Двойной базис в расширении поля

В математике концепция линейной алгебры двойственного базиса может быть применена в контексте конечного расширения L / K , используя след поля . Для этого требуется свойство, согласно которому трасса поля L _{/ K обеспечивает} невырожденную квадратичную форму над K. Tr Это может быть гарантировано, если расширение является отделимым ; это автоматически верно, если K — совершенное поле и, следовательно, в тех случаях, когда K конечно или имеет нулевую характеристику.

Двойственный базис () не является конкретным базисом , таким как полиномиальный базис или нормальный базис ; скорее, он обеспечивает способ использования второй основы для вычислений.

Рассмотрим два базиса элементов конечного поля GF( p ^м ):

$B_{1}={\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m-1}}$

и

$B_{2}={\gamma _{0},\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m-1}}$

то B ₂ можно считать двойственным базисом B ₁ при условии, что

$\operatorname {Tr} (\alpha _{i}\cdot \gamma _{j})=\left\{{\begin{matrix}0,&\operatorname {if} \ i\neq j\\1,&\operatorname {otherwise} \end{matrix}}\right.$

Здесь след значения в GF( p ^м ) можно рассчитать следующим образом:

$\operatorname {Tr} (\beta )=\sum _{i=0}^{m-1}\beta ^{p^{i}}$

Использование двойной основы может обеспечить возможность легкого взаимодействия между устройствами, использующими разные базы, вместо необходимости явного преобразования между базами с использованием формулы изменения базисов . Более того, если реализован двойственный базис, то преобразование элемента исходного базиса в двойственный базис может быть выполнено путем умножения на мультипликативное тождество (обычно 1).

Ссылки

• Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (1994). Введение в конечные поля и их приложения . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9781139172769 . ISBN  9781139172769 . , Определение 2.30, с. 54.