Разбить продукт

В топологии , разделе математики , смешанное произведение двух точечных пространств (т.е. пространств с выделенными базовыми точками) $(X, x0 при)$ и $(Y, y0 топологических)$ является фактором произведения пространства $X \times Y$ отождествлениях $(x, y 0) ~ (x 0, y)$ для всех $x$ в $X$ и $y$ в $Y$ . Продукт Smash сам по себе является точечным пространством, где базовая точка является эквивалентности классом $(x 0, y 0).$ Смэш-продукт обычно обозначается $X \land Y$ или $X ⨳ Y$ . Продукт Smash зависит от выбора базовых точек (если только X и Y не являются однородными ).

Можно думать, что $X$ и $Y$ находятся внутри $X \times Y$ как подпространства $X \times {y 0$ } и ${x 0} \times Y .$ Эти подпространства пересекаются в одной точке: $(x 0, y 0),$ базовой точке $X \times Y .$ Таким образом, объединение этих подпространств можно отождествить с клиновой суммой $X\vee Y=(X\amalg Y)\;/{\sim }$ . В частности, ${x 0} \times Y$ в $X \times Y$ отождествляется с $Y$ в $X\vee Y$ , то же самое для $X \times {y 0$ } и $X$ . В $X\vee Y$ , подпространства $X$ и $Y$ пересекаются в одной точке $x_{0}\sim y_{0}$ . Тогда продуктом удара будет частное

X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y).

Смэш-произведение появляется в теории гомотопий , разделе алгебраической топологии . В теории гомотопий часто работают с категорией пространств, отличной от категории всех топологических пространств . В некоторых из этих категорий определение топового продукта необходимо немного изменить. Например, смешанный продукт двух комплексов CW является комплексом CW, если в определении используется продукт комплексов CW, а не топология продукта . Подобные модификации необходимы и в других категориях.

Примеры

Смэш-произведение любого точечного пространства с 0 -сферой ( дискретное пространство с двумя точками) гомеоморфно X X .
Смэш-произведение двух окружностей представляет собой частное тора, гомеоморфного 2-сфере.
В более общем смысле, столкновение двух сфер S ^м и С ^н гомеоморфна сфере S ^{м + н}.
произведение пространства X с окружностью гомеоморфно приведенной надстройке X Смэш - : $\Sigma X\cong X\wedge S^{1}.$
Приведенная k - кратная итерация надстройки X гомеоморфна совместному произведению X и k -сферы. $\Sigma ^{k}X\cong X\wedge S^{k}.$
В теории предметной области берём произведение двух предметных областей (чтобы произведение было строгим по своим аргументам).

Как симметричное моноидальное произведение

Для любых точечных пространств X , Y и Z в подходящей «удобной» категории (например, категории компактно порожденных пространств ) существуют естественные (сохраняющие базовую точку) гомеоморфизмы.

{\begin{aligned}X\wedge Y&\cong Y\wedge X,\\(X\wedge Y)\wedge Z&\cong X\wedge (Y\wedge Z).\end{aligned}}

Однако для наивной категории точечных пространств это не удается, как показывает контрпример $X=Y=\mathbb {Q}$ и $Z=\mathbb {N}$ нашел Дитер Пуппе . ^{[ 1 ]} Доказательство того, что контрпример Пуппе действительно является контрпримером, принадлежит Кэтлин Льюис, можно найти в книге Иоганна Сигурдссона и Дж. Питера Мэя . ^{[ 2 ]}

Эти изоморфизмы превращают соответствующую категорию точечных пространств в симметричную моноидальную категорию со смешанным произведением в качестве моноидального произведения и заостренной 0-сферой (двухточечное дискретное пространство) в качестве единичного объекта. Поэтому можно думать о смэш-продукте как о своего рода тензорном произведении в соответствующей категории точечных пространств.

Сопряженные отношения

Сопряженные функторы делают аналогию между тензорным произведением и произведением смэша более точной. В категории R -модулей над коммутативным кольцом R тензорный функтор $(-\otimes _{R}A)$ остается сопряженным с внутренним функтором Hom $\mathrm {Hom} (A,-)$ , так что

\mathrm {Hom} (X\otimes A,Y)\cong \mathrm {Hom} (X,\mathrm {Hom} (A,Y)).

В категории точечных пространств роль тензорного произведения в этой формуле играет произведение смэша: если $A,X$ компактны по Хаусдорфу, то мы имеем присоединение

\mathrm {Maps_{*}} (X\wedge A,Y)\cong \mathrm {Maps_{*}} (X,\mathrm {Maps_{*}} (A,Y))

где $\operatorname {Maps_{*}}$ обозначает непрерывные карты, которые отправляют базовую точку в базовую точку, и $\mathrm {Maps_{*}} (A,Y)$ несет компактно-открытую топологию . ^{[ 3 ]}

В частности, взяв $A$ быть единичным кругом $S^{1}$ , мы видим, что приведенный функтор подвески $\Sigma$ слева сопряжен с пространства цикла функтором $\Omega$ :

\mathrm {Maps_{*}} (\Sigma X,Y)\cong \mathrm {Maps_{*}} (X,\Omega Y).

Примечания

^ Кукла, Дитер (1958). «Гомотопические множества и их индуцированные отображения. I.». Математический журнал . 69 : 299-344. дои : 10.1007/BF01187411 . MR0100265 . S2CID 121402726 . (стр. 336)
^ Мэй, Дж. Питер ; Сигурдссон, Иоганн (2006). Параметризованная гомотопическая теория . Математические обзоры и монографии. Том. 132. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . раздел 1.5. ISBN 978-0-8218-3922-5 . МР 2271789 .
^ «Алгебраическая топология», Маундер, теорема 6.2.38c

Ссылки

Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0 .

[1] Кукла, Дитер (1958). «Гомотопические множества и их индуцированные отображения. I.». Математический журнал . 69 : 299-344. дои : 10.1007/BF01187411 . MR0100265 . S2CID 121402726 . (стр. 336)

[2] Мэй, Дж. Питер ; Сигурдссон, Иоганн (2006). Параметризованная гомотопическая теория . Математические обзоры и монографии. Том. 132. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . раздел 1.5. ISBN 978-0-8218-3922-5 . МР 2271789 .

[3] «Алгебраическая топология», Маундер, теорема 6.2.38c

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]