Метрика Хатчинсона

В математике , метрика Хатчинсона также известная как метрика Канторовича, представляет собой функцию , которая измеряет «расхождение между двумя изображениями для использования при фрактальной обработке изображений » и «также может применяться для описания сходства между ДНК последовательностями , выраженными как реальные или сложные геномные сигналы». . ^[1]^[2]

Формальное определение

Рассмотрим только непустые , компактные и конечные метрические пространства . Для такого пространства $X$ , позволять $P(X)$ обозначим пространство борелевских вероятностных мер на $X$ , с

\delta :X\rightarrow P(X)

вложение, связанное с $x\in X$ точечная мера $\delta _{x}$ . Поддержка $|\mu |$ меры в $P(X)$ — наименьшее замкнутое подмножество меры 1.

Если $f:X_{1}\rightarrow X_{2}$ измеримо по Борелю, то индуцированное отображение

f_{*}:P(X_{1})\rightarrow P(X_{2})

партнеры по $\mu$ мера $f_{*}(\mu )$ определяется

f_{*}(\mu )(B)=\mu (f^{-1}(B))

для всех $B$ Борель в $X_{2}$ .

Тогда метрика Хатчинсона имеет вид

d(\mu _{1},\mu _{2})=\sup \left\lbrace \int u(x)\,\mu _{1}(dx)-\int u(x)\,\mu _{2}(dx)\right\rbrace

где $\sup$ берется за все действительные функции $u$ с постоянной Липшица $\leq \!1.$

Затем $\delta$ представляет собой вложение изометрическое $X$ в $P(X)$ , и если $f:X_{1}\rightarrow X_{2}$ тогда это Липшиц $f_{*}:P(X_{1})\rightarrow P(X_{2})$ является липшицевым с той же константой Липшица. ^[3]

См. также

Источники и примечания

^ Дракопулос, В.; Николау, Н.П. (декабрь 2004 г.). «Эффективное вычисление метрики Хатчинсона между оцифрованными изображениями». Транзакции IEEE при обработке изображений . 13 (12): 1581–1588. дои : 10.1109/tip.2004.837550 . ПМИД 15575153 .
^ Метрика Хатчинсона во фрактальном анализе ДНК - подход нейронных сетей. Архивировано 18 августа 2011 г., в Wayback Machine.
^ «Инвариантные меры для динамических систем с множеством значений» Уолтер Миллер; Итан Акин Труды Американского математического общества , Vol. 351, № 3. (март 1999 г.), стр. 1203–1225]

[1] Дракопулос, В.; Николау, Н.П. (декабрь 2004 г.). «Эффективное вычисление метрики Хатчинсона между оцифрованными изображениями». Транзакции IEEE при обработке изображений . 13 (12): 1581–1588. дои : 10.1109/tip.2004.837550 . ПМИД 15575153 .

[2] Метрика Хатчинсона во фрактальном анализе ДНК - подход нейронных сетей. Архивировано 18 августа 2011 г., в Wayback Machine.

[3] «Инвариантные меры для динамических систем с множеством значений» Уолтер Миллер; Итан Акин Труды Американского математического общества , Vol. 351, № 3. (март 1999 г.), стр. 1203–1225]

[1]

[2]

[3]