Контурный резонатор

Цилиндрический петлевой резонатор длиной $\ell$.

Петлевой резонатор ( ЛГР ) — электромагнитный резонатор, работающий в радио- и микроволновом диапазонах частот. Простейшие ЛГР изготавливаются из проводящей трубки с узкой щелью, разрезанной по длине. в свободном пространстве Размеры LGR обычно намного меньше длины волны электромагнитных полей на резонансной частоте. Следовательно, относительно компактные LGR могут быть спроектированы для работы на частотах, которые слишком низки, чтобы их можно было получить, например, с помощью резонаторов . Эти структуры могут иметь очень острые резонансы (высокая добротность ), что делает их полезными для по электронному спиновому резонансу (ЭПР). экспериментов и прецизионные измерения электромагнитных свойств материалов ( диэлектрическая проницаемость и проницаемость ).

Фон

Контурные резонаторы (LGR) можно моделировать как схемы с сосредоточенными элементами . Щель по длине резонатора имеет эффективную емкость $C$ а отверстие резонатора имеет эффективную индуктивность $L$. На резонансной частоте или вблизи нее вдоль внутренней стенки резонатора устанавливается окружной ток. Эффективное сопротивление $R$ ограничивающее этот ток, частично определяется удельным сопротивлением $\rho$ и электромагнитная глубина скин-слоя $\delta$ проводника, использованного для изготовления LGR. Таким образом, можно смоделировать LGR как $LRC$ схема . Поскольку ток LGR максимален на резонансной частоте, эквивалентная модель схемы представляет собой серию $LRC$ схема. Эта модель схемы работает хорошо при условии, что размеры резонатора остаются небольшими по сравнению с длиной волны электромагнитных полей в свободном пространстве.

Одним из преимуществ LGR является то, что он создает области однородных электрических и магнитных полей, изолированных друг от друга. Внутри щели LGR существует однородное электрическое поле, а внутри канала резонатора существует однородное магнитное поле. Однородное магнитное поле делает LGR хорошим источником микроволновых магнитных полей в экспериментах по ЭПР. Кроме того, поскольку электрические и магнитные поля изолированы друг от друга, можно использовать LGR для независимого исследования электрических и магнитных свойств материалов. Например, если зазор LGR заполнен диэлектрическим материалом, эффективная емкость LGR будет изменена, что приведет к изменению частоты. $f_{0}$ и добротность $Q$ резонанса. Измерения изменений в $f_{0}$ и $Q$ может быть использован для полного определения комплексной диэлектрической проницаемости диэлектрического материала. Аналогично, если отверстие LGR заполнено магнитным материалом, эффективная индуктивность LGR будет изменена и, как следствие, изменится $f_{0}$ и $Q$ может быть использован для извлечения комплексной проницаемости магнитного материала.

Резонансная частота и добротность

Вид в разрезе цилиндрического петлевого резонатора с обозначенными критическими размерами.

Резонансная частота

Емкость зазора LGR определяется выражением

$C=\varepsilon _{0}{\frac {w\,\ell }{t}}\,,$

где $\varepsilon _{0}$ - диэлектрическая проницаемость свободного пространства , $w$ - толщина стенки скважины, $t$ - ширина зазора, а $\ell$ длина резонатора. Отверстие резонатора действует как одновитковый соленоид с индуктивностью, определяемой выражением

$L=\mu _{0}{\frac {\pi \,r_{0}^{2}}{\ell }}\,,$

где $\mu _{0}$ - это проницаемость свободного пространства и $r_{0}$ — внутренний радиус отверстия LGR. Для высокого- $Q$ резонатора, резонансная частота в приближении определяется выражением

$f_{0}\approx {\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{\sqrt {LC}}}={\frac {c}{2\pi r_{0}}}{\sqrt {\frac {t}{\pi w}}}\,,$

где $c=1/{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}$ это вакуумная скорость света . Поэтому резонансная частота ЛГР определяется его геометрией и в первом приближении не зависит от его длины.

Фактор качества

Для сильно недодемпфированной серии $LRC$ цепи добротность, определяющая остроту резонанса, определяется выражением

$Q\approx {\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}\,.$

Эффективное сопротивление LGR можно оценить, учитывая длину проводника, по которому проходит ток, и доступную ему площадь поперечного сечения. Соответствующая длина проводника равна окружности $2\pi r_{0}$ внутренней поверхности проводника. Глубина проникновения тока во внутреннюю поверхность отверстия LGR определяется глубиной электромагнитного скин-слоя. $\delta$. Следовательно, площадь поперечного сечения, через которое течет заряд, равна $\delta \,\ell$. Сочетание этих результатов дает эффективное сопротивление.

$R_{\rho }\approx \rho {\frac {2\pi r_{0}}{\delta \,\ell }}\,,$

где $\rho$ – удельное сопротивление проводника. Эффективная емкость, индуктивность и сопротивление затем приводят к простому выражению ожидаемой добротности LGR.

$Q\approx {\frac {r_{0}}{\delta }}\,,$

где для хорошего проводника глубина электромагнитного скин-слоя на резонансной частоте определяется выражением

$\delta \approx {\sqrt {\frac {2\rho }{\mu _{0}\omega _{0}}}}\,,$

и $\omega _{0}=2\pi f_{0}$. Для алюминиевого резонатора с $r_{0}=1\,\mathrm {cm}$ и $f_{0}=1\,\mathrm {GHz}$ приведенный выше анализ предсказывает $Q\approx 3900$.

Радиационные потери

На практике измеренная добротность цилиндрического ЛГР без дополнительной электромагнитной защиты будет значительно меньше прогнозируемого значения $r_{0}/\delta$. Подавление добротности происходит из-за радиационных потерь мощности от силовых линий магнитного поля, выходящих за пределы канала LGR в свободное пространство. по порядку величины Оценку эффективной радиационной стойкости можно сделать, рассматривая LGR как проводящую петлю. В пределе, когда длина волны излучения много больше радиуса петли $r_{0}$, радиационная стойкость

$R_{\mathrm {r} }\approx {\frac {\pi }{6}}{\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}\left({\frac {\omega _{0}r_{0}}{c}}\right)^{4}\,,$

и может быть значительно больше сопротивления $R_{\rho }$ из-за удельного сопротивления проводника LGR. Потери на излучение можно подавить, поместив LGR внутри круглого волновода . При условии, что частота среза низшей моды волновода TE ₁₁ значительно превышает резонансную частоту LGR, линии магнитного поля не смогут распространяться в свободное пространство. Наличие электромагнитного экрана изменит резонансную частоту и добротность LGR, но обычно всего на несколько процентов.

Тороидальный LGR

Чертеж тороидального LGR с вырезом в разрезе, чтобы обнажить отверстие и зазор резонатора.

Фотография двух половин медного тороидального петлевого резонатора. Также видны петля индуктивной связи, подвешенная внутри отверстия резонатора, и так называемый расширенный резонатор с разрезным кольцом, помещенный в отверстие LGR.

В некоторых приложениях, требующих высокой добротности, электромагнитное экранирование, обеспечиваемое концентрическим круглым волноводом, окружающим цилиндрический LGR, может быть громоздким и неудобным в работе. Тороидальный LGR можно использовать для высокопроизводительных $Q$ измерения без необходимости дополнительного электромагнитного экранирования. В тороидальной геометрии два конца цилиндрического LGR соединены, образуя полностью закрытую конструкцию. В этом случае магнитное поле полностью удерживается внутри канала резонатора и потери мощности на излучение отсутствуют. Тороидальный LGR состоит из двух половин, скрепленных между собой болтами по внешнему диаметру конструкции.

Как и цилиндрический LGR, тороидальный LGR можно смоделировать как серию $LRC$ схема. В целом эффективная емкость, индуктивность и сопротивление тороидального LGR будут отличаться от приведенных выше выражений для цилиндрического LGR. Однако в пределе, когда радиус тора велик по сравнению с радиусом отверстия. $r_{0}$, емкость, индуктивность и сопротивление тороидального LGR аппроксимируются выражениями, приведенными выше, если принять $\ell$ быть равна окружности тора.

Тороидальный LGR особенно удобен при характеристике электромагнитных свойств жидких образцов или частиц, взвешенных в жидкости. В этих случаях отверстие тороидального LGR может быть частично заполнено жидким образцом без необходимости использования специального держателя образца. Эта установка позволяет охарактеризовать магнитные свойства, например, феррожидкости . Альтернативно, если жидкий образец немагнитен, весь тороидальный LGR можно погрузить в жидкость (или газ). В этом случае диэлектрические свойства образца изменяют лишь эффективную емкость резонатора и изменения $f_{0}$ и $Q$ может быть использован для определения комплексной диэлектрической проницаемости образца.

Соединение с LGR

Петли индуктивной связи обычно используются для подачи и вывода магнитного потока в LGR. Соединительные петли изготавливаются путем удаления отрезка внешнего проводника и диэлектрика из полужесткого коаксиального кабеля . Открытый центральный проводник затем сгибается в петлю и закорачивается на внешний проводник. Противоположный конец коаксиального кабеля подключается либо к генератору сигналов , либо к приемнику. В случае генератора сигналов колебательный ток в контуре связи устанавливается . По закону индукции Фарадея этот ток создает колеблющийся магнитный поток, который может быть передан в отверстие LGR. Этот магнитный поток, в свою очередь, индуцирует окружные токи вдоль внутренней стенки ЛГР. Наведенный ток, опять же по закону Фарадея, создает примерно однородное колеблющееся магнитное поле в канале LGR. Второй контур связи, подключенный к приемнику, может использоваться для обнаружения магнитного потока, создаваемого LGR. Альтернативно, используя В векторном анализаторе цепей (ВАЦ) один контур связи может использоваться как для подачи сигнала в LGR, так и для измерения его отклика. ВАЦ может измерять соотношение прямого и отраженного напряжений ( $S_{11}$, или коэффициент отражения ) как функция микроволновой частоты. Вдали от резонанса величина коэффициента отражения будет близка к единице, поскольку на этих частотах в LGR поступает очень мало мощности. Однако вблизи резонансной частоты $f_{0}$, величина коэффициента отражения упадет ниже единицы по мере передачи мощности в LGR. Связь между внешними цепями и LGR можно настроить, регулируя относительные положения и ориентации контура связи и LGR. При критической связи согласование импедансов и коэффициент отражения приближается к нулю. достигается

Также возможно емкостно связывать электрические поля в зазор LGR и из него, используя электроды соответствующей формы на конце коаксиального кабеля.

Многоконтурные LGR с несколькими зазорами

Конструкции некоторых многоконтурных и многозазорных LGR. Вверху: Двухконтурный, однозазорный LGR. Средний: Трехпетлевой, двухзазорный LGR. Внизу: LGR с пятью петлями и четырьмя разрывами.

Фотография алюминиевого двухконтурного однозазорного ЛГР. Также видны петля индуктивной связи, подвешенная внутри правого отверстия резонатора, и $2\times 2$ массив плоских разрезных кольцевых резонаторов в левом отверстии резонатора.

Также были разработаны многоконтурные и многозазорные LGR. Простейшим из них является двухконтурный однозазорный LGR. При этом силовые линии магнитного поля образуют замкнутые петли, проходя через каждое из отверстий ЛГР, а токи на внутренних стенках распространяются в противоположных направлениях - по часовой стрелке в одном отверстии и против часовой стрелки в другом. Эквивалентная схема без учета потерь представляет собой параллельную комбинацию катушек индуктивности. $L$ и $L_{0}$ последовательно с емкостью $C$. Если $L=L_{0}$, то резонансная частота двухконтурного однозазорного LGR равна ${\sqrt {2}}$ раз больше, чем у обычного одноконтурного LGR с одним зазором, имеющего те же размеры отверстия и зазора. Также стоит отметить, что, поскольку силовые линии магнитного поля проходят из одного отверстия в другое, потери мощности на излучение сильно подавляются и резонатор сохраняет высокую добротность, не требуя дополнительной электромагнитной защиты.

Многоконтурные, многозазорные LGR с более чем двумя контурами имеют более одной резонансной моды. Если центральное отверстие выделить как имеющее индуктивность $L_{0}$, то один из резонансных режимов — это режим, в котором весь магнитный поток от каждого из внешних контуров индуктивности $L$ используется совместно с центральным контуром. Для этого режима резонансная частота $n$-петля, $(n-1)$-разрыв LGR определяется выражением

$f_{0}\approx {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {n}{LC}}}\,,$

где предполагалось, что все контуры имеют одинаковую индуктивность $L$.

LGR и сверхпроводимость

Эффект Мейснера в пластинчатом сверхпроводящем монокристалле. Синие линии представляют собой приложенное магнитное поле. Магнитные поля проникают на глубину $\lambda$ в кристалл. В монокристаллическом сверхпроводнике для каждого кристаллографического направления существует своя глубина проникновения.

Контурные резонаторы использовались для точных измерений электродинамических свойств нетрадиционных сверхпроводников . В частности, с помощью LGR была обнаружена линейная температурная зависимость глубины магнитного проникновения , характерная для d-волнового сверхпроводника, в монокристалле YBa ₂ Cu ₃ O _6,95 . В этих экспериментах сверхпроводящий образец помещается внутрь канала LGR. Диамагнитный . отклик сверхпроводника изменяет индуктивность LGR и, следовательно, его резонансную частоту Как описано ниже, отслеживание изменения резонансной частоты при изменении температуры образца позволяет вывести температурную зависимость глубины магнитного проникновения.

Теория

Индуктивность LGR можно выразить как $L=\mu _{0}V_{\mathrm {r} }/\ell ^{2}$, где $V_{\mathrm {r} }$ - объем отверстия LGR. Поскольку резонансная частота $f_{0}$ LGR пропорционален $L^{-1/2}$, небольшое изменение эффективного объема отверстия резонатора приведет к изменению резонансной частоты, определяемой выражением

$\delta f_{0}=-{\frac {f_{0}}{2}}{\frac {\delta V_{\mathrm {r} }}{V_{\mathrm {r} }}}\,.$

Из-за эффекта Мейсснера , когда сверхпроводящий образец помещается в отверстие LGR, магнитный поток вытесняется из внутренней части образца на глубину проникновения. $\lambda$ его поверхности. Поэтому эффективный объем канала резонатора уменьшается на величину, равную объему, из которого исключен магнитный поток. Этот исключенный объем определяется выражением

$V_{\mathrm {ex} }\approx ab\left(c-2\lambda _{a}\right)\,,$

где $a$, $b$, и $c$ – размеры образца по трем кристаллографическим направлениям и $abc$ объем выборки $V_{\mathrm {s} }$. В приведенном выше выражении предполагалось, что микроволновое магнитное поле приложено параллельно $b$- ось образца. Поскольку наличие сверхпроводника уменьшает объем ЛГР, $\delta V_{\mathrm {r} }=-V_{\mathrm {ex} }$ и

$\delta f_{0}={\frac {f_{0}}{2V_{\mathrm {r} }}}\left(V_{\mathrm {s} }-2ab\lambda _{a}\right)\,.$

Решая это выражение для $a$Глубина проникновения по оси дает

$\lambda _{a}={\frac {c}{2}}-{\frac {V_{\mathrm {r} }}{ab}}{\frac {\delta f_{0}}{f_{0}}}\,.$

Как правило, невозможно использовать измерения сдвига частоты LGR для определения абсолютного значения глубины проникновения, поскольку для этого потребуется знать толщину образца. $c$ очень точно. Например, в полностью легированном ₂ Cu ₃ O ₇ YBa $\lambda _{a}\approx 100~\mathrm {nm}$ при низкой температуре. Поэтому, чтобы использовать измерение LGR для определения $\lambda _{a}$ с точностью до 10%, необходимо знать значение $c$ с точностью $10~\mathrm {nm}$ что обычно невозможно.

Вместо этого стратегия состоит в том, чтобы отслеживать изменения частоты по мере изменения температуры образца (при сохранении фиксированной температуры LGR). Абсолютную глубину проникновения можно выразить как

$\lambda _{a}(T)=\lambda _{a}(T_{0})+\Delta \lambda _{a}(T)\,,$

где $T$ это температура, $T_{0}$ - экспериментальная базовая температура, а $\Delta \lambda _{a}(T)$ — изменение глубины проникновения при повышении температуры образца выше базовой температуры. Таким образом, можно выразить изменение глубины проникновения как

$\Delta \lambda _{a}(T)=\lambda _{a}(T)-\lambda _{a}(T_{0})=-{\frac {V_{\mathrm {r} }}{ab}}{\frac {1}{f_{0}}}\left[\delta f_{0}(T)-\delta f_{0}(T_{0})\right]\,.$

Наконец, определяя $\Delta f_{0}(T)=\delta f_{0}(T)-\delta f_{0}(T_{0})$, у одного есть

$\Delta \lambda _{a}(T)=-{\frac {V_{\mathrm {r} }}{ab}}{\frac {\Delta f_{0}(T)}{f_{0}}}\,.$

Это окончательное выражение показывает, как сдвиги LGR на резонансной частоте можно использовать для определения температурной зависимости глубины магнитного проникновения в сверхпроводящем образце.

Детали эксперимента

В сверхпроводнике d-волны глубина проникновения обычно изменяется на несколько ангстрем на градус Кельвина , что соответствует $\Delta f_{0}/f_{0}\sim 10^{-10}$ для $1~\mathrm {mm} ^{2}$ образец тромбоцитов в LGR с объемом отверстия $1~\mathrm {cm} ^{3}$. Измерение таких небольших изменений относительной частоты требует чрезвычайно высокой точности. $Q$ резонатор. Сверхвысокие добротности достигаются путем покрытия поверхностей LGR сверхпроводящим материалом, например сплавом свинца и олова. Затем резонатор охлаждается ниже температуры сверхпроводящего перехода покрытия с помощью ванны со сверхтекучим жидким гелием . Факторы качества $10^{6}$ были достигнуты с использованием медных LGR, покрытых свинцом-оловом и охлажденных до $1~\mathrm {K}$.

Измерение диэлектрической и проницаемости

В этом разделе описывается, как LGR можно использовать для определения электромагнитных свойств материалов. Когда нет материалов, заполняющих зазор или отверстие резонатора, импеданс $Z$ LGR можно выразить как

$Z=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}\,,$

где $j={\sqrt {-1}}$. Перевыражено через резонансную частоту $\omega _{0}$ и добротность $Q$, импеданс определяется выражением

${\frac {Z}{QR}}={\frac {1}{Q}}+j\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}-{\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right)\,.$

Измерение частотной зависимости импеданса пустого LGR можно использовать для определения $\omega _{0}$ и $Q$. Измерение импеданса проще всего выполнить с помощью векторного анализатора цепей (ВАЦ) для измерения коэффициента отражения. $S_{11}$ от индуктивно связанного ЛГР. Импеданс и коэффициент отражения связаны соотношением

$S_{11}={\frac {Z_{0}-Z}{Z_{0}+Z}}\,,$

где $Z_{0}$ выходное сопротивление ВАЦ (обычно $Z_{0}=50~\Omega )$).

Комплексная диэлектрическая проницаемость

Теперь предположим, что зазор резонатора полностью заполнен диэлектрическим материалом, имеющим комплексную относительную диэлектрическую проницаемость. $\varepsilon _{\mathrm {r} }=\varepsilon ^{\prime }-j\varepsilon ^{\prime \prime }$. В этом случае эффективная емкость становится $\varepsilon _{\mathrm {r} }C$ а импеданс LGR определяется выражением

$Z_{\varepsilon }=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega \left(\varepsilon ^{\prime }-j\varepsilon ^{\prime \prime }\right)C}}\,.$

Разделение действительных и мнимых членов приводит к

$Z_{\varepsilon }=\left[R+\left({\frac {\varepsilon ^{\prime \prime }}{\left(\varepsilon ^{\prime }\right)^{2}+\left(\varepsilon ^{\prime \prime }\right)^{2}}}\right){\frac {1}{\omega C}}\right]+j\left[\omega L-\left({\frac {\varepsilon ^{\prime }}{\left(\varepsilon ^{\prime }\right)^{2}+\left(\varepsilon ^{\prime \prime }\right)^{2}}}\right){\frac {1}{\omega C}}\right]\,.$

Это выражение показывает, что ненулевое $\varepsilon ^{\prime \prime }$ повышает эффективную стойкость ЛГР и, следовательно, снижает его добротность. Ненулевое значение $\varepsilon ^{\prime }$, с другой стороны, изменяет мнимую часть импеданса и изменяет резонансную частоту. Вышеуказанный импеданс, записанный через резонансную частоту пустого резонатора и добротность, можно выразить как

${\frac {Z_{\varepsilon }}{QR}}=\left[{\frac {1}{Q}}+\left({\frac {\varepsilon ^{\prime \prime }}{\left(\varepsilon ^{\prime }\right)^{2}+\left(\varepsilon ^{\prime \prime }\right)^{2}}}\right){\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right]+j\left[{\frac {\omega }{\omega _{0}}}-\left({\frac {\varepsilon ^{\prime }}{\left(\varepsilon ^{\prime }\right)^{2}+\left(\varepsilon ^{\prime \prime }\right)^{2}}}\right){\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right]\,.$

При условии, что $\omega _{0}$ и $Q$ известны заранее, измерение частотной зависимости $Z_{\varepsilon }$ можно использовать для определения $\varepsilon ^{\prime }$ и $\varepsilon ^{\prime \prime }$ материала, заполняющего пробел LGR. Этот анализ дает значения $\varepsilon ^{\prime }$ и $\varepsilon ^{\prime \prime }$ на резонансной частоте заполненного LGR.

Комплексная проницаемость

Далее предположим, что канал LGR заполнен магнитным материалом со сложной относительной проницаемостью. $\mu _{\mathrm {r} }=\mu ^{\prime }-j\mu ^{\prime \prime }$. В этом случае эффективная индуктивность становится $\mu _{\mathrm {r} }L$ а импеданс LGR определяется выражением

$Z_{\mu }=R+j\omega \left(\mu ^{\prime }-j\mu ^{\prime \prime }\right)L+{\frac {1}{j\omega C}}\,.$

Разделение $Z_{\mu }$ на действительную и мнимую составляющие и запишите импеданс через $\omega _{0}$ и $Q$ пустых выходов LGR

${\frac {Z_{\mu }}{QR}}=\left[{\frac {1}{Q}}+\mu ^{\prime \prime }{\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right]+j\left[\mu ^{\prime }{\frac {\omega }{\omega _{0}}}-{\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right]\,.$

Снова, $\mu ^{\prime \prime }$ вносит дополнительную диссипацию, что снижает добротность заполненного резонатора и $\mu ^{\prime }$ смещает резонансную частоту. Измерение частотной зависимости $Z_{\mu }$ можно использовать для извлечения значений $\mu ^{\prime }$ и $\mu ^{\prime \prime }$ на резонансной частоте заполненного LGR.