Ковариационный анализ

Ковариационный анализ ( ANCOVA ) — это общая линейная модель , сочетающая в себе ANOVA и регрессию . ли средние значения зависимой переменной ANCOVA оценивает , равны (DV) на всех уровнях одной или нескольких категориальных независимых переменных (IV) и одной или нескольких непрерывных переменных. Например, категориальная переменная(и) может описывать лечение, а непрерывная(ые) переменная(и) может быть ковариатами или переменными, вызывающими неудобство; или наоборот. Математически ANCOVA разлагает дисперсию DV на дисперсию, объясняемую CV(s), дисперсию, объясняемую категориальным IV, и остаточную дисперсию. Интуитивно, ANCOVA можно рассматривать как «корректировку» DV с помощью групповых средств CV(ов). ^[1]

Модель ANCOVA предполагает линейную зависимость между ответом (DV) и ковариатой (CV):

$y_{ij}=\mu +\tau _{i}+\mathrm {B} (x_{ij}-{\overline {x}})+\epsilon _{ij}.$

В этом уравнении ДВ, $y_{ij}$ – j-е наблюдение в i-й категориальной группе; резюме, $x_{ij}$ — это j -е наблюдение ковариаты в i -й группе. Переменные в модели, полученные на основе наблюдаемых данных: $\mu$ (большое среднее) и ${\overline {x}}$ (глобальное среднее значение ковариаты $x$ ). Переменные, которые необходимо подогнать: $\tau _{i}$ (эффект i -го уровня категориальной IV), $B$ (наклон линии) и $\epsilon _{ij}$ (ассоциированный член ненаблюдаемой ошибки для j -го наблюдения в i -й группе).

Согласно этой спецификации, сумма эффектов категориальной обработки равна нулю. $\left(\sum _{i}^{a}\tau _{i}=0\right).$ Также предполагается, что стандартные предположения модели линейной регрессии выполняются, как описано ниже. ^[2]

Использование

Увеличение мощности

ANCOVA можно использовать для увеличения статистической мощности (вероятности обнаружения значительной разницы ошибок внутри группы между группами, если таковая существует) за счет уменьшения дисперсии . ^[3] Чтобы понять это, необходимо понять тест, используемый для оценки различий между группами, F-тест . - критерий F рассчитывается путем деления объясненной дисперсии между группами (например, различий в выздоровлении) на необъяснимую дисперсию внутри групп. Таким образом,

F={\frac {MS_{between}}{MS_{within}}}

Если это значение превышает критическое значение, мы приходим к выводу, что существует значительная разница между группами. Необъяснимая дисперсия включает в себя ошибки дисперсии (например, индивидуальные различия), а также влияние других факторов. Поэтому влияние CV сгруппировано в знаменателе. Когда мы контролируем влияние CV на DV, мы удаляем его из знаменателя, увеличивая F , тем самым увеличивая нашу способность обнаружить значительный эффект, если он вообще существует.

Дисперсия разделения — Partitioning variance

Корректировка ранее существовавших различий

Другое использование ANCOVA — корректировка ранее существовавших различий в неэквивалентных (неповрежденных) группах. Это спорное заявление направлено на исправление первоначальных групповых различий (до группового распределения), которые существуют при ДВ между несколькими интактными группами. В этой ситуации участников невозможно уравнять путем случайного распределения, поэтому резюме используются для корректировки баллов и придания участникам большего сходства, чем без резюме. Однако даже при использовании ковариат не существует статистических методов, которые могли бы уравнять неравные группы. Более того, CV может быть настолько тесно связан с категориальным IV, что удаление отклонения DV, связанного с CV, устранит значительную дисперсию DV, делая результаты бессмысленными. ^[4]

Предположения

Существует несколько ключевых предположений, которые лежат в основе использования ANCOVA и влияют на интерпретацию результатов. ^[2] Стандартные предположения линейной регрессии верны; далее мы предполагаем, что наклон ковариаты одинаков во всех группах лечения (однородность наклонов регрессии).

Предположение 1: линейность регрессии

Регрессионная связь между зависимой переменной и сопутствующими переменными должна быть линейной.

Допущение 2: однородность дисперсий ошибок

Ошибка представляет собой случайную величину с условным нулевым средним и равными дисперсиями для разных классов лечения и наблюдений.

Допущение 3: независимость членов ошибок

Ошибки не коррелируют. То есть ковариационная матрица ошибок является диагональной.

Предположение 4: нормальность погрешностей

Остатки (члены ошибок) должны быть нормально распределены. $\epsilon _{ij}$ ~ $N(0,\sigma ^{2})$ .

Предположение 5: однородность наклонов регрессии.

Наклоны различных линий регрессии должны быть эквивалентными, т. е. линии регрессии должны быть параллельны между группами.

Пятый вопрос, касающийся однородности наклонов регрессии различных методов лечения, особенно важен при оценке приемлемости модели ANCOVA. Также обратите внимание, что нам нужно только, чтобы члены ошибок были нормально распределены. Фактически, как независимая переменная, так и сопутствующие переменные в большинстве случаев не будут иметь нормального распределения.

Проведение ANCOVA

Проверка мультиколлинеарности

Если CV тесно связано с другим CV (с корреляцией 0,5 или более), то DV не будет корректироваться сверх другого CV. Тот или другой следует удалить, поскольку они статистически избыточны.

Проверьте предположение об однородности дисперсии.

Проверено тестом Левена на равенство дисперсий ошибок.Это наиболее важно после внесения корректировок, но если оно у вас есть до корректировки, скорее всего, оно будет у вас и после.

Проверьте предположение об однородности наклонов регрессии.

Чтобы увидеть, значительно ли взаимодействует CV с категориальным IV, запустите модель ANCOVA, включающую как IV, так и термин взаимодействия CVxIV. Если взаимодействие CVxIV является значительным, ANCOVA не следует выполнять. Вместо этого Грин и Салкинд ^[5] предложить оценить групповые различия по ДВ на определенных уровнях КВ. Также рассмотрите возможность использования модерируемого регрессионного анализа , рассматривая CV и его взаимодействие как еще один IV. В качестве альтернативы можно использовать посреднический анализ , чтобы определить, учитывает ли CV влияние IV на DV. ^{[ нужна ссылка ]}.

Запустите анализ ANCOVA

Если взаимодействие CV×IV незначительно, повторите ANCOVA без термина взаимодействия CV×IV. В этом анализе вам необходимо использовать скорректированные средства и скорректированные MSerror. Скорректированные средние значения (также называемые средними наименьшими квадратами, средними LS, оценочными маргинальными средними или EMM) относятся к групповым средним после контроля влияния CV на DV.

Последующие анализы

Если имелся значимый главный эффект , то это означает, что существует значительная разница между уровнями одного категориального IV, игнорируя все остальные факторы. ^[6] Чтобы точно определить, какие уровни существенно отличаются друг от друга, можно использовать те же последующие тесты, что и для ANOVA.При наличии двух и более ИВ возможно существенное взаимодействие , то есть влияние одного ИВ на ДВ меняется в зависимости от уровня другого фактора. Простые основные эффекты можно исследовать, используя те же методы, что и в факторном дисперсионном анализе .

Соображения по мощности

В то время как включение ковариаты в дисперсионный анализ обычно увеличивает статистическую мощность за счет учета некоторой дисперсии зависимой переменной и, таким образом, увеличения отношения дисперсии, объясняемой независимыми переменными, добавление ковариаты в дисперсионный анализ также уменьшает степени свободы . Соответственно, добавление ковариаты, которая учитывает очень небольшую дисперсию зависимой переменной, может фактически снизить мощность.

См. также

MANCOVA (Многомерный ковариационный анализ)

Ссылки

^ Кеппель, Г. (1991). Дизайн и анализ: Справочник исследователя (3-е изд.). Энглвуд Клиффс: Prentice-Hall, Inc.
^ Jump up to: ^а ^б Монтгомери, Дуглас К. «Планирование и анализ экспериментов» (8-е изд.). Джон Уайли и сыновья, 2012.
^ Табачник, Б.Г.; Фиделл, Л.С. (2007). Использование многомерной статистики (5-е изд.). Бостон: Pearson Education.
^ Миллер, Джорджия; Чепмен, JP (2001). «Недоразумение анализа ковариации». Журнал аномальной психологии . 110 (1): 40–48. дои : 10.1037/0021-843X.110.1.40 . ПМИД 11261398 .
^ Грин, С.Б., и Салкинд, Нью-Джерси (2011). Использование SPSS для Windows и Macintosh: анализ и понимание данных (6-е изд.). Река Аппер-Сэдл, Нью-Джерси: Прентис-Холл.
^ Хауэлл, округ Колумбия (2009) Статистические методы психологии (7-е изд.). Бельмонт: Сенгедж Уодсворт.

Внешние ссылки

[1] Кеппель, Г. (1991). Дизайн и анализ: Справочник исследователя (3-е изд.). Энглвуд Клиффс: Prentice-Hall, Inc.

[Montgomery,_Douglas_C_2012-2] Jump up to: ^а ^б Монтгомери, Дуглас К. «Планирование и анализ экспериментов» (8-е изд.). Джон Уайли и сыновья, 2012.

[3] Табачник, Б.Г.; Фиделл, Л.С. (2007). Использование многомерной статистики (5-е изд.). Бостон: Pearson Education.

[4] Миллер, Джорджия; Чепмен, JP (2001). «Недоразумение анализа ковариации». Журнал аномальной психологии . 110 (1): 40–48. дои : 10.1037/0021-843X.110.1.40 . ПМИД 11261398 .

[Green-5] Грин, С.Б., и Салкинд, Нью-Джерси (2011). Использование SPSS для Windows и Macintosh: анализ и понимание данных (6-е изд.). Река Аппер-Сэдл, Нью-Джерси: Прентис-Холл.

[Howell-6] Хауэлл, округ Колумбия (2009) Статистические методы психологии (7-е изд.). Бельмонт: Сенгедж Уодсворт.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v т и Планирование экспериментов
Scientific method	Scientific experiment Statistical design Control Internal and external validity Experimental unit Blinding Optimal design: Bayesian Random assignment Randomization Restricted randomization Replication versus subsampling Sample size
Treatment and blocking	Treatment Effect size Contrast Interaction Confounding Orthogonality Blocking Covariate Nuisance variable
Models and inference	Linear regression Ordinary least squares Bayesian Random effect Mixed model Hierarchical model: Bayesian Analysis of variance (Anova) Cochran's theorem Manova (multivariate) Ancova (covariance) Compare means Multiple comparison
Designs Completely randomized	Factorial Fractional factorial Plackett–Burman Taguchi Response surface methodology Polynomial and rational modeling Box–Behnken Central composite Block Generalized randomized block design (GRBD) Latin square Graeco-Latin square Orthogonal array Latin hypercube Repeated measures design Crossover study Randomized controlled trial Sequential analysis Sequential probability ratio test
Glossary Category Mathematics portal Statistical outline Statistical topics