Ациклическая модель
В алгебраической топологии дисциплине , математической , теорема об ациклических моделях может использоваться, чтобы показать, что две гомологии изоморфны теории . Теорему Сэмюэл разработали топологи Эйленберг и Сондерс Маклейн . [1] Они обнаружили, что, когда топологи писали доказательства эквивалентности различных теорий гомологии, в процессах было много общего. Затем Эйленберг и Маклейн открыли теорему, обобщающую этот процесс.
Его можно использовать для доказательства теоремы Эйленберга – Зильбера ; это приводит к идее модельной категории .
Формулировка теоремы
[ редактировать ]Позволять быть произвольной категорией и – категория цепных комплексов - модули над некоторым кольцом . Позволять быть ковариантными функторами такими, что:
- для .
- Есть для такой, что имеет основу в , так является свободным функтором .
- является - и -ацикличны у этих моделей, а это значит, что для всех и все .
Тогда справедливы следующие утверждения: [2] [3]
- Каждое естественное преобразование вызывает естественную цепную карту .
- Если являются естественными преобразованиями, являются естественными цепными картами, как и раньше, и для всех моделей , то существует естественная гомотопия цепи между и .
- В частности, карта цепи уникальна с точностью до гомотопии естественной цепи .
Обобщения
[ редактировать ]Проективные и ациклические комплексы
[ редактировать ]То, что приведено выше, является одной из самых ранних версий теоремы. Другойверсия - это та, которая говорит, что если представляет собой комплекс изпроективы в абелевой категории и является ациклическимсложная в этой категории, то любая карта распространяется на цепную карту , уникальный догомотопия.
Это сводится почти к приведенной выше теореме, если использовать категорию функтора как абелева категория. Свободные функторы — это проективные объекты этой категории. Морфизмы в категории функторов являются естественными преобразованиями, поэтому все построенные цепные отображения и гомотопии являются естественными. Разница в том, что в приведенной выше версии ацикличность является более сильным предположением, чем ацикличность только для определенных объектов.
С другой стороны, приведенная выше версия почти подразумевает эту версию, позволяя категория только с одним объектом. Тогда свободный функтор по сути, это просто свободный (и, следовательно, проективный) модуль. ацикличность моделей (она всего одна) означает не что иное, как то, что комплекс является ациклическим.
Ациклические классы
[ редактировать ]Существует великая теорема, объединяющая оба вышеизложенных. [4] [5] Позволять быть абелевой категорией (например, или ). Класс цепных комплексов над будет называться ациклическим классом при условии, что:
- Комплекс 0 находится в .
- Комплекс принадлежит тогда и только тогда, когда приостановление делает.
- Если комплексы и гомотопны и , затем .
- Каждый комплекс в является ациклическим.
- Если представляет собой двойной комплекс, все строки которого находятся в , то полный комплекс принадлежит .
Есть три естественных примера ациклических классов, хотя, несомненно, существуют и другие. Первый — это гомотопически сжимаемые комплексы. Второй — ациклические комплексы. В категориях функторов (например, категория всех функторов от топологических пространств до абелевых групп) существует класс комплексов, которые сжимаемы на каждом объекте, но в которых сжатия не могут быть заданы естественными преобразованиями. Другой пример снова касается категорий функторов, но на этот раз комплексы ацикличны только для определенных объектов.
Позволять обозначают класс цепных отображений между комплексами, конус отображения которых принадлежит . Хотя не обязательно имеет исчисление правых или левых дробей, он имеет более слабые свойства наличия гомотопических классов как левых, так и правых дробей, которые позволяют сформировать класс получено путем инвертирования стрелок в . [4]
Позволять быть расширенным эндофунктором на , то есть происходит естественное преобразование (тождественный функтор на ). Мы говорим, что цепной комплекс является - презентабельно , если для каждого , цепной комплекс
принадлежит . Граничный оператор имеет вид
- .
Мы говорим, что цепной комплексный функтор является - ациклический , если комплекс дополненной цепи принадлежит .
Теорема . Позволять быть ациклическим классом и соответствующий класс стрелок в категории цепных комплексов. Предположим, что является -презентабельный и является -ациклический. Тогда любое естественное преобразование распространяется в категории к естественному преобразованию цепных функторов и этоуникальный в с точностью до цепных гомотопий. Если предположить, кроме того, что является -презентабельный, что является -ациклический, и это является изоморфизмом, то является гомотопической эквивалентностью.
Пример
[ редактировать ]Вот пример этой последней теоремы в действии. Позволять — категория триангулируемых пространств и — категория абелевых групповых функторов на . Позволять быть комплексным функтором сингулярной цепи и — комплексный функтор симплициальной цепи . Позволять быть функтором, который присваивает каждому пространству пространство
- .
Здесь, это -симплекс, и этот функтор присваивает сумма как можно большего количества копий каждого -симплекс, так как есть карты . Тогда пусть определяться . Есть явное увеличение и это побуждает человека . Можно показать, что оба и оба -презентабельный и -ациклический (доказательство того, что презентабельно, а ацикличность не совсем прямолинейна и использует обход через симплициальное подразделение, которое также можно решить с помощью приведенной выше теоремы). Класс — класс гомологических эквивалентностей. Довольно очевидно, что и таким образом мы заключаем, что сингулярные и симплициальные гомологии изоморфны на .
Есть много других примеров как в алгебре, так и в топологии, некоторые из которых описаны в [4] [5]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ С. Эйленберг и С. Мак Лейн (1953), «Ациклические модели». амер. Дж. Математика. 75 , стр. 189–199.
- ^ Джозеф Дж. Ротман , Введение в алгебраическую топологию (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 ( см. главу 9, выпуск 9.12 )
- ^ Дольд, Альбрехт (1980), Лекции по алгебраической топологии , Серия всесторонних исследований по математике, том. 200 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-10369-4
- ^ Jump up to: а б с М. Барр, « Ациклические модели » (1999).
- ^ Jump up to: а б М. Барр, Ациклические модели (2002), монография CRM 17 , Американское математическое общество. ISBN 978-0821828779 .
- Шон, Р. «Ациклические модели и вырезание». Учеб. амер. Математика. Соц. 59 (1) (1976), стр. 167–168.