Резолюция Кошула – Тейта

В математике резольвента Кошуля–Тейта или комплекс Кошуля–Тейта факторкольца -модуля R / M — это проективная резольвента его как R , который также имеет структуру dg-алгебры над R , где R — коммутативное кольцо. и M ⊂ R — идеал . были введены Тейтом ( 1957 обобщение резольвенты Кошуля для фактора R /( x1 _Они ,...., xn _{) как} ) кольца R по регулярной последовательности элементов. Фридеман Брандт, Гленн Барних и Марк Хенно ( 2000 ) использовали разрешение Кошула-Тейта для расчета когомологий BRST . Дифференциал Тейта этого комплекса называется дифференциалом Кошуля–Тейта или дифференциалом Кошуля– .

Строительство

Сначала предположим для простоты, что все кольца содержат числа Q. рациональные Предположим, что у нас есть градуированное суперкоммутативное кольцо X , так что

аб = (−1) ^{ты ( а ) ты ( б )}baнет

с дифференциалом d , с

d ( ab ) знак равно d ( а ) б + (−1) ^{ты ( а )}объявление ( б )),

и x ∈ X — однородный цикл ( dx = 0). Тогда мы сможем сформировать новое кольцо

Y = Х [Т]

полиномов , где от переменной T дифференциал продолжается до T путем

дТ = х .

( Кольцо полиномов понимается в суперсмысле, поэтому, если T имеет нечетную степень, то T ² = 0.) Результатом добавления элемента T является уничтожение элемента гомологии X, представленного x , а Y по-прежнему остается суперкоммутативным кольцом с дифференцированием.

Резольвента Кошуля–Тейта R / M может быть построена следующим образом. Начнем с коммутативного кольца R (отсортированного так, чтобы все элементы имели степень 0). Затем добавьте новые переменные, как указано выше, степени 1, чтобы уничтожить все элементы идеала M в гомологиях. Затем продолжайте добавлять все больше и больше новых переменных (возможно, бесконечное число), чтобы уничтожить все гомологии положительной степени. В итоге мы получаем суперкоммутативное градуированное кольцо с дифференцированием d, у которого гомология — это просто R / M .

Если мы не работаем с полем с характеристикой 0, приведенная выше конструкция по-прежнему работает, но обычно удобнее использовать следующий ее вариант. Вместо использования колец многочленов X [ T ] можно использовать «кольцо многочленов с разделенными степенями» X 〈 T 〉, имеющее базис из элементов

Т ^{( я )} для я ≥ 0,

где

Т ^{( я )}Т ^{( Дж )} = (( я + j )!/ я ! j !) Т ^{( я + j )}.

Над полем характеристики 0

Т ^{( я )} это просто Т ^я/ я !.

См. также

Когомологии алгебры Ли

Ссылки

Брандт, Фридеманн; Барнич, Гленн; Хенно, Марк (2000), «Локальные BRST-когомологии в калибровочных теориях», Physics Reports , 338 (5): 439–569, arXiv : hep-th/0002245 , Bibcode : 2000PhR...338..439B , doi : 10.1016 /S0370-1573(00)00049-1 , ISSN 0370-1573 , MR 1792979 , S2CID 119420167
Кошуль, Жан-Луи (1950), «Гомологии и когомологии алгебр Ли», Bulletin de la Société Mathématique de France , 78 : 65–127, doi : 10.24033/bsmf.1410 , ISSN 0037-9484 , MR 0036511
Тейт, Джон (1957), «Гомология нётеровых колец и локальных колец», Illinois Journal of Mathematics , 1 : 14–27, doi : 10.1215/ijm/1255378502 , ISSN 0019-2082 , MR 0086072
М. Хенно и К. Тейтельбойм, Квантование калибровочных систем , Princeton University Press, 1992 г.
Вербовецкий, Александр (2002), «Замечания о двух подходах к горизонтальным когомологиям: комплекс совместимости и разрешение Кошула – Тейта», Acta Applicandae Mathematicae , 72 (1): 123–131, arXiv : math/0105207 , doi : 10.1023/ А: 1015276007463 , ISSN 0167-8019 , MR 1907621 , S2CID 14555963