Премьер подпись

В математике простой сигнатурой числа является мультимножество (ненулевых) показателей его простой факторизации . Простая подпись числа, имеющего простую факторизацию $p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\dots p_{n}^{m_{n}}$ это мультимножество $\left\{m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}\right\}$ .

Например, все простые числа имеют сигнатуру простого числа {1}, квадраты простых чисел имеют сигнатуру простого числа {2}, произведения двух различных простых чисел имеют сигнатуру простого числа {1, 1 }, а произведения квадрата простого числа и другое простое число (например, 12, 18, 20, ...) имеют сигнатуру простого числа {2, 1 }.

Характеристики

Функция делителя τ( n ), функция Мёбиуса µ ( n ), количество различных простых делителей ω( n ) числа n , количество простых делителей Ω( n ) числа n , индикаторная функция целых чисел без квадратов и многие другие важные функции в теории чисел являются функциями простой сигнатуры числа n .

В частности, τ( n ) равно произведению экспонент, увеличенных на 1 от простой сигнатуры n . Например, число 20 имеет простую сигнатуру {2,1}, поэтому число делителей равно (2+1) × (1+1) = 6. Действительно, делителей шесть: 1, 2, 4, 5, 10 и 20.

Наименьшее число каждой простой сигнатуры является произведением простых чисел . Первые несколько:

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 30, 32, 36, 48, 60, 64, 72, 96, 120, 128, 144, 180, 192, 210, 216, ... ( последовательность A025487 в OEIS ).

Одно число не может делить другое, если его простое число не включено в простое число других чисел в решетке Юнга .

Числа с одинаковой простой подписью


Подпись	Числа	OEIS идентификатор	Описание
∅	1		Число 1 как пустое произведение простых чисел
{1}	2, 3, 5, 7, 11, ...	А000040	простые числа
{2}	4, 9, 25, 49, 121, ...	А001248	квадраты простых чисел
{1, 1}	6, 10, 14, 15, 21, ...	А006881	два различных простых делителя ( без квадратов полупростые числа )
{3}	8, 27, 125, 343, ...	А030078	кубики простых чисел
{2, 1}	12, 18, 20, 28, ...	А054753	квадраты простых чисел, умноженные на другое простое число
{4}	16, 81, 625, 2401, ...	А030514	четвертые степени простых чисел
{3, 1}	24, 40, 54, 56, ...	А065036	кубы простых чисел, умноженные на другое простое число
{1, 1, 1}	30, 42, 66, 70, ...	А007304	три различных простых делителя ( сфенические числа )
{5}	32, 243, 3125, ...	А050997	пятая степень простых чисел
{2, 2}	36, 100, 196, 225, ...	А085986	квадраты бесквадратных полупростых чисел

Последовательности, определяемые их простой сигнатурой

Учитывая число с простой подписью S , это

если Простое число, S = {1},
Квадрат , если НОД ( S ) четный ,
Куб , если НОД( S ) делится на 3,
Целое число без квадратов, если max( S ) = 1,
Целое число без кубов, если max( S ) ≤ 2,
, Мощное число если min( S ) ≥ 2,
, Совершенная степень если НОД( S ) > 1,
A k - почти простое число , если sum( S ) = k , или
Число Ахилла , если min( S ) ≥ 2 и НОД( S ) = 1.

См. также

Каноническое представление натурального числа

Ссылки

Внешние ссылки