Двойственность Экмана – Хилтона

В математических дисциплинах алгебраической топологии и теории гомотопий двойственность Экмана-Хилтона в своей самой базовой форме состоит в том, чтобы взять данную диаграмму для конкретного понятия и изменить направление всех стрелок на противоположное, так же, как в теории категорий с идеей противоположного. категория . Значительно более глубокая форма утверждает, что тот факт, что двойственное понятие предела является копределом , позволяет нам изменить аксиомы Эйленберга-Стинрода для гомологии, чтобы дать аксиомы для когомологий . Он назван в честь Бено Экманна и Питера Хилтона .

Обсуждение

Примером является каррирование , которое говорит нам, что для любого объекта $X$ , карта $X\times I\to Y$ это то же самое, что карта $X\to Y^{I}$ , где $Y^{I}$ — экспоненциальный объект , заданный всеми картами из $I$ к $Y$ . В случае топологических пространств , если мы возьмем $I$ быть единичным интервалом, это приводит к двойственности между $X\times I$ и $Y^{I}$ , что затем дает двойственность между уменьшенной подвеской $\Sigma X$ , что является частным $X\times I$ , и пространство цикла $\Omega Y$ , которое является подпространством $Y^{I}$ . Тогда это приводит к сопряженному соотношению $\langle \Sigma X,Y\rangle =\langle X,\Omega Y\rangle$ , что позволяет изучать спектры , дающие начало теориям когомологий .

Мы также можем напрямую связать расслоения и корасслоения : расслоение $p\colon E\to B$ определяется наличием свойства гомотопического подъема , представленного следующей диаграммой

и кофибрация $i\colon A\to X$ определяется наличием свойства двойственного гомотопического расширения , представленного дуализацией предыдущей диаграммы:

Вышеизложенные соображения также применимы при рассмотрении последовательностей, связанных с расслоением или кофибрацией, как с заданным расслоением. $F\to E\to B$ мы получаем последовательность

\cdots \to \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\to F\to E\to B\,

и учитывая кофибрацию $A\to X\to X/A$ мы получаем последовательность

A\to X\to X/A\to \Sigma A\to \Sigma X\to \Sigma \left(X/A\right)\to \Sigma ^{2}A\to \cdots .\,

и, в более общем смысле, двойственность между точными и соточными последовательностями Пуппе .

Это также позволяет нам связать гомотопию и когомологию: мы знаем, что гомотопические группы — это гомотопические классы отображений n -сферы в наше пространство, записанные $\pi _{n}(X,p)\cong \langle S^{n},X\rangle$ , и мы знаем, что сфера имеет единственную ненулевую (приведенную) группу когомологий . С другой стороны, группы когомологий — это гомотопические классы отображений пространств с единственной ненулевой гомотопической группой. Это задается пространствами Эйленберга – Маклейна $K(G,n)$ и отношение