Закон потока Глена – Ная

В теоретической гляциологии и механике сплошной среды закон потока Глена-Ная , также называемый законом потока Глена , представляет собой эмпирически полученное материальное соотношение, широко используемое в качестве модели реологии ледникового льда . Закон потока Глена-Ная рассматривает лед как чисто вязкую , несжимаемую , изотропную , неньютоновскую жидкость , вязкость которой определяется степенным законом зависимости между скоростью деформации и напряжением :

$${\dot {\epsilon }}_{e}=A\tau _{e}^{n}$$

Эффективная скорость деформации ${\dot {\epsilon }}_{e}$ (единицы с ⁻¹ ) и эффективный стресс $\tau _{e}$ (единицы Па ) связаны со вторыми принципиальными инвариантами соответствующих тензоров . Параметры $A$ и $n$ являются скалярными константами, которые были оценены с помощью комбинации теории и измерений. Экспонента $n$ безразмерен, а коэффициент скорости $A$ принимает единицы Па ^{− $n$} с ⁻¹ . Закон течения Глена – Ная упрощает тензор вязких напряжений до одного скалярного значения. $\mu$, динамическая вязкость , которая определяется тензорными инвариантами тензора девиаторных напряжений ${\boldsymbol {\tau }}$ и тензор скорости деформации ${\boldsymbol {\dot {\epsilon }}}$.

Под действием постоянной силы лед будет течь как жидкость, и изменения приложенной силы приведут к нелинейным изменениям результирующего потока. Это жидкое поведение льда, которое призван представить закон потока Глена-Ная, приспосабливается к твердому льду за счет ползучести . и является доминирующим способом течения ледникового льда .

Определение вязкости

Определяющее соотношение разрабатывается как обобщенная ньютоновская жидкость , где тензоры девиаторных напряжений и деформаций связаны скаляром вязкости:

Глена – Ная Основополагающий закон льда

${\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\dot {\boldsymbol {\epsilon }}}$

где $\mu$ – вязкость (единицы Па·с), ${\boldsymbol {\tau }}$ – девиаторный тензор напряжений, ${\boldsymbol {\dot {\epsilon }}}$ – тензор скорости деформации. В некоторых выводах $\lambda =(2\mu )^{-1}$ (единицы Па ⁻¹ с ⁻¹ ) заменяется.

Эта конструкция предполагает несколько предположений:

• Изотропия , поскольку единый скаляр пропорциональности одинаков для всех компонентов тензора.
• Несжимаемость , поскольку объемное напряжение игнорируется и работу может совершать только девиаторное напряжение.
• Соответствующие компоненты двух тензоров прямо пропорциональны друг другу, т.е. $\tau _{ij}\propto {\dot {\epsilon }}_{ij}$. Теоретически это предположение является результатом игнорирования третьего основного инварианта тензоров; физически это означает, что скорость деформации может изменяться только вдоль тех же осей, что и главные напряжения .

Хотя несжимаемость является точным предположением для ледникового льда, ледниковый лед может быть анизотропным, и в целом скорость деформации может реагировать перпендикулярно главному напряжению.

При этих предположениях тензоры напряжений и скоростей деформации здесь симметричны и имеют нулевой след - свойства, которые позволяют упростить их инварианты и квадраты по сравнению с общими определениями.

Тензор девиаторных напряжений связан с эффективным напряжением своим вторым главным инвариантом:

$\tau _{e}^{2}=II_{\boldsymbol {\tau }}={\frac {1}{2}}\tau _{ij}\tau _{ij}$

где обозначения Эйнштейна подразумевают суммирование по повторяющимся индексам.

То же самое определяется для эффективной скорости деформации:

${\dot {\epsilon }}_{e}^{2}=II_{\boldsymbol {\dot {\epsilon }}}={\frac {1}{2}}{\dot {\epsilon }}_{ij}{\dot {\epsilon }}_{ij}$

Из этой формы мы можем узнать, что:

${\boldsymbol {\tau }}^{2}=\tau _{ij}\tau _{ij}=2\tau _{e}^{2}$

и

${\boldsymbol {\dot {\epsilon }}}^{2}={\dot {\epsilon }}_{ij}{\dot {\epsilon }}_{ij}=2{\dot {\epsilon }}_{e}^{2}$

Вязкость скалярна и не может быть отрицательной (жидкость не может набирать энергию при движении), поэтому $\mu$ может быть выражено через инвариантное эффективное напряжение и эффективную скорость деформации.

$$\mu ={\frac {\boldsymbol {\tau }}{2{\dot {\boldsymbol {\epsilon }}}}}={\frac {1}{2}}\tau _{e}{\dot {\epsilon }}_{e}^{-1}$$

Здесь закон течения Глена-Ная позволяет заменить либо $\tau _{e}$ или ${\dot {\epsilon }}_{e}$, и $\mu$ может быть определена либо через эффективную скорость деформации, либо через эффективное напряжение:

по Глену – Наю Вязкость льда

$\mu ={\frac {A^{-1/n}}{2{\dot {\epsilon }}_{e}^{(n-1)/n}}}={\frac {\tau _{e}^{(1-n)}}{2A}}$

где $B=A^{-1/n}$ (единицы Па·с $^{1/n}$) иногда заменяется.

Значения параметров

Реологическая модель Глена – Ная определяет два параметра: $A$ и $n$.

Фактор ставки $A$ Эмпирически было обнаружено, что оно меняется в зависимости от температуры, и его часто моделируют с помощью соотношения Аррениуса, описывающего температурную зависимость ползучести :

$A=A_{0}e^{(-Q/RT)}$

где $Q$ – энергия активации , $R$ — универсальная газовая постоянная , а $T$ это абсолютная температура . Префактор $A_{0}$ может зависеть от кристаллической структуры, примесей, повреждений или других свойств льда. Оценки $A$ различаются на порядки и могут быть получены как единое значение из оценочного значения для $A_{0}$или путем сравнения измерений нескольких реальных ледников и экспериментов, или рассматриваться как скалярное поле , полученное на основе наблюдений путем численного обращения уравнения количества движения для потока льда в определенном месте.

Вязкое течение льда является примером сдвигового истончения , что соответствует $n>1$. Обзор исследований с использованием различных методов и полевых сайтов показал, что диапазон вероятных значений составляет около $2<n<4$ с наиболее часто используемым предположением, что это константа $n=3$. Однако ценность $n$ также зависит от напряжения и может отражать различные микроструктурные механизмы, способствующие ползучести при разных режимах напряжения.

Методы улучшения оценок этих параметров вязкости являются постоянной областью исследований.

Ограничения

Использование слова «закон» применительно к модели реологии льда Глена-Ная может скрыть сложность факторов, определяющих диапазон значений параметров течения вязкого льда даже в пределах одного ледника, а также сделанные существенные допущения и упрощения. по самой модели.

В частности, рассмотрение льда как жидкости с объемными свойствами не представляет собой и может с трудом уловить каскад механизмов, которые позволяют льду деформироваться на уровне зерен в твердом состоянии. Кристаллы ледникового льда вырастают в размерах от миллиметров до 10 см. а постоянная перестройка между зеренной структурой и внутренним напряжением приводит к большим изменениям деформации в том же масштабе длины, что и сами кристаллы. Кроме того, отдельные кристаллы льда не изотропны. и обычно не ориентированы случайным образом внутри структуры материала, подвергающегося динамической рекристаллизации. Известно, что размер зерен и ориентация ткани влияют на ползучесть ледникового льда, но это динамические свойства, которые также изменяются в зависимости от режима напряжения и их нелегко отразить в модели.

Закон течения Глена-Ная также не отражает всего спектра реакции льда на напряжение, включая упругую деформацию , механику разрушения (т. е. трещины ) и переходные фазы ползучести.

См. также

• Гляциология
• Динамика ледникового покрова
• Реология
• Модель ледникового покрова