Геодезическая карта
В математике — в частности, в дифференциальной геометрии — геодезическая карта (или геодезическое отображение или геодезический диффеоморфизм ) — это функция , которая «сохраняет геодезические ». Точнее, для данных двух ( псевдо- ) римановых многообразий ( M , g ) и ( N , h ) функция φ : M → N называется геодезическим отображением, если
- φ — диффеоморфизм M на N ; и
- образ при отображении φ любой геодезической дуги в M является геодезической дугой в N ; и
- изображение под обратной функцией φ −1 любой геодезической дуги в N является геодезической дугой в M .
Примеры
[ редактировать ]- Если ( M , g ) и ( N , h ) являются n - мерным евклидовым пространством E н со своей обычной плоской метрикой , то любая евклидова изометрия является геодезическим отображением E н на себя.
- Аналогично, если ( M , g ) и ( N , h ) являются n -мерной единичной сферой S н с ее обычной круглой метрикой, то любая изометрия сферы является геодезической картой S н на себя.
- Если ( M , g ) — единичная сфера S н с обычной круглой метрикой, а ( N , h ) — сфера радиуса 2 с обычной круглой метрикой, оба рассматриваются как подмножества окружающего координатного пространства R. п +1 , то отображение «разложения» φ : R п +1 → Р п +1 заданный формулой φ ( x ) = 2 x индуцирует геодезическое отображение M на N .
- Геодезической карты евклидова пространства E не существует. н на единичную сферу S н , поскольку они не гомеоморфны , не говоря уже о диффеоморфности.
- Гномоническая проекция полушария на плоскость представляет собой геодезическую карту, поскольку она превращает большие круги в линии, а ее обратная сторона превращает линии в большие круги.
- Пусть ( D , g ) — единичный круг D ⊂ R 2 снабженный евклидовой метрикой, и пусть ( D , h ) — тот же диск, снабженный гиперболической метрикой, что и в модели диска Пуанкаре гиперболической геометрии. Тогда, хотя эти две структуры диффеоморфны посредством тождественного отображения i : D → D , i является не геодезическим отображением, поскольку g -геодезические всегда являются прямыми линиями в R. 2 , тогда как h -геодезические могут быть искривленными.
- С другой стороны, когда гиперболическая метрика на D задается моделью Клейна , тождество i : D → D является геодезическим отображением, поскольку гиперболические геодезические в модели Клейна представляют собой (евклидовы) отрезки прямых.
Ссылки
[ редактировать ]- Амбарцумян, Р.В. (1982). Комбинаторная интегральная геометрия . Серия Уайли по вероятности и математической статистике: Трактаты по вероятности и статистике. Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc., стр. xvii+221. ISBN 0-471-27977-3 . МР 0679133 .
- Крейциг, Эрвин (1991). Дифференциальная геометрия . Нью-Йорк: Dover Publications Inc., стр. xiv+352. ISBN 0-486-66721-9 . МР 1118149 .