Гипотеза Басса – Квиллена

В математике гипотеза Басса – Квиллена связывает векторные расслоения над регулярным нетеровым кольцом A и кольцом многочленов. $A[t_{1},\dots ,t_{n}]$ . Гипотеза Хаймана названа в честь Басса и Дэниела Квиллена , которые ее сформулировали. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Формулировка гипотезы

Гипотеза представляет собой утверждение о конечно порожденных проективных модулях . Такие модули также называются векторными расслоениями. Для кольца A множество классов изоморфизма векторных расслоений над A ранга r обозначается через $\operatorname {Vect} _{r}A$ .

Гипотеза утверждает, что для регулярного нётерова кольца A задание

M\mapsto M\otimes _{A}A[t_{1},\dots ,t_{n}]

дает биекцию

\operatorname {Vect} _{r}A\,{\stackrel {\sim }{\to }}\operatorname {Vect} _{r}(A[t_{1},\dots ,t_{n}]).

Известные случаи

Если A = k — поле , гипотеза Басса–Квиллена утверждает, что любой проективный модуль над $k[t_{1},\dots ,t_{n}]$ бесплатно . Этот вопрос был поставлен Жан-Пьером Серром и позже доказан Квилленом и Суслином; см . теорему Квиллена – Суслина . В более общем смысле, гипотеза была доказана Линделем (1981) в случае, когда A — гладкая алгебра над полем k . Другие известные случаи рассмотрены в Lam (2006) .

Расширения

Множество классов изоморфизма векторных расслоений ранга r над A можно также отождествить с неабелевых когомологий группой

H_{Nis}^{1}(Spec(A),GL_{r}).

Положительные результаты о гомотопической инвариантности

H_{Nis}^{1}(U,G)

изотропных редуктивных групп G были получены Асоком, Хойойсом и Вендтом (2018) с помощью A ¹ гомотопическая теория .

Ссылки

^ Басс, Х. (1973), Некоторые проблемы «классической» алгебраической K-теории. Алгебраическая K-теория II , Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag , раздел 4.1
^ Квиллен, Д. (1976), «Проективные модули над кольцами полиномов», Invent. Математика. , 36 : 167–171, Бибкод : 1976InMat..36..167Q , doi : 10.1007/bf01390008 , S2CID 119678534

Асок, Аравинд; Ойойа, Марк; Вендт, Матиас (2018), «Аффинная представимость приводит к A^1-гомотопической теории II: главные расслоения и однородные пространства», Geom. Тополь. , 22 (2): 1181–1225, arXiv : 1507.08020 , doi : 10.2140/gt.2018.22.1181 , S2CID 119137937 , Zbl 1400.14061
Линдель, Х. (1981), «О гипотезе Басса – Квиллена о проективных модулях над кольцами полиномов», Invent. Математика. , 65 (2): 319–323, Bibcode : 1981InMat..65..319L , doi : 10.1007/bf01389017 , S2CID 120337628
Лам, TY (2006), Проблема Серра о проективных модулях , Берлин: Springer, ISBN 3-540-23317-2 , Збл 1101.13001

[1] Басс, Х. (1973), Некоторые проблемы «классической» алгебраической K-теории. Алгебраическая K-теория II , Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag , раздел 4.1

[2] Квиллен, Д. (1976), «Проективные модули над кольцами полиномов», Invent. Математика. , 36 : 167–171, Бибкод : 1976InMat..36..167Q , doi : 10.1007/bf01390008 , S2CID 119678534

[ 1 ]

[ 2 ]