Многомерный ковариационный анализ

Многомерный ковариационный анализ ( MANCOVA ) — это расширение методов ковариационного анализа ( ANCOVA контроль сопутствующих непрерывных независимых переменных — ковариат ), охватывающее случаи, когда существует более одной зависимой переменной и когда требуется . Наиболее заметным преимуществом схемы MANCOVA по сравнению с простой МАНОВОЙ является «учет» шума или ошибок, вносимых ковариантом. ^[1] Обычно используемой многомерной версией ANOVA F-статистики является лямбда Уилкса (Λ), которая представляет собой соотношение между дисперсией ошибки (или ковариацией) и дисперсией эффекта (или ковариацией). ^[1]

Цели

Как и во всех тестах семейства ANOVA , основной целью MANCOVA является проверка существенных различий между групповыми средними значениями. ^[1] Процесс характеристики ковариаты в источнике данных позволяет уменьшить величину ошибки, представленной в проекте MANCOVA как MS _ошибка . Впоследствии общая лямбда Уилкса станет больше и с большей вероятностью будет охарактеризована как значимая. ^[1] Это дает исследователю больше статистических возможностей для обнаружения различий в данных. Многомерный аспект MANCOVA позволяет охарактеризовать различия в групповых средних значениях в отношении линейной комбинации нескольких зависимых переменных, одновременно контролируя ковариаты.

Пример ситуации, когда MANCOVA подходит: Предположим, учёный заинтересован в тестировании двух новых препаратов на предмет их влияния на показатели депрессии и тревоги. Предположим также, что у ученого есть информация об общей чувствительности к лекарствам каждого пациента; учет этой ковариаты обеспечит более высокую чувствительность теста при определении влияния каждого препарата на обе зависимые переменные.

Предположения

Для правильного использования MANCOVA необходимо выполнить определенные допущения:

Нормальность : для каждой группы каждая зависимая переменная должна представлять собой нормальное распределение оценок. Более того, любая линейная комбинация зависимых переменных должна иметь нормальное распределение. Преобразование или удаление выбросов может помочь обеспечить выполнение этого предположения. ^[2] Нарушение этого предположения может привести к увеличению частоты ошибок первого рода . ^[3]
Независимость наблюдений : Каждое наблюдение должно быть независимым от всех других наблюдений; этому предположению можно соответствовать, используя методы случайной выборки . Нарушение этого предположения может привести к увеличению частоты ошибок первого рода. ^[3]
Однородность дисперсий : каждая зависимая переменная должна демонстрировать одинаковые уровни дисперсии по каждой независимой переменной. Нарушение этого предположения можно представить как корреляцию, существующую между дисперсиями и средними значениями зависимых переменных. Это нарушение часто называют « гетероскедастичностью ». ^[4] и его можно проверить с помощью теста Левена . ^[5]
Однородность ковариаций . Матрица взаимной корреляции между зависимыми переменными должна быть одинаковой на всех уровнях независимой переменной. Нарушение этого предположения может привести к увеличению частоты ошибок типа I, а также к снижению статистической мощности . ^[3]

Логика МАНОВЫ

Вдохновленный ANOVA , MANOVA основан на обобщении суммы квадратов, объясненном моделью. $S_{\text{model}}$ и обратная сумма квадратов, необъяснимая моделью $S_{\text{res}}^{-1}$ . Самый распространенный ^[6]^[7] статистика представляет собой сводку, основанную на корнях (или собственных значениях ) ${\textstyle \lambda _{p}}$ матрицы ${\textstyle A:=S_{\text{model}}S_{\text{res}}^{-1}}$ .

Сэмюэл Стэнли Уилкс $\Lambda _{\text{Wilks}}=\prod _{1,\ldots ,p}(1/(1+\lambda _{p}))=\det(I+A)^{-1}=\det(S_{\text{res}})/\det(S_{\text{res}}+S_{\text{model}})$ распределяется как лямбда (Λ)
KC Sreedharan Pillai – MS Bartlett трасса , $\Lambda _{\text{Pillai}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p}/(1+\lambda _{p}))=\operatorname {tr} (A(I+A)^{-1})$
след Лоули- Хотеллинга , $\Lambda _{\text{LH}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p})=\operatorname {tr} (A)$
Самый большой корень Роя (также называемый самым большим корнем Роя ), $\Lambda _{\text{Roy}}=\max _{p}(\lambda _{p})$

Ковариаты

В статистике ковариата представляет собой источник вариаций, который не контролировался в эксперименте и, как полагают, влияет на зависимую переменную. ^[8] Целью таких методов, как ANCOVA, является устранение последствий таких неконтролируемых изменений, чтобы увеличить статистическую мощность и обеспечить точное измерение истинной взаимосвязи между независимыми и зависимыми переменными. ^[8]

Примером может служить анализ тенденции изменения уровня моря, проведенный Вудвортом (1987). ^[9] Здесь зависимой переменной (и переменной, представляющей наибольший интерес) был среднегодовой уровень моря в данном месте, для которого был доступен ряд годовых значений. Основной независимой переменной было «время». Была использована «ковариата», состоящая из годовых значений среднегодового атмосферного давления на уровне моря. Результаты показали, что включение ковариаты позволило получить более качественные оценки тенденции в зависимости от времени по сравнению с анализом, в котором ковариата не учитывалась.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д [1] Учебник Statsoft, ANOVA/MANOVA.
^ [2] Френч, А. и др., 2010. Многомерный дисперсионный анализ (MANOVA).
^ Jump up to: ^а ^б ^с [3] Дэвис, К., 2003. Множественный дисперсионный анализ (MANOVA) или множественный ковариационный анализ (MANCOVA). Университет штата Луизиана.
^ [4] Борс, DA Университет Торонто в Скарборо.
^ [5] Маклафлин, М., 2009. Университет Южной Каролины.
^ Гарсон, Дж. Дэвид. «Многомерный GLM, MANOVA и MANCOVA» . Проверено 22 марта 2011 г.
^ Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе: Службы академических технологий, Группа статистического консалтинга. «Вывод с аннотациями статистики — MANOVA» . Проверено 22 марта 2011 г.
^ Jump up to: ^а ^б Кирк, Роджер Э. (1982). Экспериментальный дизайн (2-е изд.). Монтерей, Калифорния: Brooks/Cole Pub. компании ISBN 0-8185-0286-Х .
^ [6] Вудворт, Польша, 1987. Тенденции в Великобритании означают уровень моря. Морская геодезия, 11 (1), 57–87.

[Statsoft-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д [1] Учебник Statsoft, ANOVA/MANOVA.

[Frenchpdf-2] [2] Френч, А. и др., 2010. Многомерный дисперсионный анализ (MANOVA).

[Davis-3] Jump up to: ^а ^б ^с [3] Дэвис, К., 2003. Множественный дисперсионный анализ (MANOVA) или множественный ковариационный анализ (MANCOVA). Университет штата Луизиана.

[UoTS-4] [4] Борс, DA Университет Торонто в Скарборо.

[USC-5] [5] Маклафлин, М., 2009. Университет Южной Каролины.

[6] Гарсон, Дж. Дэвид. «Многомерный GLM, MANOVA и MANCOVA» . Проверено 22 марта 2011 г.

[7] Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе: Службы академических технологий, Группа статистического консалтинга. «Вывод с аннотациями статистики — MANOVA» . Проверено 22 марта 2011 г.

[Kirk-8] Jump up to: ^а ^б Кирк, Роджер Э. (1982). Экспериментальный дизайн (2-е изд.). Монтерей, Калифорния: Brooks/Cole Pub. компании ISBN 0-8185-0286-Х .

[Woodworth-9] [6] Вудворт, Польша, 1987. Тенденции в Великобритании означают уровень моря. Морская геодезия, 11 (1), 57–87.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]