Конечная импульсная характеристика

При обработке сигналов фильтр с конечной импульсной характеристикой ( FIR ) — это фильтр которого , импульсный отклик (или отклик на любой входной сигнал конечной длины) имеет конечную длительность, поскольку он устанавливается до нуля за конечное время. В этом отличие от фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), которые могут иметь внутреннюю обратную связь и могут продолжать реагировать бесконечно (обычно затухая).

Импульсная характеристика (то есть выходной сигнал в ответ на входной дельта Кронекера ) N ^й -порядка КИХ-фильтра дискретного времени длится ровно $N+1$ выборки (от первого ненулевого элемента до последнего ненулевого элемента), прежде чем он установится на ноль.

КИХ-фильтры могут быть дискретными или непрерывными , цифровыми или аналоговыми .

Определение

КИХ-фильтр дискретного времени прямой формы порядка N . Верхняя часть представляет собой N -ступенчатую линию задержки с N +1 отводами. Каждая единица задержки равна z ⁻¹ оператор в нотации Z-преобразования .

КИХ-фильтр дискретного времени в форме решетки порядка N . Каждая единица задержки равна z ⁻¹ оператор в нотации Z-преобразования .

Для причинного КИХ-фильтра с дискретным временем порядка N каждое значение выходной последовательности представляет собой взвешенную сумму самых последних входных значений :

${\begin{aligned}y[n]&=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{N}x[n-N]\\&=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot x[n-i],\end{aligned}}$

где :

• ${\textstyle x[n]}$ входной сигнал,
• ${\textstyle y[n]}$ выходной сигнал,
• ${\textstyle N}$ – порядок фильтра; а ${\textstyle N}$^й -фильтр заказа имеет ${\textstyle N+1}$ термины в правой части
• ${\textstyle b_{i}}$ – значение импульсной характеристики в i-й момент времени для ${\textstyle 0\leq i\leq N}$ из ${\textstyle N^{\text{th}}}$-заказать FIR-фильтр. Если фильтр представляет собой КИХ-фильтр прямой формы, то ${\textstyle b_{i}}$ также является коэффициентом фильтра.

Это вычисление также известно как дискретная свертка .

The ${\textstyle x[n-i]}$ в этих терминах обычно называют Tap s , основанный на структуре ответвленной линии задержки , которая во многих реализациях или блок-схемах обеспечивает задержанные входные данные для операций умножения. можно говорить о фильтре 5-го порядка/6 отводов Например, .

Импульсная характеристика фильтра, как определено, отлична от нуля в течение конечной продолжительности. Включая нули, импульсная характеристика представляет собой бесконечную последовательность :

$h[n]=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot \delta [n-i]={\begin{cases}b_{n}&0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Если КИХ-фильтр не является причинно-следственным, диапазон ненулевых значений его импульсной характеристики может начинаться раньше. $n=0$, с соответствующим обобщением определяющей формулы.

Характеристики

КИХ-фильтр обладает рядом полезных свойств, которые иногда делают его предпочтительнее фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). КИХ-фильтры:

• Не требовать обратной связи. Это означает, что любые ошибки округления не усугубляются суммированными итерациями. В каждом расчете возникает одна и та же относительная ошибка. Это также упрощает реализацию.
• Являются по своей сути стабильными , поскольку выходные данные представляют собой сумму конечного числа конечных кратных входных значений, поэтому не могут быть больше, чем ${\textstyle \sum |b_{i}|}$ раз наибольшее значение, появляющееся во входных данных.
• Может быть легко спроектирован так, чтобы иметь линейную фазу , сделав последовательность коэффициентов симметричной. Это свойство иногда требуется для приложений, чувствительных к фазе, например, для передачи данных, сейсмологии , кроссоверных фильтров и мастеринга .

Основным недостатком КИХ-фильтров является то, что процессору общего назначения требуется значительно большая вычислительная мощность по сравнению с БИХ-фильтром с аналогичной резкостью или избирательностью , особенно когда необходимы срезы на низкой частоте (относительно частоты дискретизации). Однако многие процессоры цифровых сигналов предоставляют специализированные аппаратные функции, позволяющие сделать КИХ-фильтры примерно такими же эффективными, как БИХ-фильтры, для многих приложений.

Частотная характеристика

Влияние фильтра на последовательность $x[n]$ описывается в частотной области теоремой свертки :

$\underbrace {{\mathcal {F}}\{x*h\}} _{Y(\omega )}=\underbrace {{\mathcal {F}}\{x\}} _{X(\omega )}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{h\}} _{H(\omega )}$ и $y[n]=x[n]*h[n]={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}X(\omega )\cdot H(\omega ){\big \}},$

где операторы ${\mathcal {F}}$ и ${\mathcal {F}}^{-1}$ соответственно обозначают дискретное преобразование Фурье (DTFT) и обратное ему. Следовательно, комплексная мультипликативная функция $H(\omega )$ фильтра — частотная характеристика . Оно определяется рядом Фурье :

$H_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n}=\sum _{n=0}^{N}b_{n}\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n},$

где добавленный нижний индекс обозначает $2\pi$-периодичность. Здесь $\omega$ представляет частоту в нормализованных единицах ( радианах на выборку ). Функция $H_{2\pi }(2\pi f')$ имеет периодичность $1$ с $f'$ в единицах циклов на выборку , что предпочитают многие приложения для проектирования фильтров. Значение $\omega =\pi$, называемая частотой Найквиста , соответствует $f'={\tfrac {1}{2}}.$ Когда последовательность $x[n]$ имеет известную частоту дискретизации $f_{s}$ (в выборках в секунду ), обычная частота связана с нормализованной частотой соотношением $f=f'\cdot f_{s}={\tfrac {\omega }{2\pi }}\cdot f_{s}$ циклов в секунду ( Гц ). И наоборот, если кто-то хочет спроектировать фильтр для обычных частот $f_{1},$ $f_{2},$ и т. д., используя приложение, которое ожидает циклов на образец , можно было бы ввести $f_{1}/f_{s},$  $f_{2}/f_{s},$ и т. д.

$H_{2\pi }(\omega )$ также может быть выражено через Z-преобразование импульсной характеристики фильтра:

${\widehat {H}}(z)\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot z^{-n}.$

$H_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {H}}(z)\,\right|_{z=e^{j\omega }}={\widehat {H}}(e^{j\omega }).$

Конструкция фильтра

КИХ-фильтры разрабатываются путем поиска коэффициентов и порядка фильтров, которые соответствуют определенным спецификациям, которые могут находиться во временной области (например, согласованный фильтр ) или в частотной области (наиболее распространенный). Согласованные фильтры выполняют взаимную корреляцию между входным сигналом и известной формой импульса. КИХ-свертка представляет собой взаимную корреляцию между входным сигналом и обращенной во времени копией импульсного отклика. Таким образом, импульсная характеристика согласованного фильтра «проектируется» путем выборки известной формы импульса и использования этих выборок в обратном порядке в качестве коэффициентов фильтра.

Когда требуется определенная частотная характеристика, обычно используются несколько различных методов проектирования:

1. Метод оформления окна
2. Метод выборки частоты
3. Метод наименьших MSE (среднеквадратическая ошибка)
4. Метод Паркса – Макклеллана (также известный как метод равной пульсации, оптимальный или минимаксный метод). Алгоритм обмена Ремеза обычно используется для поиска оптимального равноравномерного набора коэффициентов. Здесь пользователь указывает желаемую частотную характеристику, весовую функцию для ошибок этой характеристики и порядок N. фильтра Затем алгоритм находит набор ${\textstyle N+1}$ коэффициенты, минимизирующие максимальное отклонение от идеала. Интуитивно понятно, что это находит фильтр, который максимально близок к желаемому ответу, учитывая, что только ${\textstyle N+1}$ можно использовать коэффициенты. Этот метод особенно прост на практике, поскольку по крайней мере один текст включает программу, которая берет нужный фильтр и N и возвращает оптимальные коэффициенты.
5. КИХ-фильтры Equiripple также могут быть разработаны с использованием алгоритмов ДПФ. Алгоритм носит итеративный характер. ДПФ исходной конструкции фильтра вычисляется с использованием алгоритма БПФ (если первоначальная оценка недоступна, можно использовать h[n]=delta[n]). В области Фурье, или области ДПФ, частотная характеристика корректируется в соответствии с желаемыми характеристиками, а затем вычисляется обратное ДПФ. Во временной области сохраняются только первые N коэффициентов (остальные коэффициенты устанавливаются равными нулю). Затем процесс повторяется итеративно: ДПФ вычисляется еще раз, коррекция применяется в частотной области и так далее.

Пакеты программного обеспечения, такие как MATLAB , GNU Octave , Scilab и SciPy, предоставляют удобные способы применения этих различных методов.

Метод оформления окна

В методе проектирования окна сначала проектируется идеальный БИХ-фильтр, а затем усекается бесконечная импульсная характеристика путем умножения ее на оконную функцию конечной длины . В результате получается фильтр с конечной импульсной характеристикой, частотная характеристика которого изменена по сравнению с БИХ-фильтром. частотной характеристики БИХ Умножение бесконечного импульса на оконную функцию во временной области приводит к свертке с преобразованием Фурье (или DTFT) оконной функции. Если главный лепесток окна узкий, составная частотная характеристика остается близкой к характеристике идеального БИХ-фильтра.

Идеальный ответ часто имеет прямоугольную форму, а соответствующий БИХ является функцией sinc . В результате свертки частотной области края прямоугольника сужаются, а в полосе пропускания и полосе задерживания появляются пульсации. Двигаясь в обратном направлении, можно указать наклон (или ширину) сужающейся области ( полосы перехода ) и высоту пульсаций и тем самым получить параметры частотной области соответствующей оконной функции. Продолжение возврата к импульсной характеристике можно выполнить, повторяя программу проектирования фильтра, чтобы найти минимальный порядок фильтра. Другой метод состоит в том, чтобы ограничить набор решений параметрическим семейством окон Кайзера , которое обеспечивает отношения замкнутой формы между параметрами временной и частотной областей. В общем, этот метод не позволяет достичь минимально возможного порядка фильтра, но он особенно удобен для автоматизированных приложений, требующих динамического, оперативного проектирования фильтров.

Метод проектирования окна также выгоден для создания эффективных полуполосных фильтров , поскольку соответствующая функция sinc равна нулю в каждой второй точке выборки (кроме центральной). Произведение с оконной функцией не меняет нули, поэтому почти половина коэффициентов итоговой импульсной характеристики равна нулю. Соответствующая реализация КИХ-расчетов может использовать это свойство для удвоения эффективности фильтра.

Метод наименьшей среднеквадратической ошибки (MSE)

Цель:

Чтобы спроектировать КИХ-фильтр в смысле MSE, мы минимизируем среднеквадратическую ошибку между полученным нами фильтром и желаемым фильтром.

${\text{MSE}}=f_{s}^{-1}\int _{-f_{s}/2}^{f_{s}/2}|H(f)-H_{d}(f)|^{2}\,df$ , где $f_{s}\,$ частота дискретизации, $H(f)\,$ – спектр полученного нами фильтра, а $H_{d}(f)\,$ – спектр искомого фильтра.

Метод:

Учитывая N -точечный КИХ-фильтр $h[n]$, и $r[n]=h[n+k],k={\frac {(N-1)}{2}}$.

Шаг 1: Предположим $h[n]$даже симметричный. Тогда дискретное время преобразование Фурье $r[n]$ определяется как

$R(F)=e^{j2\pi Fk}H(F)=\sum _{n=0}^{k}s[n]\cos(2\pi nF)$

Шаг 2: Рассчитайте среднеквадратическую ошибку.

${\text{MSE}}=\int _{-1/2}^{1/2}|R(F)-H_{d}(F)|^{2}\,dF$

Поэтому,

${\text{MSE}}=\int _{-1/2}^{1/2}\sum _{n=0}^{k}s[n]\cos(2\pi nF)\sum _{\tau =0}^{k}s[\tau ]\cos(2\pi \tau F)\,dF-2\int _{-1/2}^{1/2}\sum _{n=0}^{k}s[n]\cos(2\pi nF)H_{d}\,dF+\int _{-1/2}^{1/2}H_{d}(F)^{2}\,dF$

Шаг 3. Минимизируйте среднеквадратическую ошибку, выполнив частную производную MSE по отношению к $s[n]$

${\frac {\partial {\text{MSE}}}{\partial s[n]}}=2\sum _{\tau =0}^{k}s[\tau ]\int _{-1/2}^{1/2}\cos(2\pi nF)\cos(2\pi \tau F)\,dF-2\int _{-1/2}^{1/2}H_{d}(F)^{2}\cos(2\pi nF)\,dF=0$

После организации у нас есть

$s[0]=\int _{-1/2}^{1/2}H_{d}(F)\,dF$

$s[n]=\int _{-1/2}^{1/2}\cos(2\pi nF)H_{d}(F)\,dF,\ {\text{ for }}n\neq 0$

Шаг 4: Измените $s[n]$ вернемся к презентации $h[n]$

$h[k]=s[0],h[k+n]=s[n]/2,h[k-n]=s[n]/2,\;for\;n=1,2,3,\ldots ,k,{\text{ where }}k=(N-1)/2$ и $h[n]=0{\text{ for }}n<0{\text{ and }}n\geq N$

Кроме того, мы можем по-разному относиться к важности полосы пропускания и полосы задерживания в соответствии с нашими потребностями, добавив взвешенную функцию: $W(f)$ Затем ошибка MSE становится

${\text{MSE}}=\int _{-1/2}^{1/2}W(F)|R(F)-H_{d}(F)|^{2}\,dF$

Пример скользящего среднего

Блок-схема простого КИХ-фильтра (в данном случае фильтр второго порядка с тремя отводами, реализующий сглаживающий фильтр скользящего среднего)

Диаграмма полюс-ноль примера сглаживающего КИХ-фильтра второго порядка

Амплитуда и фазовые характеристики примера сглаживающего КИХ-фильтра второго порядка

Амплитудные и фазовые характеристики примера сглаживающего КИХ-фильтра второго порядка

Фильтр скользящего среднего — это очень простой КИХ-фильтр. Его иногда называют коробчатым фильтром, особенно если за ним следует прореживание или синхрочастотный фильтр . Коэффициенты фильтра, ${\textstyle b_{0},\ldots ,b_{N}}$, находятся по следующему уравнению:

$b_{i}={\frac {1}{N+1}}$

Чтобы предоставить более конкретный пример, мы выбираем порядок фильтра:

$N=2$

Импульсная характеристика результирующего фильтра :

$h[n]={\frac {1}{3}}\delta [n]+{\frac {1}{3}}\delta [n-1]+{\frac {1}{3}}\delta [n-2]$

На блок-схеме справа показан фильтр скользящего среднего второго порядка, обсуждаемый ниже. Передаточная функция :

$H(z)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}z^{-1}+{\frac {1}{3}}z^{-2}={\frac {1}{3}}{\frac {z^{2}+z+1}{z^{2}}}.$

На следующем рисунке показана соответствующая диаграмма полюс-ноль . Нулевая частота (DC) соответствует (1, 0), положительные частоты продвигаются против часовой стрелки по кругу до частоты Найквиста в точке (-1, 0). Два полюса расположены в начале координат, а два нуля — в начале координат. ${\textstyle z_{1}=-{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$, ${\textstyle z_{2}=-{\frac {1}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.

Частотная характеристика, выраженная в нормализованной частоте ω , равна :

${\begin{aligned}H\left(e^{j\omega }\right)&={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}e^{-j\omega }+{\frac {1}{3}}e^{-j2\omega }\\&={\frac {1}{3}}e^{-j\omega }\left(1+2\cos(\omega )\right).\end{aligned}}$

Амплитудная и фазовая составляющие ${\textstyle H\left(e^{j\omega }\right)}$ изображены на рисунке. Но подобные графики также можно построить, выполнив дискретное преобразование Фурье (ДПФ) импульсной характеристики. А из-за симметрии программное обеспечение для проектирования фильтров или просмотра часто отображает только область [0, π]. График амплитуды показывает, что фильтр скользящего среднего пропускает низкие частоты с коэффициентом усиления, близким к 1, и ослабляет высокие частоты и, таким образом, является грубым фильтром нижних частот . Фазовый график является линейным, за исключением разрывов на двух частотах, где величина стремится к нулю. Размер разрывов равен π, что представляет собой смену знака. Они не влияют на свойства линейной фазы, как показано на последнем рисунке.

См. также

• Каскадный интегратор – гребенчатый фильтр
• Компактная поддержка
• Цифровая линия задержки
• Электронный фильтр
• Фильтр (обработка сигнала)
• Конструкция фильтра
• Передаточная функция КИХ
• Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ)
• Z-преобразование (в частности, линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами )