О схеме перенормировки оболочки

В квантовой теории поля , и особенно в квантовой электродинамике , теория взаимодействия приводит к бесконечным величинам, которые должны быть поглощены в процедуре перенормировки , чтобы иметь возможность предсказывать измеримые величины. Схема перенормировки может зависеть от типа рассматриваемых частиц. Для частиц, которые могут перемещаться на асимптотически большие расстояния, или для процессов с низкой энергией подходит схема на оболочке , также известная как физическая схема. Если эти условия не выполняются, можно обратиться к другим схемам, например к схеме минимального вычитания (схема МС).

Фермионный пропагатор в теории взаимодействия

Знание различных распространителей является основой для расчета диаграмм Фейнмана , которые являются полезными инструментами для прогнозирования, например, результатов экспериментов по рассеянию. В теории, где единственным полем является поле Дирака , пропагатор Фейнмана имеет вид

$\langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|0\rangle =iS_{F}(x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m+i\epsilon }}$

где $T$ — оператор упорядочивания времени , $|0\rangle$ вакуум в теории невзаимодействия, $\psi (x)$ и ${\bar {\psi }}(x)$ поле Дирака и сопряженное к нему Дирака, и где левая часть уравнения представляет собой двухточечную корреляционную функцию поля Дирака.

В новой теории поле Дирака может взаимодействовать с другим полем, например с электромагнитным полем в квантовой электродинамике, а сила взаимодействия измеряется параметром, в случае КЭД это заряд голого электрона: $e$. Общий вид пропагатора должен оставаться неизменным, т.е. если $|\Omega \rangle$ теперь представляет вакуум во взаимодействующей теории, двухточечная корреляционная функция теперь будет выглядеть так:

$\langle \Omega |T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {iZ_{2}e^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m_{r}+i\epsilon }}$

Введены две новые величины. Сначала перенормированная масса $m_{r}$ был определен как полюс преобразования Фурье пропагатора Фейнмана. Это основное предписание схемы перенормировки на оболочке (тогда нет необходимости вводить другие масштабы масс, как в схеме минимального вычитания). Количество $Z_{2}$ представляет собой новую силу поля Дирака. Поскольку взаимодействие сводится к нулю, позволяя $e\rightarrow 0$, эти новые параметры должны стремиться к значению, позволяющему восстановить пропагатор свободного фермиона, а именно $m_{r}\rightarrow m$ и $Z_{2}\rightarrow 1$.

Это означает, что $m_{r}$ и $Z_{2}$ можно определить как ряд $e$ если этот параметр достаточно мал (в системе единиц, где $\hbar =c=1$, $e={\sqrt {4\pi \alpha }}\simeq 0.3$, где $\alpha$ – константа тонкой структуры ). Таким образом, эти параметры можно выразить как

$Z_{2}=1+\delta _{2}$

$m_{r}=m+\delta m$

С другой стороны, модификацию пропагатора можно вычислить до определенного порядка в $e$ с помощью диаграмм Фейнмана. Эти модификации суммируются в собственной энергии фермионов. $\Sigma (p)$

$\langle \Omega |T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m-\Sigma (p)+i\epsilon }}$

Эти поправки часто расходятся, поскольку содержат петли .Путем идентификации двух выражений корреляционной функции до определенного порядка в $e$, можно определить контрчлены, и они будут поглощать расходящиеся вклады поправок в фермионный пропагатор. Таким образом, перенормированные величины, такие как $m_{r}$, останется конечным и будет величиной, измеряемой в экспериментах.

Распространитель фотонов

Точно так же, как это было сделано с фермионным пропагатором, форма пропагатора фотонов, вдохновленная полем свободных фотонов, будет сравниваться с пропагатором фотонов, рассчитанным до определенного порядка в $e$ в теории взаимодействия. Собственная энергия фотона отмечена $\Pi (q^{2})$ и метрический тензор $\eta ^{\mu \nu }$ (здесь используется соглашение +---)

$\langle \Omega |T(A^{\mu }(x)A^{\nu }(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}=\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-iZ_{3}\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}+i\epsilon }}$

Поведение контртермина $\delta _{3}=Z_{3}-1$ не зависит от импульса падающего фотона $q$. Чтобы это исправить, поведение КЭД на больших расстояниях (что должно помочь восстановить классическую электродинамику ), т.е. когда $q^{2}\rightarrow 0$, используется:

${\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}\sim {\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}}}$

Таким образом, контртермин $\delta _{3}$ фиксируется значением $\Pi (0)$.

Вершинная функция

Аналогичные рассуждения с использованием вершинной функции приводят к перенормировке электрического заряда $e_{r}$. Эта перенормировка и фиксация членов перенормировки выполняются с использованием того, что известно из классической электродинамики в больших космических масштабах. Это приводит к значению контртермина $\delta _{1}$, что фактически равно $\delta _{2}$ из-за идентичности Уорда-Такахаши . Именно этот расчет объясняет аномальный магнитный дипольный момент фермионов.

Изменение масштаба лагранжиана КЭД.

Мы рассмотрели некоторые факторы пропорциональности (например, $Z_{i}$), которые были определены из формы пропагатора. Однако их также можно определить с помощью лагранжиана КЭД, что будет сделано в этом разделе, и эти определения эквивалентны. Лагранжиан, описывающий физику квантовой электродинамики, равен

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\bar {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi +e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }$

где $F_{\mu \nu }$ – тензор напряженности поля , $\psi$ — спинор Дирака (релятивистский эквивалент волновой функции ), а $A$ электромагнитный четырехпотенциал . Параметры теории: $\psi$, $A$, $m$ и $e$. Эти величины оказались бесконечными из-за петлевых поправок (см. ниже). Можно определить перенормированные величины (которые будут конечными и наблюдаемыми):

$\psi ={\sqrt {Z_{2}}}\psi _{r}\;\;\;\;\;A={\sqrt {Z_{3}}}A_{r}\;\;\;\;\;m=m_{r}+\delta m\;\;\;\;\;e={\frac {Z_{1}}{Z_{2}{\sqrt {Z_{3}}}}}e_{r}\;\;\;\;\;{\text{with}}\;\;\;\;\;Z_{i}=1+\delta _{i}$

The $\delta _{i}$ называются контртермами (возможны и другие их определения). Они должны быть малы по параметру $e$. Лагранжиан теперь читается через перенормированные величины (в первом порядке контрчленов):

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}Z_{3}F_{\mu \nu ,r}F_{r}^{\mu \nu }+Z_{2}{\bar {\psi }}_{r}(i\partial \!\!\!/-m_{r})\psi _{r}-{\bar {\psi }}_{r}\delta m\psi _{r}+Z_{1}e_{r}{\bar {\psi }}_{r}\gamma ^{\mu }\psi _{r}A_{\mu ,r}$

Предписание перенормировки — это набор правил, описывающих, какая часть расходимостей должна находиться в перенормируемых величинах, а какая — в контрчленах. Рецепт часто основан на теории свободных полей, то есть на поведении $\psi$ и $A$ когда они не взаимодействуют (что соответствует исключению термина $e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }$ в лагранжиане).

Ссылки

• М. Пескин; Д. Шредер (1995). Введение в квантовую теорию поля . Читаем: Эддисон-Уизли.