J-структура

В математике J-структура — это алгебраическая структура над полем, связанная с йордановой алгеброй . Эта концепция была введена Спрингером (1973) для разработки теории йордановых алгебр с использованием линейных алгебраических групп и аксиом, принимая обращение Жордана в качестве основной операции и тождество Хуа в качестве основного отношения. Существует классификация простых структур, вытекающая из классификации полупростых алгебраических групп . Над полями характеристики, не равной 2, теория J-структур по существу такая же, как и теория йордановых алгебр.

Определение

Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем K , а j — рациональное отображение в V себя, выражаемое в форме n / N , где n — полиномиальное отображение в V себя, а N — многочлен от K [ V ]. Пусть H будет подмножеством GL( V ) × GL( V ), содержащим пары ( g , h ) такие, что g ∘ j = j ∘ h : это замкнутая подгруппа произведения и проекция на первый фактор, множество g , которые встречаются, является группой j j , обозначаемой G' ( структурной ).

J -структура — это тройка ( V , j , e ), где V — векторное пространство над K , j — бирациональное отображение в V себя, а e — ненулевой элемент V , удовлетворяющий следующим условиям.

• j — однородная бирациональная инволюция степени −1
• j регулярен в точке e и j ( e ) = e
• если j регулярен в точках x , e + x и e + j ( x ), то

$j(e+x)+j(e+j(x))=e$

• орбита G e элемента e относительно структурной группы G = G ( j ) является открытым по Зарисскому подмножеством V .

Норма , связанная с J-структурой ( V , j , e ), является числителем N j как , нормализованным так, что N ( e ) = 1. Степень J-структуры - это степень N однородного полиномиального отображения.

Квадратичное отображение структуры — это отображение P от V до End( V ), определенное в терминах дифференциала d j в обратимом x . Мы ставим

$P(x)=-(dj)_{x}^{-1}.$

Квадратичное отображение оказывается квадратичным полиномиальным отображением на V .

Подгруппа структурной группы G, порожденная обратимыми квадратичными отображениями, является внутренней структурной группой J-структуры. Это замкнутая связная нормальная подгруппа.

J-структуры из квадратичных форм

Пусть K имеет характеристику , не равную 2. Пусть Q - квадратичная форма в векторном пространстве V над K со связанной с ней билинейной формой Q ( x , y ) = Q ( x + y ) − Q ( x ) − Q ( y ) и выделенный элемент e такой, что Q ( e ,.) нетривиален. Определим карту отражения x ^* к

$x^{*}=Q(x,e)e-x$

и отображение инверсии j по

$j(x)=Q(x)^{-1}x^{*}.$

Тогда ( V , j , e ) является J-структурой.

Пример

Пусть Q — обычная квадратичная функция суммы квадратов на K ^р для фиксированного целого числа r , оснащенного стандартным базисом e ¹ ,..., и ^р . Тогда ( К ^р , К , е ^р ) является J-структурой степени 2. Она обозначается O ₂ .

с

В характеристике , отличной от 2, которую мы предполагаем в этом разделе, теория J-структур по существу та же, что и теория йордановых алгебр.

Пусть A — конечномерная коммутативная неассоциативная алгебра над K с тождеством e . Пусть L ( x ) обозначает умножение слева на x . Существует единственное бирациональное отображение i на A такое, что i ( x ). x = e , если я регулярен на x : он однороден степени −1 и является инволюцией с i ( e ) = e . Это может быть определено как i ( x ) = L ( x ) ⁻¹ . е . Мы i инверсией ​ на A. называем

Йордановая алгебра определяется тождеством

$x(x^{2}y)=x^{2}(xy).$

Альтернативная характеристика состоит в том, что для всех обратимых x мы имеем

$x^{-1}(xy)=x(x^{-1}y).$

Если A — йордановая алгебра, то ( A , i , e ) — J-структура. Если ( V , j , e существует единственная структура йордановой алгебры ) является J-структурой, то на V с тождеством e с инверсией j .

с квадратичными

По общей характеристике, которую мы предполагаем в этом разделе, J-структуры относятся к квадратичным йордановым алгебрам . Мы возьмем квадратичную йорданову алгебру как конечномерное векторное пространство V с квадратичным отображением Q из V в End( V ) и выделенным элементом e . Обозначим через Q также билинейное отображение Q ( x , y ) = Q ( x + y ) − Q ( x ) − Q ( y ). Свойства квадратичной йордановой алгебры будут

• Q ( е ) знак равно id _V , Q ( Икс , е ) y знак равно Q ( Икс , y ) е
• Q ( Q ( Икс ) y ) знак равно Q ( Икс ) Q ( y ) Q ( Икс )
• Q ( Икс ) Q ( y , z ) Икс знак равно Q ( Q ( Икс ) y , Икс ) z

Мы Q ( x ) e квадратом ​ x называем . Если возведение в квадрат является доминантным (имеет плотный образ по Зарисскому), то алгебру называют сепарабельной .

Существует единственная бирациональная инволюция i такая, что Q ( x ) i x = x , если Q регулярна в точке x . Как и раньше, i — это инверсия , определяемая формулой i ( x ) = Q ( x ) ⁻¹ х .

Если ( V , j , e ) является J-структурой с квадратичным отображением Q, то ( V , Q , e ) является квадратичной йордановой алгеброй. В противоположном направлении, если ( V , Q , e ) — сепарабельная квадратичная йорданова алгебра с инверсией i , то ( V , i , e ) — J-структура.

H-структура

МакКриммон предложил понятие H-структуры , отказавшись от аксиомы плотности и усилив третью (форму идентичности Хуа), чтобы она сохранялась во всех изотопах . Полученная структура категорически эквивалентна квадратичной йордановой алгебре.

Разложение Пирса

J-структура имеет разложение Пирса на подпространства, определяемые идемпотентными элементами. Пусть a — идемпотент J-структуры ( V , j , e ), т. е. a ² = а . Пусть Q — квадратичное отображение. Определять

$\phi _{a}(t,u)=Q(ta+u(e-a)).$

Это обратимо для ненулевых t , u в K , и поэтому φ определяет морфизм алгебраического тора GL ₁ × GL ₁ во внутреннюю структурную группу G ₁ . Есть подпространства

$V_{a}=\left\lbrace {x\in V:\phi _{a}(t,u)x=t^{2}x}\right\rbrace$

$V'_{a}=\left\lbrace {x\in V:\phi _{a}(t,u)x=tux}\right\rbrace$

$V_{e-a}=\left\lbrace {x\in V:\phi _{a}(t,u)x=u^{2}x}\right\rbrace$

и они образуют в прямую сумму разложение V . Это разложение Пирса для идемпотента a .

Обобщения

Если отбросить условие на выделенный элемент e , то получим «J-структуры без единицы». Они связаны с изотопами йордановых алгебр.

Ссылки

• МакКриммон, Кевин (1977). «Аксиомы обращения в йордановых алгебрах» . Дж. Алгебра . 47 : 201–222. дои : 10.1016/0021-8693(77)90221-6 . Збл   0421.17013 .
• МакКриммон, Кевин (1978). «Жордановые алгебры и их приложения» (PDF) . Бык. Являюсь. Математика. Соц . 84 : 612–627. дои : 10.1090/S0002-9904-1978-14503-0 . МР   0466235 . Збл   0421.17010 .
• МакКриммон, Кевин (2004). Немного о йордановых алгебрах . Университеттекст. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/b97489 . ISBN  978-0-387-95447-9 . МР   2014924 . Збл   1044.17001 . Архивировано из оригинала 16 ноября 2012 г. Проверено 18 мая 2014 г.
• Окубо, Сусуму (2005) [1995]. Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике . Серия лекций Мемориала Монтролла по математической физике. Том. 2. Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511524479 . ISBN  0-521-01792-0 . Збл   0841.17001 .
• Шафер, Ричард Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры . Дувр. ISBN  0-486-68813-5 . Збл   0145.25601 .
• Спрингер, Т.А. (1973). Йордановые алгебры и алгебраические группы . Результаты математики и ее пограничные области. Том 75. Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  3-540-06104-5 . Збл   0259.17003 .