Диск Эйлера

Диск Эйлера , изобретенный между 1987 и 1990 годами Джозефом Бендиком. ^{[ 1 ]} является зарегистрированной торговой маркой научной развивающей игрушки . ^{[ 2 ]} Он используется для иллюстрации и изучения динамической системы вращающегося и катящегося диска по плоской или изогнутой поверхности. Этому было посвящено несколько научных работ. ^{[ 3 ]}

Открытие

Джозеф Бендик впервые заметил интересное движение вращающегося диска во время работы в Hughes Aircraft (Карловарский исследовательский центр) после того, как однажды за обедом крутил на своем столе тяжелый полировальный патрон.

Аппарат представляет собой впечатляющую визуализацию обмена энергией в трех различных, тесно связанных процессах. По мере постепенного уменьшения азимутального вращения диска также происходит уменьшение амплитуды и увеличение частоты осевой прецессии диска . ^{[ 4 ]}

Эволюцию осевой прецессии диска легко визуализировать в замедленном видео, если посмотреть на боковую часть диска по единственной точке, отмеченной на диске. Эволюцию вращения диска легко визуализировать в замедленном режиме, глядя на верхнюю часть диска по стрелке, нарисованной на диске, обозначающей его радиус.

Когда диск высвобождает начальную энергию, заданную пользователем, и приближается к остановке, его вращение вокруг вертикальной оси замедляется, а колебание точки контакта увеличивается. Освещенный сверху, точка контакта и ближайший нижний край находятся в тени, диск, кажется, парит в воздухе, прежде чем остановиться.

Бендик назвал игрушку в честь математика Леонарда Эйлера .

Коммерческая игрушка состоит из тяжелого толстого хромированного стального диска и жесткого, слегка вогнутого , зеркального основания. Входящие в комплект голографические магнитные наклейки можно прикрепить к диску, чтобы усилить визуальный эффект покачивания. Однако эти привязанности могут затруднить наблюдение и понимание происходящих процессов.

При вращении на плоской поверхности диск совершает вращательное/катящееся движение, медленно совершая различные скорости и типы движения, прежде чем остановиться. В частности, скорость прецессии диска оси симметрии увеличивается по мере его вращения. Основание зеркала обеспечивает поверхность с низким коэффициентом трения; его небольшая вогнутость не дает диску «сходить» с поверхности.

Любой диск, вращаемый на достаточно плоской поверхности (например, монета, вращающаяся на столе), будет демонстрировать по существу тот же тип движения, что и диск Эйлера, но в течение гораздо более короткого времени. Коммерческие диски обеспечивают более эффективную демонстрацию этого явления, поскольку имеют оптимизированное соотношение сторон и прецизионно отполированную, слегка закругленную кромку, позволяющую максимально увеличить время вращения/катки.

Физика

Вращающийся/катящийся диск в конечном итоге резко останавливается, причем финальная стадия движения сопровождается жужжащим звуком быстро возрастающей частоты. Когда диск катится, точка контакта качения описывает окружность, которая колеблется с постоянной угловой скоростью. $\omega$ . Если движение недиссипативное (без трения), $\omega$ постоянно, и движение сохраняется навсегда; это противоречит наблюдениям, поскольку $\omega$ не является постоянным в реальных жизненных ситуациях. Фактически скорость прецессии оси симметрии приближается к сингулярности конечного времени, моделируемой степенным законом с показателем степени примерно -1/3 (в зависимости от конкретных условий).

Есть два заметных диссипативных эффекта: трение качения , когда диск скользит по поверхности, и сопротивление воздуха из-за сопротивления воздуха. Эксперименты показывают, что трение качения в основном отвечает за диссипацию и поведение ^{[ 5 ]}— эксперименты в вакууме показывают, что отсутствие воздуха мало влияет на поведение, тогда как поведение (скорость прецессии) систематически зависит от коэффициента трения . В пределе малого угла (т.е. непосредственно перед тем, как диск перестанет вращаться), сопротивление воздуха (в частности, вязкая диссипация ) является доминирующим фактором, но до этой конечной стадии преобладающим эффектом является трение качения.

Устойчивое движение с покоящимся центром диска.

Поведение вращающегося диска, центр которого покоится, можно описать следующим образом. ^{[ 6 ]} Пусть линию, идущую от центра диска до точки контакта с плоскостью, назовем осью ${\widehat {\mathbf {3} }}$ . Поскольку центр диска и точка контакта мгновенно покоятся (при условии отсутствия скольжения) ось ${\widehat {\mathbf {3} }}$ это мгновенная ось вращение. Угловой момент $\mathbf {L} =kMa^{2}\omega {\widehat {\mathbf {3} }}$ которое справедливо для любого тонкого кругово-симметричного диска с массой $M$ ; $k=1/2$ для диска с массой, сосредоточенной на ободе, $k=1/4$ для однородного диска (например, диска Эйлера), $a$ - радиус диска, а $\omega$ угловая скорость вдоль ${\widehat {\mathbf {3} }}$ .

Контактная сила $\mathbf {F}$ является $Mg{\widehat {\mathbf {z} }}$ где $g$ гравитационное ускорение и ${\widehat {\mathbf {z} }}$ вертикальная ось направлена вверх. Крутящий момент относительно центра масс равен $\mathbf {N} =a{\widehat {\mathbf {3} }}\times Mg{\widehat {\mathbf {z} }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}$ который мы можем переписать как ${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {L}$ где ${\boldsymbol {\Omega }}=-{\frac {g}{ak\omega }}{\widehat {\mathbf {z} }}$ . Мы можем заключить, что как угловой момент $\mathbf {L}$ , и диск прецессируют вокруг вертикальной оси ${\widehat {\mathbf {z} }}$ по ставке

\Omega ={\frac {g}{ak\omega }}

( 1 )

В то же время $\Omega$ — угловая скорость точки контакта с плоскостью. Давайте определим ось ${\widehat {\mathbf {1} }}$ лежать вдоль оси симметрии диска и направлены вниз. Тогда считается, что ${\widehat {\mathbf {z} }}=-\cos \alpha {\widehat {\mathbf {1} }}-\sin \alpha {\widehat {\mathbf {3} }}$ , где $\alpha$ – угол наклона диска относительно горизонтальной плоскости. Угловую скорость можно рассматривать как состоящую из двух частей. $\omega {\widehat {\mathbf {3} }}=\Omega {\widehat {\mathbf {z} }}+\omega _{\text{rel}}{\widehat {\mathbf {1} }}$ , где $\omega _{\text{rel}}$ – угловая скорость диска вдоль его оси симметрии. Из геометрии легко сделать вывод, что:

${\begin{aligned}\omega &=-\Omega \sin \alpha ,\\\omega _{\text{rel}}&=\Omega \cos \alpha \\\end{aligned}}$

Затыкание $\omega =-\Omega \sin \alpha$ в уравнение ( 1 ) мы наконец получаем

\Omega ^{2}={\frac {g}{ak\sin \alpha }}

( 2 )

Как $\alpha$ адиабатически приближается к нулю, угловая скорость точки контакта $\Omega$ становится очень большим, и можно услышать высокочастотный звук, связанный с вращающимся диском. Однако вращение фигуры на лицевой стороне монеты, угловая скорость которой равна $\Omega -\omega _{\text{rel}}=\Omega (1-\cos \alpha ),$ приближается к нулю. Полная угловая скорость $\omega =-{\sqrt {\frac {g\sin \alpha }{ak}}}$ также обращается в нуль, как и полная энергия

$E=Mga\sin \alpha +{\tfrac {1}{2}}kMa^{2}\omega ^{2}=Mga\sin \alpha +{\tfrac {1}{2}}Mka^{2}{\frac {g\sin \alpha }{ak}}={\tfrac {3}{2}}Mga\sin \alpha$

как $\alpha$ приближается к нулю. Здесь мы использовали уравнение ( 2 ).

Как $\alpha$ приближается к нулю, диск наконец теряет контакт со столом и быстро оседает на горизонтальную поверхность. Человек слышит звук с частотой ${\frac {\Omega }{2\pi }}$ , который становится значительно выше, ${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {g}{ak}}}{\sqrt {\frac {1}{\sin \alpha }}}$ , поскольку скорость вращения фигуры замедляется, $2{\sqrt {\frac {g}{ak}}}{\frac {(\sin {\frac {\alpha }{2}})^{2}}{\sqrt {\sin \alpha }}}$ , пока звук резко не прекратится.

Иллюзия левитации

Когда кругово-симметричный диск оседает, расстояние между фиксированной точкой на опорной поверхности, а движущийся диск над ним колеблется с возрастающей частотой синхронно с углом отклонения оси вращения от вертикали.

Иллюзия левитации возникает, когда край диска отражает свет, когда слегка наклонен вверх над опорной поверхностью, и находится в тени, когда слегка наклонен вниз при контакте. Тень не воспринимается, а быстро мигающие отражения от края над опорной поверхностью воспринимаются как устойчивая высота. См. постоянство видения .

Иллюзию левитации можно усилить, оптимизировав изгиб нижнего края, чтобы линия тени оставалась высокой, пока диск стабилизируется. Зеркало может еще больше усилить эффект, скрывая опорную поверхность и показывая разделение между ними. движущаяся поверхность диска и зеркальное отображение.

Несовершенства диска, видимые в тени, которые могут помешать иллюзии, могут быть скрыты за рисунком кожи, который размывается при движении.

Пример квартала США

Чистый американский четвертак (чеканка 1970-2022 гг.), вращающийся на плоском ручном зеркале, если смотреть сбоку от поверхности зеркала, демонстрирует это явление в течение нескольких секунд.

Освещается точечным источником прямо над центром будущего заселенного квартала. боковые гребни подсвечиваются, когда ось вращения находится вдали от зрителя, и в тени, когда ось вращения направлена к зрителю. Вибрация размывает гребни, а орел или решка слишком укорочены, чтобы показать вращение.

История исследований

Моффатт

В начале 2000-х годов толчком к исследованию послужила статья в журнале Nature от 20 апреля 2000 года . ^{[ 7 ]} где Кейт Моффат показал, что вязкой диссипации в тонком слое воздуха между диском и столом будет достаточно, чтобы объяснить наблюдаемую резкость процесса оседания. Он также показал, что движение завершается сингулярностью конечного времени . Его первая теоретическая гипотеза была опровергнута последующими исследованиями, которые показали, что трение качения на самом деле является доминирующим фактором.

Моффат показал, что со временем $t$ приближается к определенному времени $t_{0}$ (что математически является константой интегрирования ), вязкая диссипация приближается к бесконечности . на Вытекающая из этого сингулярность практике не реализуется, поскольку величина вертикального ускорения не может превышать ускорение силы тяжести (диск теряет контакт с опорной поверхностью). Моффат продолжает показывать, что теория терпит неудачу в какой-то момент. $\tau$ до окончательного времени урегулирования $t_{0}$ , заданный:

\tau \simeq \left[\left({\frac {2a}{9g}}\right)^{3}{\frac {2\pi \mu a}{M}}\right]^{1/5}

где $a$ - радиус диска, $g$ - ускорение силы тяжести Земли, $\mu$ динамическая вязкость воздуха и $M$ масса диска. Для имеющейся в продаже игрушки «Диск Эйлера» (см. ссылку в разделе «Внешние ссылки» ниже): $\tau$ речь идет о $10^{-2}$ секунды, в это время угол между монетой и поверхностью, $\alpha$ , составляет примерно 0,005 радиан, а угловая скорость качения $\Omega$ , составляет около 500 Гц.

Используя приведенные выше обозначения, общее время вращения/катки составит:

t_{0}={\frac {\alpha _{0}^{3}M}{2\pi \mu a}}

где $\alpha _{0}$ — начальный наклон диска, измеряемый в радианах . Моффат также показал, что если $t_{0}-t>\tau$ , особенность конечного времени в $\Omega$ дается

\Omega \sim (t_{0}-t)^{-1/6}

Результаты эксперимента

Теоретическая работа Моффатта вдохновила нескольких других исследователей на экспериментальное исследование диссипативного механизма вращающегося/катящегося диска, получив результаты, которые частично противоречили его объяснению. В этих экспериментах использовались вращающиеся объекты и поверхности различной геометрии (диски и кольца) с различными коэффициентами трения как в воздухе, так и в вакууме, а также использовались такие инструменты, как высокоскоростная фотография, для количественной оценки этого явления.

В номере журнала Nature от 30 ноября 2000 года физики Ван ден Энг, Нельсон и Роуч обсуждают эксперименты, в которых диски вращались в вакууме. ^{[ 8 ]} Ван ден Энг использовал рейксдалдер , голландскую монету, магнитные свойства которой позволяли вращать ее с точно определенной скоростью. Они обнаружили, что проскальзывание между диском и поверхностью могло объяснить наблюдения, а наличие или отсутствие воздуха лишь незначительно влияло на поведение диска. Они отметили, что теоретический анализ Моффата предсказывает очень большое время вращения диска в вакууме, чего не наблюдалось.

Моффат ответил обобщенной теорией, которая должна позволить экспериментально определить, какой механизм диссипации является доминирующим, и указал, что доминирующим механизмом диссипации всегда будет вязкая диссипация в пределе малых значений. $\alpha$ (т.е. непосредственно перед тем, как диск стабилизируется). ^{[ 9 ]}

Более поздняя работа в Гвельфском университете. Петри, Ханта и Грея ^{[ 10 ]} показали, что проведение экспериментов в вакууме (давление 0,1 паскаль ) существенно не повлияло на скорость диссипации энергии. Петри и др. также показали, что на скорости практически не повлияла замена диска на кольцевую форму и что условие прилипания соблюдалось для углов более 10 °. Еще одна работа Кэпса, Дорболо, Понте, Круазье и Вандевалле. ^{[ 11 ]} пришел к выводу, что воздух является второстепенным источником рассеяния энергии. Основным процессом рассеивания энергии является качение и скольжение диска по опорной поверхности. Экспериментально показано, что угол наклона, скорость прецессии и угловая скорость подчиняются степенному закону.

Несколько раз во время забастовки Гильдии писателей Америки в 2007–2008 годах ведущий ток-шоу Конан О'Брайен крутил обручальное кольцо на своем столе, пытаясь вращать его как можно дольше. Стремление добиться все большего и большего времени вращения привело к тому, что он пригласил Массачусетского технологического института на шоу профессора Питера Фишера, чтобы поэкспериментировать с этой проблемой. Вращение кольца в вакууме не дало заметного эффекта, в то время как вращающаяся опорная поверхность из тефлона показала рекордное время - 51 секунду, что подтверждает утверждение о том, что трение качения является основным механизмом рассеивания кинетической энергии. ^{[ нужна ссылка ]} Различные виды трения качения как основной механизм диссипации энергии были изучены Лейне. ^{[ 12 ]} который экспериментально подтвердил, что сопротивление трения движения точки контакта по краю диска, скорее всего, является основным механизмом диссипации в масштабе времени в несколько секунд.

В популярной культуре

Диски Эйлера появляются в фильме 2006 года « Снежный пирог» и в телешоу «Теория большого взрыва» , 10 сезон, 16 серия, вышедшем в эфир 16 февраля 2017 года.

Звуковая группа фильма 2001 года «Перл-Харбор» использовала вращающийся диск Эйлера в качестве звукового эффекта для торпед. Короткий отрывок из звуковой команды, играющей с Диском Эйлера, был показан во время презентации церемонии вручения премии Оскар. ^{[ 13 ]}

Принципы диска Эйлера были использованы со специально изготовленными кольцами на столе в качестве футуристического носителя записи в фильме 1960 года « Машина времени» .

См. также

Список тем, названных в честь Леонарда Эйлера
Типпе-топ — еще одна вращающаяся физическая игрушка, демонстрирующая удивительное поведение.

Ссылки

^ Фред Гутер (1 декабря 1996 г.). «Игрушки науки» . Обнаружить . Проверено 23 ноября 2018 г. Играя с диском, Бендик подумал: «Может быть, из него получится хорошая игрушка».
^ «Товарные знаки > Электронная система поиска товарных знаков (TESS) > Диск Эйлера» . Ведомство США по патентам и товарным знакам. 21 сентября 2010 года . Проверено 23 ноября 2018 г. Индикатор жив/мертв: LIVE
^ «Публикации» . eulersdisk.com.
^ Хибиске, Кевин. «Публикации на диске Эйлера» . eulersdisk.com . Проверено 15 мая 2023 г.
^ Исвар, К.; Руйер, Ф.; Менон, Н. (2002). «Ускорение до остановки: особенность вращающегося диска за конечное время». Физический обзор E . 66 (4): 045102. Бибкод : 2002PhRvE..66d5102E . дои : 10.1103/PhysRevE.66.045102 . ПМИД 12443243 .
^ Макдональд, Александр Дж.; Макдональд, Кирк Т. (2000). «Вращающееся движение диска по горизонтальной плоскости». arXiv : физика/0008227 .
^ Моффатт, Гонконг (20 апреля 2000 г.). «Диск Эйлера и его особенность в конечном времени». Природа . 404 (6780): 833–834. Бибкод : 2000Natur.404..833M . дои : 10.1038/35009017 . ПМИД 10786779 . S2CID 197644581 .
^ Ван ден Энг, Гер; Нельсон, Питер; Роуч, Джаред (30 ноября 2000 г.). «Аналитическая динамика: Нумизматические круговороты» . Природа . 408 (6812): 540. Бибкод : 2000Natur.408..540V . дои : 10.1038/35046209 . ПМИД 11117733 . S2CID 4407382 .
^ Моффатт, Гонконг (30 ноября 2000 г.). «Ответ: Нумизматические вращения» . Природа . 408 (6812): 540. Бибкод : 2000Natur.408..540M . дои : 10.1038/35046211 . S2CID 205011563 .
^ Петри, Д.; Хант, Дж.Л.; Грей, CG (2002). «Проскальзывает ли диск Эйлера во время движения?». Американский журнал физики . 70 (10): 1025–1028. Бибкод : 2002AmJPh..70.1025P . дои : 10.1119/1.1501117 . S2CID 28497371 .
^ Кэпс, Х.; Дорболо, С.; Понте, С.; Круазье, Х; Вандевалле, Н. (май 2004 г.). «Вращение и скольжение диска Эйлера» (PDF) . Физ. Преподобный Е. 69 (5): 056610. arXiv : cond-mat/0401278 . Бибкод : 2004PhRvE..69e6610C . дои : 10.1103/PhysRevE.69.056610 . hdl : 2268/18081 . ПМИД 15244966 . S2CID 118949289 .
^ Лейне, Род-Айленд (2009). «Экспериментальное и теоретическое исследование диссипации энергии катящегося диска на конечной стадии движения» (PDF) . Архив прикладной механики . 79 (11): 1063–1082. Бибкод : 2009AAM....79.1063L . дои : 10.1007/s00419-008-0278-6 . hdl : 20.500.11850/12334 . S2CID 48358816 .
^ «Падение Черного ястреба» и «Перл-Харбор» получили звуковые и звуковые эффекты. Монтаж: «Оскар» 2002 г. , получено 9 января 2022 г.

Внешние ссылки

Eulersdisk.com
Физика вращающейся монеты (20 апреля 2000 г.) PhysicsWeb
Экспериментальное и теоретическое исследование диссипации энергии катящегося диска на конечной стадии движения (12 декабря 2008 г.) Arch Appl Mech
Комментарий к диску Моффата (31 марта 2002 г.)
«Диск Эйлера» . Реальные задачи по физике . реальный мир-физика-проблемы.com . Проверено 11 июля 2014 г. Подробный математическо-физический анализ движения диска.
Видео на YouTube, показывающее диск Эйлера в действии.

[1] Фред Гутер (1 декабря 1996 г.). «Игрушки науки» . Обнаружить . Проверено 23 ноября 2018 г. Играя с диском, Бендик подумал: «Может быть, из него получится хорошая игрушка».

[2] «Товарные знаки > Электронная система поиска товарных знаков (TESS) > Диск Эйлера» . Ведомство США по патентам и товарным знакам. 21 сентября 2010 года . Проверено 23 ноября 2018 г. Индикатор жив/мертв: LIVE

[3] «Публикации» . eulersdisk.com.

[4] Хибиске, Кевин. «Публикации на диске Эйлера» . eulersdisk.com . Проверено 15 мая 2023 г.

[5] Исвар, К.; Руйер, Ф.; Менон, Н. (2002). «Ускорение до остановки: особенность вращающегося диска за конечное время». Физический обзор E . 66 (4): 045102. Бибкод : 2002PhRvE..66d5102E . дои : 10.1103/PhysRevE.66.045102 . ПМИД 12443243 .

[6] Макдональд, Александр Дж.; Макдональд, Кирк Т. (2000). «Вращающееся движение диска по горизонтальной плоскости». arXiv : физика/0008227 .

[7] Моффатт, Гонконг (20 апреля 2000 г.). «Диск Эйлера и его особенность в конечном времени». Природа . 404 (6780): 833–834. Бибкод : 2000Natur.404..833M . дои : 10.1038/35009017 . ПМИД 10786779 . S2CID 197644581 .

[8] Ван ден Энг, Гер; Нельсон, Питер; Роуч, Джаред (30 ноября 2000 г.). «Аналитическая динамика: Нумизматические круговороты» . Природа . 408 (6812): 540. Бибкод : 2000Natur.408..540V . дои : 10.1038/35046209 . ПМИД 11117733 . S2CID 4407382 .

[9] Моффатт, Гонконг (30 ноября 2000 г.). «Ответ: Нумизматические вращения» . Природа . 408 (6812): 540. Бибкод : 2000Natur.408..540M . дои : 10.1038/35046211 . S2CID 205011563 .

[10] Петри, Д.; Хант, Дж.Л.; Грей, CG (2002). «Проскальзывает ли диск Эйлера во время движения?». Американский журнал физики . 70 (10): 1025–1028. Бибкод : 2002AmJPh..70.1025P . дои : 10.1119/1.1501117 . S2CID 28497371 .

[11] Кэпс, Х.; Дорболо, С.; Понте, С.; Круазье, Х; Вандевалле, Н. (май 2004 г.). «Вращение и скольжение диска Эйлера» (PDF) . Физ. Преподобный Е. 69 (5): 056610. arXiv : cond-mat/0401278 . Бибкод : 2004PhRvE..69e6610C . дои : 10.1103/PhysRevE.69.056610 . hdl : 2268/18081 . ПМИД 15244966 . S2CID 118949289 .

[12] Лейне, Род-Айленд (2009). «Экспериментальное и теоретическое исследование диссипации энергии катящегося диска на конечной стадии движения» (PDF) . Архив прикладной механики . 79 (11): 1063–1082. Бибкод : 2009AAM....79.1063L . дои : 10.1007/s00419-008-0278-6 . hdl : 20.500.11850/12334 . S2CID 48358816 .

[13] «Падение Черного ястреба» и «Перл-Харбор» получили звуковые и звуковые эффекты. Монтаж: «Оскар» 2002 г. , получено 9 января 2022 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]