Анализ корневого локуса

В теории управления и устойчивости теории анализ корневого годографа представляет собой графический метод исследования того, как корни системы изменяются при изменении определенного параметра системы , что обычно является выигрышем в системе с обратной связью . Это метод, используемый в качестве критерия устойчивости в области классической теории управления, разработанный Уолтером Р. Эвансом, который может определить устойчивость системы. Корневой годограф отображает полюсы в передаточной функции замкнутого контура комплексной s -плоскости как функцию параметра усиления (см. график полюс – ноль ).

Эванс также изобрел в 1948 году аналоговый компьютер для вычисления корневых локусов, названный «спирулой» (от слов «спираль» и « логарифмическая линейка »); он нашел широкое применение до появления цифровых компьютеров . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

Использование

Помимо определения устойчивости системы, корневой годограф можно использовать для расчета коэффициента затухания ( ζ ) и собственной частоты ( ω _n ) системы обратной связи. Линии постоянного коэффициента затухания можно провести радиально от начала координат, а линии постоянной собственной частоты можно нарисовать в виде арккосинуса, центральные точки которого совпадают с началом координат. Выбрав точку на корневом критерии, которая совпадает с желаемым коэффициентом демпфирования и собственной частотой, можно рассчитать коэффициент усиления K и реализовать его в контроллере. Более сложные методы проектирования контроллера с использованием корневого годографа доступны в большинстве учебников по управлению: например, с запаздыванием, опережением , ПИ, ПД и ПИД с помощью этого метода можно приблизительно спроектировать регуляторы .

Определение коэффициента демпфирования и собственной частоты предполагает, что общая система обратной связи хорошо аппроксимируется системой второго порядка; т.е. система имеет доминирующую пару полюсов. Зачастую это не так, поэтому рекомендуется смоделировать окончательный проект, чтобы проверить, достигнуты ли цели проекта.

Определение

Корневой годограф системы обратной связи представляет собой графическое представление в комплексной s -плоскости возможных положений ее полюсов замкнутого контура при изменении значений определенного параметра системы. Точки, являющиеся частью корневого годографа, удовлетворяют условию угла. Значение параметра для определенной точки корневого годографа можно получить с помощью условия величины .

Предположим, имеется система обратной связи с входным сигналом $X(s)$ и выходной сигнал $Y(s)$ . прямого пути Передаточная функция : $G(s)$ ; передаточная функция пути обратной связи $H(s)$ .

Для этой системы передаточная функция замкнутого контура определяется выражением ^{[ 10 ]}

T(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}

Таким образом, полюсы замкнутой передаточной функции являются корнями характеристического уравнения $1+G(s)H(s)=0$ . Корни этого уравнения можно найти везде, где $1+G(s)H(s)=0$ .

В системах без чистой задержки произведение $G(s)H(s)$ является рациональной полиномиальной функцией и может быть выражена как ^{[ 11 ]}

G(s)H(s)=K{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n})}}

где $-z_{i}$ являются $m$ нули , $-p_{i}$ являются $n$ столбы и $K$ является скалярным усилением. Обычно диаграмма корневого годографа указывает расположение полюсов передаточной функции для различных значений параметра. $K$ . График корневого годографа будет представлять собой все те точки на s -плоскости, где $G(s)H(s)=-1$ за любую стоимость $K$ .

Факторинг $K$ а использование простых мономов означает, что оценку рационального многочлена можно выполнить с помощью векторных методов, которые складывают или вычитают углы, а также умножают или делят величины. Векторная формулировка возникает из-за того, что каждый мономиальный член $(s-a)$ в факторинге $G(s)H(s)$ представляет вектор из $a$ к $s$ в s-плоскости. Полином можно оценить, рассмотрев величины и углы каждого из этих векторов.

Согласно векторной математике, угол результата рационального многочлена равен сумме всех углов в числителе минус сумма всех углов в знаменателе. Таким образом, чтобы проверить, находится ли точка в s -плоскости в корневом годографе, необходимо учитывать только углы ко всем полюсам и нулям разомкнутого контура. Это известно как условие угла.

Аналогично, величина результата рационального многочлена — это произведение всех величин в числителе, деленное на произведение всех величин в знаменателе. Оказывается, что вычисление величины не требуется для определения того, является ли точка в s-плоскости частью корневого годографа, потому что $K$ варьируется и может принимать произвольное действительное значение. Для каждой точки корневого годографа значение $K$ можно рассчитать. Это известно как условие величины.

Корневой годограф дает только расположение полюсов замкнутого контура в качестве коэффициента усиления. $K$ разнообразен. Стоимость $K$ не влияет на расположение нулей. Нули разомкнутого контура такие же, как нули замкнутого контура.

Угловое состояние

точка $s$ комплексной s -плоскости удовлетворяет условию угла, если

\angle (G(s)H(s))=\pi

это то же самое, что сказать, что

\sum _{i=1}^{m}\angle (s+z_{i})-\sum _{i=1}^{n}\angle (s+p_{i})=\pi

то есть сумма углов от разомкнутых нулей до точки $s$ (измеряется на ноль относительно горизонтали, проходящей через этот ноль) минус углы от полюсов разомкнутого контура до точки $s$ (измеряется на полюс относительно горизонтальной линии, проходящей через этот столб) должно быть равно $\pi$ или 180 градусов . Обратите внимание, что эти интерпретации не следует путать с разницей углов между точками. $s$ и нули/полюсы.

Состояние величины

Значение $K$ удовлетворяет условию величины для данного $s$ точка корневого годографа, если

|G(s)H(s)|=1

это то же самое, что сказать, что

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

.

Зарисовка корневого локуса

Используя несколько основных правил, метод корневого годографа может построить общую форму пути (локуса), пройденного корнями, как значение $K$ варьируется. График корневого годографа дает представление об устойчивости и динамике этой системы обратной связи для различных значений $K$ . ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} Правила следующие:

Отметьте полюсы и нули разомкнутого контура
Отметьте реальную часть оси слева от нечетного числа полюсов и нулей.
Найдите асимптоты

Пусть P — количество полюсов, а Z — количество нулей:

P-Z={\text{number of asymptotes}}\,

Асимптоты пересекают действительную ось при $\alpha$ (который называется центроидом) и отходят под углом $\phi$ предоставлено:

\phi _{l}={\frac {180^{\circ }+(l-1)360^{\circ }}{P-Z}},l=1,2,\ldots ,P-Z

\alpha ={\frac {\operatorname {Re} \left(\sum _{P}-\sum _{Z}\right)}{P-Z}}

где $\sum _{P}$ представляет собой сумму всех положений полюсов, $\sum _{Z}$ представляет собой сумму всех положений явных нулей и $\operatorname {Re} ()$ означает, что нас интересует только действительная часть.

Фазовое состояние на контрольной точке для определения угла отклонения
Вычисление точек отрыва/взлома

Точки отрыва расположены в корнях следующего уравнения:

{\frac {dG(s)H(s)}{ds}}=0{\text{ or }}{\frac {d{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0

Как только вы решите z , настоящие корни дадут вам точки отрыва/повторного входа. Сложные корни соответствуют отсутствию отрыва/повторного входа.

Построение корневого локуса

Учитывая общий рациональный полином замкнутого знаменателя

1+G(s)H(s)=1+K{\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}},

характеристическое уравнение можно упростить до

s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +(a_{m}+Kb_{m})s^{m}+\ldots +(a_{1}+Kb_{1})s+(a_{0}+Kb_{0})=0.

Решения $s$ этому уравнению являются корневыми множествами передаточной функции замкнутого контура.

Пример

Данный

1+G(s)H(s)=1+K{\frac {s+3}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}},

мы будем иметь характеристическое уравнение

s^{3}+3s^{2}+(5+K)s+(1+3K)=0.

Следующий код MATLAB построит корневой годограф передаточной функции с обратной связью как $K$ варьируется при использовании описанного ручного метода, а также rlocus встроенная функция:

% Manual method
K_array = (0:0.1:220).'; % .' is a transpose. Looking up in Matlab documentation.
NK = length(K_array);
x_array = zeros(NK, 3);
y_array = zeros(NK, 3);

for nK = 1:NK
   K = K_array(nK);
   C = [1, 3, (5 + K), (1 + 3*K)];
   r = roots(C).';
   x_array(nK,:) = real(r);
   y_array(nK,:) = imag(r);
end

figure();
plot(x_array, y_array);
grid on;

% Built-in method
sys = tf([1, 3], [1, 3, 5, 1]);
figure();
rlocus(sys);

Следующий код Python также можно использовать для расчета и построения корневого годографа передаточной функции с обратной связью с использованием библиотеки систем управления Python. ^{[ 14 ]} и Матплотлиб ^{[ 15 ]}.

import control as ct
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the transfer function
sys = ct.TransferFunction([1, 3], [1, 3, 5, 1])

# Calculate and plot the root locus
roots, gains = ct.root_locus(sys, plot=True)
plt.show()

z -плоскость против s -плоскости

Метод корневого годографа также можно использовать для анализа систем выборочных данных путем вычисления корневого годографа в z -плоскости , дискретном аналоге s -плоскости. Уравнение $z = e СТ$ отображает непрерывные полюсы s -плоскости (не нули) в z -область, где $T$ — период выборки. Стабильная левая половина s -плоскости отображается во внутреннюю часть единичного круга z -плоскости, причем начало s -плоскости соответствует |z| = 1 (потому что e ⁰ = 1). Диагональная линия постоянного затухания в плоскости s отображается вокруг спирали из (1,0) в плоскости z , когда она изгибается к началу координат. Найквиста Критерий сглаживания выражается графически в плоскости z по оси x , где $ωnT = π$ . Линия постоянного затухания, только что описанная, движется по спирали на неопределенный срок, но в системах выборочных данных частотное содержимое сглаживается до более низких частот целыми кратными частоты Найквиста . То есть дискретизированный отклик выглядит как более низкочастотный и лучше затухающий, поскольку корень в плоскости z одинаково хорошо отображается на первый контур другой, лучше затухающей спиральной кривой постоянного затухания. Можно описать множество других интересных и важных свойств отображения, не в последнюю очередь то, что контроллеры z -плоскости, обладающие тем свойством, что они могут быть непосредственно реализованы из передаточной функции z -плоскости (отношение нуль/полюс полиномов), можно представить графически на z - график передаточной функции разомкнутого контура в плоскости, который немедленно анализируется с использованием корневого годографа.

Поскольку корневое годографирование представляет собой метод графического угла, правила корневого годографа работают одинаково в $плоскостях z$ и $s$ .

Идея корневого годографа может быть применена ко многим системам, в которых $один параметр K.$ варьируется Например, полезно просмотреть любой системный параметр, точное значение которого неизвестно, чтобы определить его поведение.

См. также

Ссылки

^ «1990» . Инженерная школа Маккелви при Вашингтонском университете в Сент-Луисе . Проверено 12 марта 2023 г.
^ Эванс, Уолтер Р. (1965), Инструкции по Spirule , Уиттиер, Калифорния: The Spirule Company.
^ Роберт Х., JC (2012). Динамика физических систем . Дуврское гражданское и машиностроительное строительство. Дуврские публикации. п. 727. ИСБН 978-0-486-13969-2 . Проверено 12 марта 2023 г.
^ Добелин, Э.О. (1985). Принципы и проектирование системы управления . Уайли. п. 312. ИСБН 978-0-471-08815-8 . Проверено 12 марта 2023 г.
^ Савант, CJ (1958). Базовая конструкция системы управления с обратной связью . Инженерный специальный сборник. МакГроу-Хилл . Проверено 12 марта 2023 г.
^ Харрис, Л.Д. (1961). Введение в системы обратной связи . Уайли. ISBN 978-0-598-48455-0 . Проверено 12 марта 2023 г.
^ Д'Аззо, Джей Джей; Упис, Швейцария (1968). Основы электротехники: электрические цепи, электроника, приборостроение, преобразование энергии, системы управления, компьютеры . Издательская компания CE Merrill . Проверено 12 марта 2023 г.
^ Гупта, Южная Каролина; Хасдорф, Л. (1983). Основы автоматического управления . Кригер. ISBN 978-0-89874-578-8 . Проверено 12 марта 2023 г.
^ Дрансфилд, П. (1968). Инженерные системы и автоматическое управление . Прентис-Холл . Проверено 12 марта 2023 г.
^ Куо 1967 , с. 331.
^ Куо 1967 , с. 332.
^ Эванс, WR (январь 1948 г.), «Графический анализ систем управления», Пер. AIEE , 67 (1): 547–551, doi : 10.1109/T-AIEE.1948.5059708 , ISSN 0096-3860 , S2CID 51634121
^ Эванс, WR (январь 1950 г.), «Синтез систем управления методом корневого годографа», Trans. AIEE , 69 (1): 66–69, doi : 10.1109/T-AIEE.1950.5060121 , ISSN 0096-3860 , S2CID 51633514
^ Библиотека систем управления Python , Библиотека систем управления для Python, 19 декабря 2023 г. , получено 19 декабря 2023 г.
^ «Matplotlib — Визуализация с помощью Python» . matplotlib.org . Проверено 19 декабря 2023 г.

Куо, Бенджамин К. (1967). «Техника корневого локуса». Системы автоматического управления (второе изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. стр. 329–388. АСИН B000KPT04C . LCCN 67016388 . ОСЛК 3805225 .

Дальнейшее чтение

Эш, Р. Х.; Эш, GH (октябрь 1968 г.), «Численное вычисление корневых локусов с использованием метода Ньютона-Рафсона», IEEE Transactions on Auto Control , 13 (5): 576–582, doi : 10.1109/TAC.1968.1098980
Уильямсон, SE (май 1968 г.), «Проектные данные для построения графиков корневых локусов (Часть I)», Control Magazine , 12 (119): 404–407.
Уильямсон, SE (июнь 1968 г.), «Проектные данные для построения графиков корневых локусов (Часть II)», Control Magazine , 12 (120): 556–559.
Уильямсон, SE (июль 1968 г.), «Проектные данные для помощи в построении корневых локусов (Часть III)», Control Magazine , 12 (121): 645–647.
Уильямсон, SE (15 мая 1969 г.), «Компьютерная программа для получения временного отклика систем выборочных данных», Electronics Letters , 5 (10): 209–210, Бибкод : 1969ElL.....5..209W , doi : 10.1049/эл:19690159
Уильямсон, С.Э. (июль 1969 г.), «Точное построение корневых годографов, включая эффекты чистой временной задержки. Описание компьютерной программы» , Proceedings of the Institution of Electrical Engineers , 116 (7): 1269–1271, doi : 10.1049/пие. 1969.0235 , заархивировано из оригинала 29 июня 2019 г.

Внешние ссылки

Wikibooks: Системы управления/Корневой локус
Карнеги-Меллон / Учебное пособие Мичиганского университета
Отличные примеры. Начните с примера 5 и продолжайте от 4 до 1. Также посетите главную страницу.
Метод корневого локуса: техника рисования вручную.
«RootLocs»: бесплатный многофункциональный построитель корневых координат для платформ Mac и Windows.
«Корневой локус»: бесплатный построитель/анализатор корневых локусов для Windows.
Корневой локус на ControlTheoryPro.com
Корневой анализ систем управления
Функция MATLAB для вычисления корневого годографа модели с разомкнутым контуром SISO
Векслер, Э.Р. (январь – март 1983 г.), «Алгоритмы корневых годографов для программируемых карманных калькуляторов» (PDF) , Отчет о ходе работы в области телекоммуникаций и сбора данных , 73 , НАСА: 60–64, Бибкод : 1983TDAPR..73...60W
Функция Mathematica для построения корневого годографа
Шекара, Томислав Б.; Рапаич, Милан Р. (1 октября 2015 г.). «Пересмотр метода корневого локуса с приложениями». Журнал управления процессами . 34 : 26–34. дои : 10.1016/j.jprocont.2015.07.007 .

[McKelvey_School_of_Engineering_at_Washington_University_in_St._Louis-1] «1990» . Инженерная школа Маккелви при Вашингтонском университете в Сент-Луисе . Проверено 12 марта 2023 г.

[2] Эванс, Уолтер Р. (1965), Инструкции по Spirule , Уиттиер, Калифорния: The Spirule Company.

[Robert_H._2012_p._727-3] Роберт Х., JC (2012). Динамика физических систем . Дуврское гражданское и машиностроительное строительство. Дуврские публикации. п. 727. ИСБН 978-0-486-13969-2 . Проверено 12 марта 2023 г.

[Doebelin_1985_p._312-4] Добелин, Э.О. (1985). Принципы и проектирование системы управления . Уайли. п. 312. ИСБН 978-0-471-08815-8 . Проверено 12 марта 2023 г.

[Savant_1958_p.-5] Савант, CJ (1958). Базовая конструкция системы управления с обратной связью . Инженерный специальный сборник. МакГроу-Хилл . Проверено 12 марта 2023 г.

[Harris_1961_p.-6] Харрис, Л.Д. (1961). Введение в системы обратной связи . Уайли. ISBN 978-0-598-48455-0 . Проверено 12 марта 2023 г.

[DAzzo_Houpis_1968_p.-7] Д'Аззо, Джей Джей; Упис, Швейцария (1968). Основы электротехники: электрические цепи, электроника, приборостроение, преобразование энергии, системы управления, компьютеры . Издательская компания CE Merrill . Проверено 12 марта 2023 г.

[Gupta_Hasdorff_1983_p.-8] Гупта, Южная Каролина; Хасдорф, Л. (1983). Основы автоматического управления . Кригер. ISBN 978-0-89874-578-8 . Проверено 12 марта 2023 г.

[Dransfield_1968_p.-9] Дрансфилд, П. (1968). Инженерные системы и автоматическое управление . Прентис-Холл . Проверено 12 марта 2023 г.

[FOOTNOTEKuo1967331-10] Куо 1967 , с. 331.

[FOOTNOTEKuo1967332-11] Куо 1967 , с. 332.

[12] Эванс, WR (январь 1948 г.), «Графический анализ систем управления», Пер. AIEE , 67 (1): 547–551, doi : 10.1109/T-AIEE.1948.5059708 , ISSN 0096-3860 , S2CID 51634121

[13] Эванс, WR (январь 1950 г.), «Синтез систем управления методом корневого годографа», Trans. AIEE , 69 (1): 66–69, doi : 10.1109/T-AIEE.1950.5060121 , ISSN 0096-3860 , S2CID 51633514

[14] Библиотека систем управления Python , Библиотека систем управления для Python, 19 декабря 2023 г. , получено 19 декабря 2023 г.

[15] «Matplotlib — Визуализация с помощью Python» . matplotlib.org . Проверено 19 декабря 2023 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]