Изолированный горизонт

См. Также: Нерасширяющийся горизонт.

было принято представлять Горизонты черных дыр через стационарные решения уравнений поля, т.е. решения, которые допускают трансляционное во времени векторное поле Киллинга повсюду, а не только в небольшой окрестности черной дыры. Хотя эта простая идеализация была естественной в качестве отправной точки, она слишком ограничительна. С физической точки зрения должно быть достаточно наложить граничные условия на горизонте, которые гарантируют изоляцию только самой черной дыры. То есть достаточно потребовать лишь того, чтобы внутренняя геометрия горизонта была независимой от времени, тогда как внешняя геометрия могла быть динамической и допускать гравитационное и другое излучение.

Преимущество изолированных горизонтов перед горизонтами событий состоит в том, что, хотя для определения горизонта событий необходима вся история пространства-времени, изолированные горизонты определяются только с использованием локальных структур пространства-времени. Законы механики черных дыр , первоначально доказанные для горизонтов событий, распространяются и на изолированные горизонты.

Изолированный горизонт $(\Delta \,,[\ell ])$ относится к квазилокальному определению , черной дыры находящейся в равновесии со своей внешней средой, и как внутренняя, так и внешняя структуры изолированного горизонта (IH) сохраняются классом нулевой эквивалентности $[\ell ]$. Концепция ИГ разработана на основе представлений о нерасширяющихся горизонтах (НВГ) и слабоизолированных горизонтах (СВГ): НЕГ представляет собой нулевую поверхность структура которой , внутренняя сохраняется и представляет собой геометрический прототип ВВГ и ИГ, а ВВГ представляет собой NEH с четко определенной поверхностной гравитацией , на основе которой механика черной дыры может быть квазилокально обобщена.

Определение ИГ

Трехмерное подмногообразие $\Delta$ оснащен классом эквивалентности $[\ell ]$ определяется как IH, если он соответствует следующим условиям:

(я) $\Delta$ является нулевым и топологически $S^{2}\times \mathbb {R}$;
(ii) Вдоль любого нулевого нормального поля $l$ касательная к $\Delta$, скорость исходящего расширения $\displaystyle \theta _{(l)}:={\hat {h}}^{ab}{\hat {\nabla }}_{a}l_{b}$ исчезает;
(iii) Все уравнения поля выполняются при $\Delta$, а тензор энергии-импульса $T_{ab}$ на $\Delta$ таков, что $V^{a}:=-T_{b}^{a}l^{b}$ является направленным в будущее причинным вектором ( $V^{a}V_{a}\leq 0$) для любого направленного в будущее нулевого нормального $l^{a}$.
(iv) Коммутатор $[{\mathcal {L}}_{\ell },{\mathcal {D}}_{a}]=0$, где ${\mathcal {D}}_{a}$ обозначает индуцированную связь на горизонте.

Примечание. Следуя соглашению, установленному в ссылках, «шляпа» над символом равенства ${\hat {=}}$ означает равенство на горизонтах черных дыр (NEH) и «шляпу» над количествами и операторами ( ${\hat {h}}^{ab}$, ${\hat {\nabla }}$и т. д.) обозначает находящиеся на горизонте или на слоеном листе горизонта (для ИГ это не имеет значения).

Граничные условия ИГ

Свойства общего ИГ проявляются как набор граничных условий, выраженных на языке формализма Ньюмана–Пенроуза :

$\kappa \,{\hat {=}}\,0$ ( геодезический ), ${\text{Im}}(\rho )\,{\hat {=}}\,0$ ( без скручиваний , гиперповерхность ортогональна), ${\text{Re}}(\rho )\,{\hat {=}}\,0$ ( без расширения ), $\sigma \,{\hat {=}}\,0$ ( без сдвига ),

$\Phi _{00}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Phi _{10}={\overline {\Phi _{01}}}\,{\hat {=}}\,0$ (отсутствие потока материи каких-либо зарядов через горизонт),

$\Psi _{0}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Psi _{1}\,{\hat {=}}\,0$ (нет гравитационных волн на горизонте).

Кроме того, для электромагнитного ИГ

$\phi _{0}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Phi _{02}={\overline {\Phi _{20}}}=\,2\,\phi _{0}\,{\overline {\phi _{2}}}\,{\hat {=}}\,0\,.$

Более того, в тетраде, адаптированной к структуре IH, у нас есть

$\pi \,{\hat {=}}\,\alpha +{\bar {\beta }}\,,\quad \varepsilon \,{\hat {=}}\,{\bar {\varepsilon }}\,,\quad {\bar {\mu }}\,{\hat {=}}\,\mu \,.$

Примечание. Фактически, эти граничные условия IH просто наследуют условия NEH .

Расширение адаптированной на горизонте тетрады

Полный анализ геометрии и механики ИГ опирается на адаптированную к горизонту тетраду. Однако более полное представление о ВГ часто требует исследования пригоризонтной окрестности и загоризонтной поверхности. Адаптированную тетраду на IH можно плавно расширить до следующей формы, которая охватывает как горизонт, так и загоризонтные области:

$l^{a}\partial _{a}=\partial _{v}+U\partial _{r}+X^{3}\partial _{y}+X^{4}\partial _{z}\,,$
$n^{a}\partial _{a}=-\partial _{r}\,,$
$m^{a}\partial _{a}=\Omega \partial _{r}+\xi ^{3}\partial _{y}+\xi ^{4}\partial _{z}\,,$
${\bar {m}}^{a}\partial _{a}={\bar {\Omega }}\partial _{r}+{\bar {\xi }}^{3}\partial _{y}+{\bar {\xi }}^{4}\partial _{z}\,.$

где $\{y,z\}$ являются либо действительными изотермическими координатами , либо комплексными стереографическими координатами, обозначающими сечения {v=constant, r=constant}, а калибровочные условия в этой тетраде имеют вид
$\nu =\tau =\gamma =0\,,\quad \mu ={\bar {\mu }}\,,\quad \pi =\alpha +{\bar {\beta }}\,.$

Приложения

Локальный характер определения изолированного горизонта делает его более удобным для численных исследований.

Локальная природа делает гамильтоново описание жизнеспособным. Эта концепция предлагает естественную отправную точку для непертурбативного квантования и получения энтропии черной дыры из микроскопических степеней свободы.

См. также

• Нерасширяющийся горизонт
• Формализм Ньюмана – Пенроуза