Нерасширяющийся горизонт

( Нерасширяющийся горизонт NEH ) представляет собой замкнутую нулевую поверхность , внутренняя структура которой сохраняется. NEH — это геометрический прототип изолированного горизонта , который описывает черную дыру , находящуюся в равновесии со своим внешним видом с квазилокальной точки зрения. На основе концепции и геометрии NEH разработаны два квазилокальных определения черных дыр: слабоизолированные горизонты и изолированные горизонты.

Определение NEH

Трехмерное подмногообразие ∆ определяется как общее (вращающееся и искаженное) NEH, если оно удовлетворяет следующим условиям:

(i) ∆ является нулевым и топологически $S^{2}\times \mathbb {R}$;
(ii) Вдоль любого нулевого нормального поля $l$ касательная к ∆, скорость исходящего расширения $\displaystyle \theta _{(l)}:={\hat {h}}^{ab}{\hat {\nabla }}_{a}l_{b}$ исчезает;
(iii) Все уравнения поля выполняются на ∆, и тензор энергии-импульса $T_{ab}$ на ∆ такова, что $V^{a}:=-T_{b}^{a}l^{b}$ является направленным в будущее причинным вектором ( $V^{a}V_{a}\leq 0$) для любого направленного в будущее нулевого нормального $l^{a}$.

Условие (i) довольно тривиально и просто констатирует тот общий факт, что с точки зрения 3+1 NEH ∆ расслаивается на пространственноподобные 2-сферы ∆'=S ² , где S ² подчеркивает, что ∆' топологически компактен нулевого рода ( $g=0$). Сигнатура ∆ — это (0,+,+) с вырожденной временной координатой, а внутренняя геометрия листа слоения ∆'=S ² является неэволюционным. Недвижимость $\theta _{(l)}=0$ в условии (ii) играет ключевую роль в определении NEH, и заложенные в нем богатые последствия будут подробно обсуждаться ниже. Условие (iii) позволяет смело применять формализм Ньюмана–Пенроуза (NP). уравнений поля Эйнштейна -Максвелла к горизонту и его окологоризонтной окрестности; более того, само энергетическое неравенство мотивировано доминирующим энергетическим условием и является достаточным условием для вывода многих граничных условий НЭГ.

Примечание . В этой статье, следуя соглашению, установленному в ссылках, «шляпа» над символом равенства ${\hat {=}}$ означает равенство на горизонтах черных дыр (NEH) и «шляпу» над количествами и операторами ( ${\hat {h}}^{ab}$, ${\hat {\nabla }}$и т. д.) обозначает те, что находятся на слоенистом листе горизонта. Кроме того, ∆ является стандартным символом как для NEH, так и для производной по направлению ∆. $:=n^{a}\nabla _{a}$ в формализме NP, и мы считаем, что это не вызовет двусмысленности.

Граничные условия, подразумеваемые определением

Теперь давайте разберемся в значениях определения NEH, и эти результаты будут выражены на языке NP-формализма с соглашением $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$ (Примечание: в отличие от исходного соглашения $\{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}$, это обычный метод, используемый при изучении захваченных нулевых поверхностей и квазилокальных определений черных дыр. ). Будучи нулевой нормалью к ∆, $l^{a}$ автоматически является геодезическим , $\kappa :=-m^{a}l^{b}\nabla _{b}l_{a}\,{\hat {=}}\,0$, и выкрутиться на свободу, ${\text{Im}}(\rho )={\text{Im}}(-m^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}l_{a})\,{\hat {=}}\,0$. Для NEH скорость исходящего расширения $\theta _{(l)}$ вдоль $l^{a}$ исчезает, $\theta _{(l)}\,{\hat {=}}\,0$, и, следовательно, ${\text{Re}}(\rho )={\text{Re}}(-m^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}l_{a})=-{\frac {1}{2}}\theta _{(l)}\,{\hat {=}}\,0$. Более того, согласно уравнению расширения-скручивания Райчаудхури-NP ,

$(1)\qquad D\rho =\rho ^{2}+\sigma {\bar {\sigma }}+{\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,0\,,$

отсюда следует, что на ∆

$(2)\qquad \sigma {\bar {\sigma }}+{\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,0\,,$

где $\sigma :=-m^{b}m^{a}\nabla _{a}l_{b}$ – коэффициент NP-сдвига. В силу принятого энергетического условия (iii) имеем $R_{ab}l^{a}l^{b}=R_{ab}l^{a}l^{b}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}l^{a}l^{b}=8\pi \,T_{ab}l^{a}l^{b}$ ( $c=G=1$), и поэтому $R_{ab}l^{a}l^{b}$ неотрицательна на ∆. Продукт $\sigma {\bar {\sigma }}$ конечно, тоже неотрицательен. Следовательно, $\sigma {\bar {\sigma }}$ и $R_{ab}l^{a}l^{b}$ должно быть одновременно нулевым на ∆, т.е. $\sigma \,{\hat {=}}\,0$ и $R_{ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,0$. В качестве резюме,

$(3)\qquad \kappa \,{\hat {=}}\,0\,,\quad {\text{Im}}(\rho )\,{\hat {=}}\,0\,,\quad {\text{Re}}(\rho )\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \sigma \,{\hat {=}}\,0\,,\quad R_{ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,0.$

Таким образом, изолированный горизонт ∆ неэволюционен и все слоения выходят из ∆'=S ² выглядят одинаково друг с другом. Отношение $R_{ab}l^{a}l^{b}=8\pi \cdot T_{ab}l^{a}l^{b}=8\pi \cdot T_{b}^{a}l^{b}\cdot l_{a}\,{\hat {=}}\,0$ подразумевает, что причинный вектор $-T_{b}^{a}l^{b}$ в условии (iii) пропорциональна $l^{a}$ и $R_{ab}l^{b}$ пропорционально $l_{a}$ на горизонте ∆; то есть, $-T_{b}^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,cl^{a}$ и $R_{ab}l^{b}\,{\hat {=}}\,cl_{a}$, $c\in \mathbb {R}$. Применяя этот результат к соответствующим скалярам Риччи-NP, мы получаем $\Phi _{00}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,{\hat {=}}\,{\frac {c}{2}}\,l_{b}l^{b}\,{\hat {=}}\,0$, и $\Phi _{01}={\overline {\Phi _{10}}}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}m^{b}\,{\hat {=}}\,{\frac {c}{2}}\,l_{b}m^{b}\,{\hat {=}}\,0$, таким образом

$(4)\qquad R_{ab}l^{b}\,{\hat {=}}\,cl_{a}\,,\quad \Phi _{00}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Phi _{10}={\overline {\Phi _{01}}}\,{\hat {=}}\,0\,.$

Исчезновение скаляров Риччи-NP. $\{\Phi _{00}\,,\Phi _{01}\,,\Phi _{10}\}$ нет потока энергии-импульса какого -либо заряда означает, что через горизонт , такого как электромагнитные волны , поток Янга – Миллса или дилатонов поток . Также не должно быть гравитационных волн, пересекающих горизонт; однако гравитационные волны представляют собой распространение возмущений пространственно-временного континуума, а не потоков зарядов, и поэтому изображаются четырьмя скалярами Вейля-NP. $\Psi _{i}\;(i=0,1,3,4)$ (исключая $\Psi _{2}$), а не величины Риччи-NP $\Phi _{ij}$. Согласно сдвига Райчаудхури-NP уравнению

$(5)\qquad D\sigma =\sigma (\rho +{\bar {\rho }})+\Psi _{0}=-2\sigma \theta _{(l)}+\Psi _{0}\,,$

или уравнение поля NP на горизонте

$(6)\qquad D\sigma -\delta \kappa =(\rho +{\bar {\rho }})\sigma +(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\sigma -(\tau -{\bar {\pi }}+{\bar {\alpha }}+3\beta )\kappa +\Psi _{0}\,{\hat {=}}\,0\,,$

отсюда следует, что $\Psi _{0}:=C_{abcd}l^{a}m^{b}l^{c}m^{d}\,{\hat {=}}\,0$. Более того, уравнение NP

$(7)\qquad \delta \rho -{\bar {\delta }}\sigma =\rho ({\bar {\alpha }}+\beta )-\sigma (3\alpha -{\bar {\beta }})+(\rho -{\bar {\rho }})\tau +(\mu -{\bar {\mu }})\kappa -\Psi _{1}+\Phi _{01}\,{\hat {=}}\,0$

подразумевает, что $\Psi _{1}:=C_{abcd}l^{a}n^{b}l^{c}m^{d}\,{\hat {=}}\,0$. Подводя итог, мы имеем

$(8)\qquad \Psi _{0}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Psi _{1}\,{\hat {=}}\,0\,,$

это означает, что, геометрически главное нулевое направление тензора Вейля повторяется дважды и $l^{a}$ соответствует основному направлению; физически гравитационные волны отсутствуют (поперечная компонента $\Psi _{0}$ и продольная составляющая $\Psi _{1}$) войти в черную дыру. Этот результат согласуется с физическим сценарием, определяющим NEH.

Примечания: Спиновые коэффициенты, связанные с уравнением Райчаудхури.

Для лучшего понимания предыдущего раздела мы кратко рассмотрим значения соответствующих спиновых коэффициентов NP при изображении нулевых конгруэнций . Тензорная форма уравнения Райчаудхури управление чтением нулевых потоков

$(9)\qquad {\mathcal {L}}_{\ell }\theta _{(l)}=-{\frac {1}{2}}\theta _{(l)}^{2}+{\tilde {\kappa }}_{(l)}\theta _{(l)}-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}+{\tilde {\omega }}_{ab}{\tilde {\omega }}^{ab}-R_{ab}l^{a}l^{b}\,,$

где ${\tilde {\kappa }}_{(l)}$ определяется так, что ${\tilde {\kappa }}_{(l)}l^{b}:=l^{a}\nabla _{a}l^{b}$. Величины в уравнении Райчаудхури связаны со спиновыми коэффициентами соотношением

$(10)\qquad \theta _{(l)}=-(\rho +{\bar {\rho }})=-2{\text{Re}}(\rho )\,,\quad \theta _{(n)}=\mu +{\bar {\mu }}=2{\text{Re}}(\mu )\,,$

$(11)\qquad \sigma _{ab}=-\sigma {\bar {m}}_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {\sigma }}m_{a}m_{b}\,,$

$(12)\qquad {\tilde {\omega }}_{ab}={\frac {1}{2}}\,{\Big (}\rho -{\bar {\rho }}{\Big )}\,{\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big )}={\text{Im}}(\rho )\cdot {\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big )}\,,$

где уравнение (10) следует непосредственно из ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}$ и

$(13)\qquad \theta _{(l)}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}l_{b}=m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}l_{b}+{\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _{a}l_{b}=m^{b}{\bar {\delta }}l_{b}+{\bar {m}}^{b}\delta l_{b}=-(\rho +{\bar {\rho }})\,,$

$(14)\qquad \theta _{(n)}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _{a}n_{b}+m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b}\delta n_{b}+m^{b}{\bar {\delta }}n_{b}=\mu +{\bar {\mu }}\,.$

Более того, нулевая конгруэнция является ортогональной гиперповерхности, если ${\text{Im}}(\rho )=0$.

Ограничения от электромагнитных полей

Вакуумные НЭХ, на которых $\{\Phi _{ij}{\hat {=}}0\,,\Lambda _{}{\hat {=}}0\}$ являются простейшими типами НЭП, но в целом вокруг НЭП могут существовать различные физически значимые поля, среди которых нас больше всего интересуют электровакуумные поля с $\Lambda {\hat {=}}0$. Это простейшее расширение вакуумных NEH, и ненулевой тензор энергетического напряжения для электромагнитных полей имеет вид

$(15)\qquad T_{ab}={\frac {1}{4\pi }}\,{\Big (}\,F_{ac}F_{b}^{c}-{\frac {1}{4}}g_{ab}F_{cd}F^{cd}{\Big )}\,,$

где $F_{ab}$ относится к антисимметричному ( $F_{ab}=-F_{ba}$, $F_{a}^{a}=0$) напряженность электромагнитного поля и $T_{ab}$ не имеет следов ( $T_{a}^{a}=0$) по определению и учитывает доминирующее энергетическое состояние. (Следует быть осторожным с антисимметрией $F_{ab}$ при определении скаляров Максвелла-NP $\phi _{i}$).

Граничные условия, полученные в предыдущем разделе, применимы к общим NEH. В электромагнитном случае $\Phi _{ij}$ можно указать более конкретно. Согласно формализму NP уравнений Эйнштейна-Максвелла имеем

$(16)\qquad \Phi _{ij}=\,2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi _{j}}}\,,\quad i,j\in \{0,1,2\}\,,$

где $\phi _{i}$ обозначают три скаляра Максвелла-NP. В качестве альтернативы Eq() мы видим, что условие $\Phi _{00}=0$ также является результатом уравнения NP

$(17)\qquad D\rho -{\bar {\delta }}\kappa =(\rho ^{2}+\sigma {\bar {\sigma }})+(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\rho -{\bar {\kappa }}\tau -(3\alpha +{\bar {\beta }}-\pi )\,\kappa +\Phi _{00}\,{\hat {=}}\,0\,$

как $\kappa _{}\,{\hat {=}}\,\rho \,{\hat {=}}\,\sigma =0$, так

$(18)\qquad \Phi _{00}\,{\hat {=}}\,0\;\;\Leftrightarrow \;\;2\,\phi _{0}\,{\overline {\phi _{0}}}\,{\hat {=}}\,0\;\;\Rightarrow \;\;\phi _{0}={\overline {\phi _{0}}}\,{\hat {=}}\,0\,.$

Из этого следует, что

$(19)\qquad \Phi _{01}={\overline {\Phi _{10}}}=\,2\,\phi _{0}\,{\overline {\phi _{1}}}\,{\hat {=}}\,0\,,\quad \Phi _{02}={\overline {\Phi _{20}}}=\,2\,\phi _{0}\,{\overline {\phi _{2}}}\,{\hat {=}}\,0\,.$

Эти результаты показывают, что электромагнитные волны поперек ( $\Phi _{00}$, $\Phi _{01}$) или вдоль (\Phi_{02}) NEH, за исключением нулевых геодезических, образующих горизонт. Также стоит отметить, что дополнительное уравнение $\Phi _{ij}=2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi _{j}}}$ в Eq() справедливо только для электромагнитных полей; например, в случае месторождений Янга–Миллса будет $\Phi _{ij}=\,{\text{Tr}}\,{\big (}\,\digamma _{i}\,{\bar {\digamma }}_{j}\,{\big )}$ где $\digamma _{i}(i\in \{0,1,2\}$ являются скалярами Янга–Миллса-NP.

Адаптированная тетрада по NEH и другим свойствам

Обычно для достижения наиболее краткого описания NP используются нулевые тетрады, адаптированные к свойствам пространства-времени. Например, нулевая тетрада может быть адаптирована к основным нулевым направлениям, если тип Петрова известен ; Кроме того, в некоторых типичных пограничных областях, таких как нулевая бесконечность, времениподобная бесконечность, пространственноподобная бесконечность, горизонты черных дыр и космологические горизонты , тетрады могут быть адаптированы к граничным структурам. Аналогично, предпочтительная тетрада адаптированный к геометрическому поведению на горизонте, используется в литературе для дальнейшего исследования NEH.

Как указано с точки зрения 3+1 из условия (i) определения, NEH ∆ расслаивается на пространственноподобные гиперповерхности ∆'=S ² поперечно нулевой нормали вдоль входящей нулевой координаты $v$, где мы следуем стандартным обозначениям входящих нулевых координат Эддингтона – Финкельштейна и используем $v$ пометить двумерные листья $S_{v}^{2}$ в $v={\text{constant}}$; то есть, ${}\Delta ={}\Delta 'x[v_{o},v_{1}]=S^{2}[v_{o},v_{1}]$. $v$ настроен на будущее и выбирает первый тетрадный ковектор $n_{a}$ как $n_{a}=-dv$, и тогда будет уникальное векторное поле $l^{a}$ как нулевые нормали к $S_{v}^{2}$ удовлетворяющий перекрестной нормализации $l^{a}n_{a}=-1$ и аффинная параметризация $Dv=1$; такой выбор $\{l^{a},n^{a}\}$ на самом деле дает предпочтительное слоение ∆. Пока $\{l^{a}\,,n^{a}\}$ связаны с внешними свойствами и нулевыми генераторами (т.е. нулевыми потоками/геодезической конгруэнтностью на ∆), остальные два комплексных нулевых вектора $\{m^{a},{\bar {m}}^{a}\}$ должны охватывать внутреннюю геометрию листа слоения $S_{v}^{2}$, касательная к ∆ и трансверсальная к $\{l^{a}\,,n^{a}\}$; то есть, ${\mathcal {L}}_{\ell }m\,{\hat {=}}\,{\mathcal {L}}_{\ell }{\bar {m}}{\hat {=}}0$.

Теперь давайте проверим последствия такой адаптированной тетрады. С

$(20)\qquad {\mathcal {L}}_{\ell }m=[\ell ,m]\,{\hat {=}}\,0\;\Rightarrow \;\delta D-D\delta =({\bar {\alpha }}+\beta -{\bar {\pi }})D+\kappa _{}\Delta -({\bar {\rho }}+\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\delta -\sigma {\bar {\delta }}\,{\hat {=}}\,0\,,$

с $\kappa _{}\,{\hat {=}}\,\rho \,{\hat {=}}\,\sigma \,{\hat {=}}\,0$, у нас есть

$(21)\qquad \pi \,{\hat {=}}\,\alpha +{\bar {\beta }}\,,\quad \varepsilon \,{\hat {=}}\,{\bar {\varepsilon }}\,.$

Кроме того, в такой адаптированной системе координат производная ${\mathcal {L}}_{\bar {m}}m$ на ${}\Delta ={}\Delta 'x[v_{o},v_{1}]=S^{2}[v_{o},v_{1}]$ должно быть чисто внутренним; таким образом в коммутаторе

$(22)\qquad {\mathcal {L}}_{\bar {m}}m=[{\bar {m}},m]={\bar {\delta }}\delta -\delta {\bar {\delta }}=({\bar {\mu }}-\mu )D+({\bar {\rho }}-\rho )\Delta -({\bar {\beta }}-\alpha )\delta -({\bar {\alpha }}-\beta ){\bar {\delta }}\,,$

коэффициенты для производных по направлению $D$ и ∆ должно быть равно нулю, т.е.

$(23)\qquad {\bar {\mu }}\,{\hat {=}}\,\mu \,,\quad {\mathcal {L}}_{\bar {m}}m\,{\hat {=}}\,(\alpha -{\bar {\beta }})\delta -({\bar {\alpha }}-\beta ){\bar {\delta }}\,,$

поэтому входящее нулевое нормальное поле $n^{a}$ не имеет скручиваний благодаря ${\text{Im}}(\mu )={\text{Im}}({\bar {m}}^{a}m^{b}\nabla _{b}n_{a})=0$, и $2\mu =2{\text{Re}}(\mu )$ равен входящей скорости расширения $\theta _{(n)}$.

Обсуждение

На данный момент были введены определение и граничные условия NEH. Граничные условия включают условия для произвольного NEH, специфические характеристики для (электромагнитных) NEH Эйнштейна-Максвелла, а также дополнительные свойства адаптированной тетрады. На основе NEH можно определить WIH, которые имеют действительную поверхностную гравитацию, чтобы обобщить механику черной дыры. WIH достаточны для изучения физики на горизонте, но для геометрических целей к WIH можно наложить более сильные ограничения, чтобы ввести IH, где класс эквивалентности нулевых нормалей $[\ell ]$ полностью сохраняет индуцированную связь ${\mathcal {D}}$ на горизонте.