Уравнение ионизации Саха

В физике уравнение ионизации Саха представляет собой выражение, которое связывает состояние ионизации газа, находящегося в тепловом равновесии, с температурой и давлением. Уравнение является результатом объединения идей квантовой механики и статистической механики и используется для объяснения спектральной классификации звезд. Выражение было разработано физиком Мегнадом Саха в 1920 году. Он обсуждается во многих учебниках по статистической физике и физике плазмы, например в книге Дрейка.

Описание

Для газа с достаточно высокой температурой (здесь измеряемой в энергетических единицах, т.е. кэВ или Дж) и/или плотности тепловые столкновения атомов ионизуют некоторые атомы, образуя ионизированный газ. Когда несколько или более электронов, которые обычно связаны с атомом на орбитах вокруг атомного ядра, освобождаются, они образуют независимое облако электронного газа, сосуществующее с окружающим газом атомных ионов и нейтральных атомов. При достаточной ионизации газ может перейти в состояние вещества, называемое плазмой .

Уравнение Саха описывает степень ионизации любого газа, находящегося в тепловом равновесии, как функцию температуры, плотности и энергии ионизации атомов. Уравнение Саха справедливо только для слабоионизованной плазмы, для которой дебаевская длина мала. Это означает, что экранирование кулоновского взаимодействия ионов и электронов другими ионами и электронами незначительно. Поэтому последующее понижение потенциалов ионизации и «обрезание» статистической суммы также незначительно.

Для газа, состоящего из одного атома, уравнение Саха записывается: $${\frac {n_{i+1}n_{\text{e}}}{n_{i}}}={\frac {2}{\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{i+1}}{g_{i}}}\exp \left[-{\frac {(\varepsilon _{i+1}-\varepsilon _{i})}{k_{\text{B}}T}}\right]$$где:

• $n_{i}$ — плотность атомов в i- м состоянии ионизации, то есть с удаленными i электронами.
• $g_{i}$ – вырождение состояний i -ионов
• $\varepsilon _{i}$ — энергия, необходимая для удаления i электронов из нейтрального атома с образованием иона i -уровня.
• $n_{\text{e}}$ плотность электронов
• $k_{\text{B}}$ — постоянная Больцмана
• $\lambda _{\text{th}}$ - тепловая длина волны де Бройля электрона $$\lambda _{\text{th}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {h}{\sqrt {2\pi m_{\text{e}}k_{\text{B}}T}}}$$
• $m_{\text{e}}$ это масса электрона
• $T$ это температура газа
• $h$ Планка постоянная

Выражение $(\varepsilon _{i+1}-\varepsilon _{i})$ это энергия, необходимая для удаления $(i+1)$й электрон. В случае, когда важен только один уровень ионизации, имеем $n_{1}=n_{\text{e}}$ и определяя общую плотность n как $n=n_{0}+n_{1}$уравнение Саха упрощается до: $${\frac {n_{\text{e}}^{2}}{n-n_{\text{e}}}}={\frac {2}{\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[{\frac {-\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}\right]$$где $\varepsilon$ – энергия ионизации. Мы можем определить степень ионизации $x=n_{1}/n$ и найти $${\frac {x^{2}}{1-x}}=A={\frac {2}{n\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[{\frac {-\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}\right]$$

Это дает квадратное уравнение, которое можно решить в замкнутой форме: $$x^{2}+Ax-A=0$$

Для маленьких $A$, $x\approx A^{1/2}\propto n^{-1/2}$, так что ионизация уменьшается с увеличением плотности.

В качестве простого примера представьте себе газ, состоящий из одноатомных атомов водорода, поставьте $g_{0}=g_{1}$ и пусть $\varepsilon$ = 13,6 эВ = 158 000 К , энергия ионизации водорода из основного состояния. Позволять $n$ = 2.69 × 10 ²⁵ м ⁻³ , что является постоянной Лошмидта или плотностью частиц земной атмосферы при стандартном давлении и температуре. В $T$ = 300 К ионизация практически отсутствует: $x$ = 5 × 10 ⁻¹¹⁵ и в объеме земной атмосферы почти наверняка не было бы ионизированных атомов. $x$ быстро увеличивается с $T$, достигая 0,35 для $T$ = 20 000 К. ​Несмотря на это, существует значительная ионизация. $T$ значительно меньше энергии ионизации (хотя это в некоторой степени зависит от плотности). Это обычное явление. Физически это связано с тем, что при данной температуре частицы имеют распределение энергий, в том числе в несколько раз $T$. Эти частицы высокой энергии гораздо более эффективно ионизируют атомы. В атмосфере Земли ионизация на самом деле определяется не уравнением Саха, а очень энергичными космическими лучами, в основном мюонами. Эти частицы не находятся в тепловом равновесии с атмосферой, поэтому их температура не равна ее температуре, и логика Саха не применима.

Ионизация водорода по уравнению Саха в зависимости от температуры для трех полных плотностей ионов (относительно константы Лошмидта ).

Плотность частиц

Уравнение Саха полезно для определения соотношения плотностей частиц для двух разных уровней ионизации. Наиболее полезная форма уравнения Саха для этой цели: $${\frac {Z_{i}}{N_{i}}}={\frac {Z_{i+1}Z_{e}}{N_{i+1}N_{e}}},$$где Z обозначает статистическую сумму . Уравнение Саха можно рассматривать как повторную формулировку условия равновесия для химических потенциалов : $$\mu _{i}=\mu _{i+1}+\mu _{e}\,$$

Это уравнение просто утверждает, что потенциал ионизации атома в состоянии ионизации i такой же, как потенциал для электрона и атома в состоянии ионизации i + 1 ; потенциалы равны, поэтому система находится в равновесии, и никакого общего изменения ионизации не произойдет.

Звездная атмосфера

В начале 20-х годов Ральф Фаулер (в сотрудничестве с Чарльзом Гальтоном Дарвином ) разработал новый метод статистической механики, позволяющий систематически рассчитывать равновесные свойства материи. Он использовал это, чтобы обеспечить строгий вывод формулы ионизации, которую получил Саха, распространив на ионизацию атомов теорему Якоба Хенрикуса ван 'т-Гоффа , используемую в физической химии для ее применения к молекулярной диссоциации. Кроме того, значительное усовершенствование уравнения Саха, введенное Фаулером, заключалось в включении эффекта возбужденных состояний атомов и ионов. Следующий важный шаг вперед был сделан в 1923 году, когда Эдвард Артур Милн статью и Р. Х. Фаулер опубликовали в «Ежемесячных уведомлениях Королевского астрономического общества» , показав, что критерий максимальной интенсивности линий поглощения (принадлежащих подчиненным рядам нейтрального атома) оказался гораздо более плодотворным для получения информации о физических параметрах звездных атмосфер, чем критерий, использованный Саха и заключавшийся в незначительном появлении или исчезновении линий поглощения. Последний критерий требует некоторых знаний о соответствующем давлении в звездных атмосферах, и Саха, следуя общепринятой в то время точке зрения, принял значение порядка от 1 до 0,1 атмосферы. Милн писал:

Саха сосредоточился на краевых появлениях и исчезновениях линий поглощения в звездной последовательности, приняв порядок величины давления в звездной атмосфере и рассчитав температуру, при которой возрастающая ионизация, например, препятствовала дальнейшему поглощению рассматриваемой линии из-за потеря последовательного электрона. Однажды, когда мы с Фаулером топтались по моей комнате в Тринити и обсуждали это, мне вдруг пришло в голову, что максимальная интенсивность бальмеровских линий водорода , например, легко объясняется тем соображением, что при более низких температурах мало возбужденных атомов, чтобы дать заметное поглощение, тогда как при более высоких температурах остается слишком мало нейтральных атомов, чтобы дать какое-либо поглощение. ... В тот вечер я сделал поспешный расчет порядка величины эффекта и обнаружил, что, чтобы соответствовать температуре 10 000° [К] для звезд типа А0, где бальмеровские линии имеют максимум, давление порядка из 10 ⁻⁴ нужна была атмосфера. Это было очень интересно, потому что стандартные определения давления в звездных атмосферах по сдвигу и ширине линий должны были указывать на давление порядка одной атмосферы или более, а я по другим причинам начал этому не верить.

Общепринятая в то время точка зрения предполагала, что состав звезд аналогичен земному. Однако в 1925 году Сесилия Пейн использовала теорию ионизации Саха, чтобы вычислить, что состав звездных атмосфер такой, каким мы его знаем сейчас; в основном водород и гелий, расширяющие знания о звездах.

Звездные короны

Равновесие Саха преобладает, когда плазма находится в локальном термодинамическом равновесии , чего нет в оптически тонкой короне .Здесь равновесные состояния ионизации должны быть оценены путем детального статистического расчета скоростей столкновений и рекомбинации.

Ранняя вселенная

Равновесная ионизация, описываемая уравнением Саха, объясняет эволюцию в ранней Вселенной. После Большого взрыва все атомы были ионизированы, остались в основном протоны и электроны. Согласно подходу Саха, когда Вселенная расширилась и остыла так, что температура достигла примерно 3000 К , электроны рекомбинировали с протонами, образуя водорода атомы . В этот момент Вселенная стала прозрачной для большей части электромагнитного излучения. Эта поверхность с температурой 3000 К , смещенная в красную сторону примерно в 1000 раз, генерирует космическое микроволновое фоновое излучение с температурой 3 К , которое сегодня пронизывает Вселенную.

Внешние ссылки

• Вывод и обсуждение Хейла Брэдта
• Подробный вывод из Университета Юты. физического факультета
• Конспекты лекций университета Мэрилендского факультета астрономии