p}$ ( $p>1$ ) равномерно интегрируемо.

Соответствующие теоремы

Далее мы используем вероятностную структуру, но независимо от конечности меры, добавляя условие ограниченности на выбранном подмножестве $L^{1}(\mu )$ .

Данфорда – Петтиса Теорема ^[13]^[14]
Класс ^{[ нужны разъяснения ]} случайных величин $X_{n}\subset L^{1}(\mu )$ равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда оно относительно компактно для слабой топологии $\sigma (L^{1},L^{\infty })$ . ^{[ нужны разъяснения ]}^{[ нужна ссылка ]}
де ла Валле-Пуссена теорема ^[15]^[16]
Семья $\{X_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }\subset L^{1}(\mu )$ равномерно интегрируема тогда и только тогда, когда существует неотрицательная возрастающая выпуклая функция $G(t)$ такой, что $\lim _{t\to \infty }{\frac {G(t)}{t}}=\infty {\text{ and }}\sup _{\alpha }\operatorname {E} (G(|X_{\alpha }|))<\infty .$

Связь со сходимостью случайных величин

Последовательность $\{X_{n}\}$ сходится к $X$ в $L_{1}$ нормой тогда и только тогда, когда она сходится по мере к $X$ и оно равномерно интегрируемо. С точки зрения вероятности, последовательность случайных величин, сходящаяся по вероятности, также сходится в среднем тогда и только тогда, когда они равномерно интегрируемы. ^[17] Это обобщение теоремы Лебега о доминируемой сходимости , см. Теорему о сходимости Витали .

Цитаты

^ Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Сингапур: McGraw – Hill Book Co., с. 133. ИСБН 0-07-054234-1 .
^ Ройден, Х.Л. и Фитцпатрик, премьер-министр (2010). Реальный анализ (4-е изд.). Бостон: Прентис Холл. п. 93. ИСБН 978-0-13-143747-0 .
^ Хант, Джорджия (1966). Мартингалы и марковские процессы . Париж: Дюнод. п. 254.
^ Кленке, А. (2008). Теория вероятностей: комплексный курс . Берлин: Springer Verlag. стр. 134–137. ISBN 978-1-84800-047-6 .
^ Уильямс, Дэвид (1997). Вероятность с мартингалами (ред.). Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать. стр. 126–132. ISBN 978-0-521-40605-5 .
^ Гут, Аллан (2005). Вероятность: аспирантура . Спрингер. стр. 214–218. ISBN 0-387-22833-0 .
^ Басс, Ричард Ф. (2011). Случайные процессы . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 356–357. ISBN 978-1-107-00800-7 .
^ Хорошо 2005 , с. 236.
^ Бас 2011 , с. 356.
^ Бенедетто, Джей-Джей (1976). Действительная переменная и интегрирование . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. п. 89. ИСБН 3-519-02209-5 .
^ Беррилл, CW (1972). Мера, интегрирование и вероятность . МакГроу-Хилл. п. 180. ИСБН 0-07-009223-0 .
^ Хорошо 2005 , стр. 215–216.
^ Данфорд, Нельсон (1938). «Однородность в линейных пространствах» . Труды Американского математического общества . 44 (2): 305–356. дои : 10.1090/S0002-9947-1938-1501971-X . ISSN 0002-9947 .
^ Данфорд, Нельсон (1939). «Средняя эргодическая теорема». Математический журнал Дьюка . 5 (3): 635–646. дои : 10.1215/S0012-7094-39-00552-1 . ISSN 0012-7094 .
^ Мейер, Пенсильвания (1966). Вероятность и потенциалы , Blaisdell Publishing Co, Нью-Йорк (стр. 19, теорема T22).
^ Пуссен, К. Де ла Валле (1915). «Сюр Л'Интеграль де Лебег». Труды Американского математического общества . 16 (4): 435–501. дои : 10.2307/1988879 . hdl : 10338.dmlcz/127627 . JSTOR 1988879 .
^ Богачев, Владимир И. (2007). «Пространства Lp и пространства мер». Теория меры, том I. Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. п. 268. дои : 10.1007/978-3-540-34514-5_4 . ISBN 978-3-540-34513-8 .

Ссылки

Ширяев А.Н. (1995). Вероятность (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. стр. 187–188. ISBN 978-0-387-94549-1 .
Дистель Дж. и Уль Дж. (1977). Векторные меры , Математические обзоры 15, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-0-8218-1515-1

[1] Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Сингапур: McGraw – Hill Book Co., с. 133. ИСБН 0-07-054234-1 .

[2] Ройден, Х.Л. и Фитцпатрик, премьер-министр (2010). Реальный анализ (4-е изд.). Бостон: Прентис Холл. п. 93. ИСБН 978-0-13-143747-0 .

[3] Хант, Джорджия (1966). Мартингалы и марковские процессы . Париж: Дюнод. п. 254.

[4] Кленке, А. (2008). Теория вероятностей: комплексный курс . Берлин: Springer Verlag. стр. 134–137. ISBN 978-1-84800-047-6 .

[5] Уильямс, Дэвид (1997). Вероятность с мартингалами (ред.). Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать. стр. 126–132. ISBN 978-0-521-40605-5 .

[6] Гут, Аллан (2005). Вероятность: аспирантура . Спрингер. стр. 214–218. ISBN 0-387-22833-0 .

[7] Басс, Ричард Ф. (2011). Случайные процессы . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 356–357. ISBN 978-1-107-00800-7 .

[FOOTNOTEGut2005236-8] Хорошо 2005 , с. 236.

[FOOTNOTEBass2011356-9] Бас 2011 , с. 356.

[10] Бенедетто, Джей-Джей (1976). Действительная переменная и интегрирование . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. п. 89. ИСБН 3-519-02209-5 .

[11] Беррилл, CW (1972). Мера, интегрирование и вероятность . МакГроу-Хилл. п. 180. ИСБН 0-07-009223-0 .

[FOOTNOTEGut2005215–216-12] Хорошо 2005 , стр. 215–216.

[13] Данфорд, Нельсон (1938). «Однородность в линейных пространствах» . Труды Американского математического общества . 44 (2): 305–356. дои : 10.1090/S0002-9947-1938-1501971-X . ISSN 0002-9947 .

[14] Данфорд, Нельсон (1939). «Средняя эргодическая теорема». Математический журнал Дьюка . 5 (3): 635–646. дои : 10.1215/S0012-7094-39-00552-1 . ISSN 0012-7094 .

[15] Мейер, Пенсильвания (1966). Вероятность и потенциалы , Blaisdell Publishing Co, Нью-Йорк (стр. 19, теорема T22).

[16] Пуссен, К. Де ла Валле (1915). «Сюр Л'Интеграль де Лебег». Труды Американского математического общества . 16 (4): 435–501. дои : 10.2307/1988879 . hdl : 10338.dmlcz/127627 . JSTOR 1988879 .

[17] Богачев, Владимир И. (2007). «Пространства Lp и пространства мер». Теория меры, том I. Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. п. 268. дои : 10.1007/978-3-540-34514-5_4 . ISBN 978-3-540-34513-8 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]