Поверхность подразделения

В области 3D-компьютерной графики ( поверхность подразделения обычно сокращаемая до поверхности SubD или Subsurf ) — это изогнутая поверхность, представленная спецификацией более крупной полигональной сетки и созданная рекурсивным алгоритмическим методом. Изогнутая поверхность, лежащая под ней внутренняя сетка , ^[1] может быть рассчитана на основе грубой сетки, известной как контрольная клетка или внешняя сетка , как функциональный предел итеративного процесса разделения каждой многоугольной грани на более мелкие грани, которые лучше аппроксимируют окончательную базовую изогнутую поверхность. Реже для добавления геометрии в сетку используется простой алгоритм путем разделения граней на более мелкие без изменения общей формы или объема.

Противоположным является уменьшение полигонов или разделение их на части . ^[2]

Обзор

Алгоритм подразделения поверхности является рекурсивным по своей природе. Процесс начинается с полигональной сетки базового уровня. схема уточнения Затем к этой сетке применяется . Этот процесс берет эту сетку и разделяет ее, создавая новые вершины и новые грани. Положения новых вершин в сетке вычисляются на основе положений близлежащих старых вершин, ребер и/или граней. Во многих схемах уточнения также изменяются положения старых вершин (возможно, на основе положений новых вершин).

Этот процесс создает более плотную сетку, чем исходная, содержащую больше полигональных граней (часто в 4 раза). Полученную сетку можно снова и снова пропускать через одну и ту же схему уточнения для получения все более и более уточненных сеток. Каждую итерацию часто называют уровнем подразделения , начиная с нуля (до того, как произойдет какое-либо уточнение).

Предельная поверхность подразделения — это поверхность, полученная в результате этого процесса, итеративно применяемая бесконечное количество раз. Однако на практике этот алгоритм применяется лишь ограниченно и довольно мало ( $\leq 5$ ), количество раз.

Математически окрестность необыкновенной вершины (нечетырехвалентного сплайн узла для четырехкратно уточненных сеток) поверхности подразделения представляет собой с параметрически особой точкой . ^[3]

Схемы доработки

Схемы уточнения поверхности подразделения можно условно разделить на две категории: интерполирующие и аппроксимирующие .

Интерполяционные схемы необходимы для соответствия исходному положению вершин исходной сетки.
Аппроксимирующих схем нет; они могут и будут корректировать эти позиции по мере необходимости.

В целом аппроксимирующие схемы обладают большей плавностью, но у пользователя меньше возможностей общего контроля над результатом. Это аналогично сплайновым поверхностям и кривым, где кривые Безье необходимы для интерполяции определенных контрольных точек, тогда как B-сплайны этого не делают (и являются более приблизительными).

Схемы поверхностей подразделения также можно классифицировать по типу многоугольника, с которым они работают: некоторые лучше всего работают для четырехугольников (четырехугольников), тогда как другие в основном работают с треугольниками (трис).

Аппроксимирующие схемы

Аппроксимация означает, что предельные поверхности аппроксимируют исходные сетки и что после подразделения вновь сгенерированные контрольные точки не попадают в предельные поверхности. ^{[ нужны разъяснения ]} Существует пять приблизительных схем подразделения:

Кэтмалл и Кларк (1978), Quads - обобщает вставку бикубического однородного узла B-сплайна . Для произвольных начальных сеток эта схема генерирует предельные поверхности C ² непрерывны всюду, кроме необыкновенных вершин, где они равны C ¹ непрерывный (Питерс и Рейф, 1998). ^[4]
Ду-Сабин (1978), Квады. Вторая схема подразделения была разработана Ду и Сабином, которые успешно расширили метод срезания углов Чайкина (Джордж Чайкин, 1974). ^[5]) для кривых поверхностей. Они использовали аналитическое выражение биквадратичной однородной поверхности B-сплайна для создания процедуры подразделения для получения C. ¹ предельные поверхности с произвольной топологией для произвольных начальных сеток. Вспомогательная точка может улучшить форму подразделения Ду-Сабин. ^[6] После подразделения все вершины имеют валентность 4. ^[7]
Loop (1987), Triangles - Loop предложил свою схему подразделения, основанную на квадратном сплайне из шести векторов направления, чтобы обеспечить правило для генерации C. ² непрерывные предельные поверхности всюду, кроме необыкновенных вершин, где они имеют вид C ¹ непрерывный (Зорин 1997).
Схема подразделения среднего края (1997–1999 гг.) - Схема подразделения среднего края была независимо предложена Петерсом-Рейфом (1997 г.). ^[8] и Хабиб-Уоррен (1999). ^[9] Первый использовал середину каждого края для построения новой сетки. использовал четырехнаправленный коробчатый сплайн Последний для построения схемы . Эта схема генерирует C ¹ непрерывные предельные поверхности на исходных сетках произвольной топологии. (Подразделение Mid-Edge, которое можно было бы назвать «подразделением √2», поскольку два шага сокращают расстояние вдвое, можно считать самым медленным.)
Схема подразделения √3 (2000 г.), Треугольники - эта схема была разработана Коббелтом. ^[10] и предлагает несколько интересных функций: он обрабатывает произвольные треугольные сетки, это C ² непрерывен всюду, кроме необыкновенных вершин, где он равен C ¹ непрерывен и предлагает естественное адаптивное уточнение, когда это необходимо. Он демонстрирует как минимум две особенности: это двойная схема для треугольных сеток и более медленная скорость уточнения, чем у основных.

Схемы подразделения

Кэтмалл-Кларк

Ду – Сабин

Петля

Интерполяционные схемы

После разделения контрольные точки исходной сетки и вновь созданные контрольные точки интерполируются на предельной поверхности. Самой ранней работой была так называемая « схема бабочки » Дина, Левина и Грегори (1990), которые расширили четырехточечную интерполяционную схему подразделения кривых до схемы подразделения поверхности. Зорин, Шредер и Свелденс (1996) заметили, что схема «бабочка» не может создавать гладкие поверхности для неправильных треугольных сеток, и поэтому модифицировали эту схему. Коббелт (1996) далее обобщил четырехточечную интерполяционную схему подразделения кривых до схемы подразделения тензорного произведения для поверхностей. В 1991 году Насри предложил схему интерполяции Ду-Сабина; ^[11] в то время как в 1993 году Холстед, Касс и ДеРоуз предложили один вариант для Кэтмалл-Кларка. ^[12]

Бабочка (1990), Треугольники - названы в честь формы схемы.
Модифицированная бабочка (1996), четверные ^[13] – предназначен для устранения артефактов, возникающих из-за нерегулярной топологии.
Коббелт (1996), Квады - вариационный метод подразделения, который пытается преодолеть недостатки равномерного подразделения.

Ключевые события

1978: Поверхности подразделения были описаны Эдвином Кэтмаллом и Джимом Кларком (см. Поверхность подразделения Кэтмулла-Кларка ), а также Дэниелом Ду и Малкольмом Сэбином (см. Поверхности подразделения Ду-Сэбина ).
1995: Ульрих Райф решил проблему поведения поверхности подразделения вблизи необыкновенных вершин. ^[14]
1998: Джос Стам представил метод точной оценки поверхностей подразделения Катмулла-Кларка при произвольных значениях параметров. ^[15]

См. также

Игра Джери (1997) - фильм Pixar, в котором впервые было использовано разделение поверхностей для изображения человеческой кожи.
Неоднородные поверхности рационального B-сплайна (NURBS) - еще один метод представления изогнутых поверхностей.

Ссылки

^ «Поверхности разделения» . Nevercenter.com . Проверено 19 января 2021 г.
^ Blender: уменьшение полигонов – простое объяснение
^ Дж. Петерс и У. Рейф: Поверхности подразделения , серия Springer, монография «Геометрия и вычисления» 3, 2008, doi
^ Дж. Петерс и У. Рейф: Анализ обобщенных алгоритмов подразделения B-сплайнов , SIAM J of Numer. Анальный. 32 (2) 1998, с.728-748
^ «Кривые Чайкина в обработке» .
^ К. Карчаускас и Дж. Петерс: Биквадратичный C с точечным расширением ¹ поверхности подразделения , Графические модели, 77, с.18-26 [1] ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Джой, Кен (1996–2000). «ДУ-САБИН ПОВЕРХНОСТИ» (PDF) . Онлайн-заметки по геометрическому моделированию – через Калифорнийский университет в Дэвисе.
^ Дж. Питерс и У. Рейф: Простейшая схема подразделения для сглаживания многогранников , Транзакции ACM в графике 16 (4) (октябрь 1997 г.), стр. 420-431, doi
^ А. Хабиб и Дж. Уоррен: Вставка ребер и вершин для класса C ¹ подразделения поверхностей , Компьютерное геометрическое проектирование 16 (4) (май 1999 г.), стр. 223-247, doi
^ Л. Коббелт: √3-подразделение , 27-я ежегодная конференция по компьютерной графике и интерактивным методам, doi
^ Насри, А.Х. Поверхностная интерполяция на нерегулярных сетях с нормальными условиями. Компьютерное геометрическое проектирование 8 (1991), 89–96.
^ Холстед М., Касс М. и ДеРоуз Т. Эффективная и справедливая интерполяция с использованием поверхностей Катмулла-Кларка. В материалах по компьютерной графике (1993), серии ежегодных конференций, ACM Siggraph.
^ Зорин, Денис; Шредер, Питер; Свелденс, Вим (1996). «Интерполяционное подразделение сеток с произвольной топологией» (PDF) . Департамент компьютерных наук, Калифорнийский технологический институт, Пасадена, Калифорния 91125 .
^ Ульрих Рейф. 1995. Единый подход к алгоритмам подразделения вблизи необыкновенных вершин. Компьютерное геометрическое проектирование . 12(2)153–174
^ Джос Стам, «Точная оценка поверхностей подразделения Катмулла-Кларка при произвольных значениях параметров», Труды SIGGRAPH'98. В материалах по компьютерной графике, ACM SIGGRAPH, 1998, 395–404.

Внешние ссылки

«Игра Джери» : получившая «Оскар» анимация от Pixar, завершенная в 1997 году, в которой были представлены поверхности подразделения с использованием подразделения Кэтмулла-Кларка (наряду с симуляцией ткани).
Учебное пособие «Подраздел по моделированию и анимации» , SIGGRAPH 1999 г. конспекты курса
Учебное пособие «Подраздел моделирования и анимации» , примечания к курсу SIGGRAPH 2000
Единый подход к алгоритмам подразделения вблизи необыкновенных вершин , Ульрих Райф (Computer Aided Geometric Design 12(2):153–174, март 1995 г.)
Подразделение поверхностных и объемных сеток , программное обеспечение для разделения с использованием самых популярных схем.
Методы подразделения поверхности в CGAL, библиотеке алгоритмов вычислительной геометрии

[1] «Поверхности разделения» . Nevercenter.com . Проверено 19 января 2021 г.

[2] Blender: уменьшение полигонов – простое объяснение

[PetersBook-3] Дж. Петерс и У. Рейф: Поверхности подразделения , серия Springer, монография «Геометрия и вычисления» 3, 2008, doi

[PetersAnalysis-4] Дж. Петерс и У. Рейф: Анализ обобщенных алгоритмов подразделения B-сплайнов , SIAM J of Numer. Анальный. 32 (2) 1998, с.728-748

[5] «Кривые Чайкина в обработке» .

[Karciauskas-6] К. Карчаускас и Дж. Петерс: Биквадратичный C с точечным расширением ¹ поверхности подразделения , Графические модели, 77, с.18-26 [1] ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[7] Джой, Кен (1996–2000). «ДУ-САБИН ПОВЕРХНОСТИ» (PDF) . Онлайн-заметки по геометрическому моделированию – через Калифорнийский университет в Дэвисе.

[Peters-8] Дж. Питерс и У. Рейф: Простейшая схема подразделения для сглаживания многогранников , Транзакции ACM в графике 16 (4) (октябрь 1997 г.), стр. 420-431, doi

[Habib-9] А. Хабиб и Дж. Уоррен: Вставка ребер и вершин для класса C ¹ подразделения поверхностей , Компьютерное геометрическое проектирование 16 (4) (май 1999 г.), стр. 223-247, doi

[Kobbelt-10] Л. Коббелт: √3-подразделение , 27-я ежегодная конференция по компьютерной графике и интерактивным методам, doi

[11] Насри, А.Х. Поверхностная интерполяция на нерегулярных сетях с нормальными условиями. Компьютерное геометрическое проектирование 8 (1991), 89–96.

[12] Холстед М., Касс М. и ДеРоуз Т. Эффективная и справедливая интерполяция с использованием поверхностей Катмулла-Кларка. В материалах по компьютерной графике (1993), серии ежегодных конференций, ACM Siggraph.

[13] Зорин, Денис; Шредер, Питер; Свелденс, Вим (1996). «Интерполяционное подразделение сеток с произвольной топологией» (PDF) . Департамент компьютерных наук, Калифорнийский технологический институт, Пасадена, Калифорния 91125 .

[Reif-14] Ульрих Рейф. 1995. Единый подход к алгоритмам подразделения вблизи необыкновенных вершин. Компьютерное геометрическое проектирование . 12(2)153–174

[Stam-15] Джос Стам, «Точная оценка поверхностей подразделения Катмулла-Кларка при произвольных значениях параметров», Труды SIGGRAPH'98. В материалах по компьютерной графике, ACM SIGGRAPH, 1998, 395–404.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]