Нерелятивистские гравитационные поля

В рамках общей теории относительности (ОТО), релятивистской гравитации Эйнштейна, гравитационное поле описывается 10-компонентным метрическим тензором. Однако в ньютоновской гравитации , которая является пределом ОТО, гравитационное поле описывается однокомпонентным ньютоновским гравитационным потенциалом . В связи с этим возникает вопрос об идентификации ньютоновского потенциала внутри метрики и определении физической интерпретации остальных девяти полей.

Определение нерелятивистских гравитационных полей дает ответ на этот вопрос и тем самым описывает образ метрического тензора в ньютоновской физике. Эти поля не являются строго нерелятивистскими. Скорее, они применимы к нерелятивистскому (или постньютоновскому) пределу ОТО.

Читателю, знакомому с электромагнетизмом (ЭМ), будет полезна следующая аналогия. В ЭМ человек знаком с электростатическим потенциалом. $\phi ^{\text{EM}}$ и магнитный векторный потенциал ${\vec {A}}{}^{\text{EM}}$. Вместе они объединяются в 4-векторный потенциал $A_{\mu }^{\text{EM}}\leftrightarrow (\phi ^{\text{EM}},{\vec {A}}{}^{\text{EM}})$, что совместимо с теорией относительности. Можно думать, что это соотношение представляет собой нерелятивистское разложение электромагнитного 4-векторного потенциала. Действительно, систему зарядов точечных частиц, медленно движущихся со скоростью света, можно изучать в разложении по $v^{2}/c^{2}$, где $v$ - типичная скорость и $c$ это скорость света. Это расширение известно как посткулоновское расширение . В рамках этого расширения $\phi ^{\text{EM}}$ вносит вклад в двухчастичный потенциал уже в 0-м порядке, а ${\vec {A}}^{\text{EM}}$ вносит вклад только с 1-го порядка и далее, поскольку он связан с электрическим током и, следовательно, связанный с ним потенциал пропорционален $v^{2}/c^{2}$.

Определение

В нерелятивистском пределе слабой гравитации и нерелятивистских скоростей общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации . Выходя за строгий предел, поправки можно организовать в теорию возмущений, известную как постньютоновское расширение . В рамках этого метрическое гравитационное поле $g_{\mu \nu },\ \mu ,\nu =0,1,2,3$, переопределяется и разлагается на нерелятивистские гравитационные (NRG) поля $g_{\mu \nu }\leftrightarrow {\big (}\phi ,{\vec {A}},\sigma _{ij}{\big )}$ : $\phi$ – ньютоновский потенциал , ${\vec {A}}$ известен как гравитомагнитный векторный потенциал и, наконец, $\sigma _{ij}$ представляет собой трехмерный симметричный тензор, известный как возмущение пространственной метрики. Переопределение поля определяется выражением $$ds^{2}\equiv g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=e^{2\phi }(dt-2\,{\vec {A}}\cdot d{\vec {x}})^{2}-e^{-2\phi }(\delta _{ij}+\sigma _{ij})\,dx^{i}\,dx^{j}.$$В компонентах это эквивалентно $${\begin{aligned}g_{00}&=e^{2\phi },\\g_{0i}&=-2\,e^{2\phi }\,A_{i},\\g_{ij}&=-e^{-2\phi }\,(\delta _{ij}+\sigma _{ij})+4\,e^{2\phi }\,A_{i}\,A_{j},\end{aligned}}$$где $i,j=1,2,3$.

Подсчет компонентов, $g_{\mu \nu }$ имеет 10, а $\phi$ имеет 1, ${\vec {A}}$ имеет 3 и наконец $\sigma _{ij}$ имеет 6. Следовательно, разложение по компонентам имеет вид $10=1+3+6$.

Мотивация определения

В постньютоновском пределе тела движутся медленно по сравнению со скоростью света , а значит, и гравитационное поле также медленно меняется. Приближая поля к независимости от времени, сокращение Калуцы-Клейна (KK) было адаптировано для применения к направлению времени. Напомним, что в своем исходном контексте редукция КК применяется к полям, которые не зависят от компактного пространственного четвертого направления. Короче говоря, разложение NRG представляет собой редукцию Калуцы-Клейна с течением времени.

По существу это определение было введено в интерпретируется в контексте постньютоновского расширения , и, наконец, нормализация ${\vec {A}}$ было изменено в улучшить аналогию между вращающимся объектом и магнитным диполем.

Связь со стандартными приближениями

По определению постньютоновское расширение предполагает приближение слабого поля . В пределах возмущения первого порядка метрики $g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$, где $\eta _{\mu \nu }$ — метрика Минковского , находим стандартное разложение слабого поля на скаляр, вектор и тензор $h_{\mu \nu }\to \left(h_{00},h_{0i},h_{ij}\right)$, что похоже на нерелятивистские гравитационные (NRG) поля. Важность полей NRG заключается в том, что они обеспечивают нелинейное расширение , тем самым облегчая вычисления более высоких порядков в слабом поле/постньютоновском расширении. Подводя итог, можно сказать, что поля NRG адаптированы для постньютоновского расширения более высокого порядка.

Физическая интерпретация

Скалярное поле $\phi$ интерпретируется как ньютоновский гравитационный потенциал.

Векторное поле ${\vec {A}}$ интерпретируется как гравитомагнитный векторный потенциал. Он магнитоподобен или аналогичен магнитному векторному потенциалу в электромагнетизме (ЭМ). В частности, его источником являются массивные токи (аналог зарядовых токов в ЭМ), а именно импульс .

отвечает гравитомагнитный векторный потенциал В результате за ток-токовое взаимодействие , который возникает в 1-м постньютоновском порядке. В частности, он создает отталкивающий вклад в силу между параллельными массивными токами. Однако это отталкивание нейтрализуется стандартным ньютоновским гравитационным притяжением, поскольку в гравитации текущий «провод» всегда должен быть массивным (заряженным) – в отличие от ЭМ.

Вращающийся объект является аналогом петли электромагнитного тока, которая формируется в виде магнитного диполя и, как таковая, создает магнитоподобное дипольное поле в ${\vec {A}}$.

Симметричный тензор $\sigma _{ij}$ известно как возмущение пространственной метрики. Это необходимо учитывать, начиная со 2-го постньютоновского порядка и далее. Если ограничиться первым постньютоновским порядком, $\sigma _{ij}$ можно пренебречь, и релятивистская гравитация описывается формулой $\phi$, ${\vec {A}}$ поля. Следовательно, он становится сильным аналогом электромагнетизма, аналогии, известной как гравитоэлектромагнетизм .

Приложения и обобщения

Проблема двух тел в общей теории относительности представляет как внутренний интерес, так и наблюдательный, астрофизический интерес. В частности, его используют для описания движения двойных компактных объектов , которые являются источниками гравитационных волн . Таким образом, изучение этой проблемы важно как для обнаружения, так и для интерпретации гравитационных волн .

В этой задаче двух тел эффекты ОТО улавливаются эффективным потенциалом двух тел, который расширяется в постньютоновском приближении. Было обнаружено, что нерелятивистские гравитационные поля позволяют экономить определение эффективного потенциала этих двух тел.

Обобщения

В более высоких измерениях , с произвольным измерением пространства-времени $d$, определение нерелятивистских гравитационных полей обобщается до

$$ds^{2}=e^{2\phi }(dt-2\,{\vec {A}}\cdot d{\vec {x}})^{2}-e^{-2\phi /(d-3)}(\delta _{ij}+\sigma _{ij})dx^{i}dx^{j}$$Замена $d=4$ воспроизводит стандартное определение 4d, приведенное выше.

См. также

• Нерелятивистское пространство-время