Bishop–Gromov inequality

В математике неравенство Бишопа -Громова — теорема сравнения в римановой геометрии , названная в честь Ричарда Л. Бишопа и Михаила Громова . Она тесно связана с теоремой Майерса и является ключевым моментом в доказательстве теоремы Громова о компактности .

Заявление

Позволять $M$ — полное n -мерное риманово многообразие, кривизна Риччи которого удовлетворяет нижней оценке

$\mathrm {Ric} \geq (n-1)K$

для постоянного $K\in \mathbb {R}$. Позволять $M_{K}^{n}$ — полное n -мерное односвязное пространство постоянной поперечной кривизны. $K$ (и, следовательно, постоянной кривизны Риччи $(n-1)K$); таким образом $M_{K}^{n}$ - это n - сфера радиуса $1/{\sqrt {K}}$ если $K>0$, или n -мерное евклидово пространство , если $K=0$или соответствующим образом масштабированную версию n -мерного гиперболического пространства , если $K<0$. Обозначим через $B(p,r)$ шар радиуса r вокруг точки p , определенный относительно римановой функции расстояния .

Тогда для любого $p\in M$ и $p_{K}\in M_{K}^{n}$, функция

$\phi (r)={\frac {\mathrm {Vol} \,B(p,r)}{\mathrm {Vol} \,B(p_{K},r)}}$

не увеличивается на $(0,\infty )$.

Когда r стремится к нулю, отношение приближается к единице, поэтому вместе с монотонностью это означает, что

$\mathrm {Vol} \,B(p,r)\leq \mathrm {Vol} \,B(p_{K},r).$

Эту версию впервые доказал Бишоп.

См. также

• Теорема сравнения
• Gromov's inequality (disambiguation)